2. Examinons le cas oustar(x) \ {x} contient des cellules de R1 et de R2. Appe-
lons x1 et x2 deux cellules de
star(x) \ {x} telles que x1 et x2 appartiennent
respectivement `a R1et R2. On va montrer par l’absurde que x ∈ R1∪R2. Pour cela
supposons que x 6∈ R1S R2, c’est `a dire que x ∈ R3une troisi`eme r´egion. D’apr`es la
proposition 3.18 ∃y ∈ R3 de dimension n telle que y ∈ star(x). Or star(x) \ {x} ⊆
R1S R2 donc si y 6= x, y ∈ R1S R2 T R3. Or R1S R2 T R3 = ∅, donc
y = x et x est de dimension n ce qui est en contradiction avec l’hypoth`ese. Donc x ∈ R1S R2.
Montrons maintenant que R1S R2 ⊆
◦
R1S R2. D’apr`es la proposition 3.18 R1S R2⊆
◦
R1S R2 ⇔ ∀x ∈ R1S R2, ∃y une cellule de dimension n, y ∈ R1S R2 telle que y ∈
star(x). Montrons que ∀x ∈ R1S R2 on peut trouver une telle cellule y. C’est imm´ediat,
toujours d’apr`es la proposition 3.18. En effet x ∈ R1S R2 est ´equivalent `a x ∈ R1 ou
x ∈ R2. Or R1 et R2 sont des r´egions et donc si x ∈ R1 d’apr`es la proposition 3.18
∃y ∈ R1 cellule de dimension n telle que y ∈ star(x). Il en est de mˆeme si x ∈ R2. ut
Cette fois-ci les deux r´egions (a) et (c) de la figure 3.12 ne peuvent pas ˆetre strictement adjacentes car le point interpixel central est une cellule liante pour la r´egion (b). On a donc le graphe d’adjacence G2. Sur ce graphe il n’est pas possible
de fusionner les deux r´egions (a) et (c) sans tenir compte de la r´egion (b).
Mais lors de la segmentation et de la cr´eation de la r´egion (b), la d´ecision concernant le point interpixel central n’est pas forc´ement d´efinitive. Il peut donc ˆetre important de garder sous une certaine forme les arcs d’adjacence. On pourra ainsi lancer une analyse plus fine : par exemple lors de l’utilisation d’une m´ethode de segmentation autorisant les retours en arri`ere (backtrack).
3.4
Conclusion et perspectives.
Le formalisme que nous avons pr´esent´e nous permet de travailler sur un mod`ele coh´erent de repr´esentation des images. Il s’appuie sur la notion de complexe cel- lulaire, reste li´e `a la topologie classique sur IRn, mais prend aussi en compte les contraintes de l’analyse d’images.
La topologie-´etoile, topologie engendr´ee par les ´etoiles ouvertes, nous permet de r´ecup´erer les r´esultats de la topologie alg´ebrique r´eelle, pour les transposer `
”naturellement” et nous permettent de proposer un th´eor`eme de Jordan adapt´e `a la topologie-´etoile.
Nous avons adopt´e cette topologie en la sp´ecialisant afin de tenir compte des sp´ecificit´es du domaine de l’analyse d’images : besoin de d´efinir des r´egions, des bords, des fronti`eres. Mais avant d’arriver au concept de r´egion, il nous a fallu affiner encore les notions d’adjacence et de connexit´e. En effet, si une r´egion peut grossi`erement ˆetre vue comme un ensemble (homog`ene) de voxels ou pixels connexes, la topologie-´etoile oblige `a ´etudier de pr`es les ´el´ements de dimension inf´erieure permettant de r´ealiser la connexit´e. Cette approche peut paraˆıtre lourde car elle demande l’´etude des cellules de dimension non maximale. En fait nos d´efinitions sp´ecialis´ees pour l’analyse d’images, nous permettent de ne prendre en compte ces cellules que lorsqu’elles sont relatives aux bords des r´egions. Ainsi les contraintes que nous ajoutons n’alourdissent pas exag´er´ement les structures de donn´ees et les traitements.
Il faut maintenant ´etudier de plus pr`es les notions que nous avons d´ecrite dans le cadre d’un espace `a 3 dimensions. Notamment, il serait int´eressant de d´efinir proprement la notions de surface et d’en d´eduire un th´eor`eme discret de Jordan dans un espace `a 3 dimensions. On pourra remarquer que cette notion de surface est sous-jacente : c’est un ensemble de surfels, lignels, pointels adjacents. Reste `a trouver une formulation correcte et essayer de d´efinir correctement la notion de surface ferm´ee.
Nous disposons d’une topologie adapt´ee, encore faut-il l’utiliser. Il est donc primordial de d´efinir un (ou des) algorithmes de segmentation respectant cette to- pologie. Les algorithmes pr´esent´es dans le chapitre 5 travaillent d´ej`a en interpixel et leur conformit´e avec les imp´eratifs de la topologie-´etoile devraient ˆetre v´erifi´ee. On notera tout de mˆeme que le graphe topologique des fronti`eres que nous pr´esentons au chapitre 4 est bien conforme `a notre topologie.
Dans un avenir plus lointain, il faudra d´efinir d’autres notions que celle de r´egion. En effet la notion d’objet semble indispensable car un objet dans l’image est rarement repr´esent´e par une seule r´egion. De plus les r´egions composant l’objet ne sont pas forc´ement deux `a deux adjacentes. En effet un objet peut ˆetre recouvert partiellement par un autre. Mais ceci fait partie des objectifs `a long terme et sort du cadre de cette th`ese.
Chapitre 4
Graphe topologique des fronti`eres
4.1
Remarque pr´eliminaire
Dans la topologie classique dans IRn, et ´egalement dans la topologie-´etoile, on appelle fronti`ere d’un sous-ensemble A d’un espace topologique X, l’ensemble F r(A) = Bd(A) S Bd(X \ A) o`u Bd(A) est le bord de A (voir d´efinition `a la section 3.3.4). Or en analyse d’images on s’int´eresse `a la notion de fronti`ere entre deux r´egions R1 et R2, c’est `a dire `a une partie connexe de F r(R1)T F r(R2).
Par la suite, et par abus de langage, le terme fronti`ere d´esignera pour nous une fronti`ere entre deux r´egions, c’est `a dire une fronti`ere en terme d’analyse d’images. Lorsqu’on parlera de la fronti`ere F r(R) d’une r´egion R, nous dirons « fronti`ere au sens topologique du terme ».