PROPRIE´TE´S DE SYME´TRIE

Le calcul analytique des champs et potentiels e´lectrostatiques cre´e´s par des distributions de charges n’est pas toujours aise´ et le recours a` des conside´rations de syme´trie peut s’ave´rer incontournable. En effet la cartographie des lignes de champ et potentiels refle`te la ge´ome´trie de la distribution de charges au sein du syste`me. Au pre´alable a` toute de´termination de grandeurs e´lectriques il convient de proce´der a` une analyse de la syme´trie du syste`me de charges. Cette approche permet de pre´voir la syme´trie des champs et potentiels e´lectrostatiques cre´e´s par le syste`me. Dans la suite on introduit les bases de cette me´thodologie.

a) Principe de Curie

La syme´trie des causes (que sont les charges, sources de l’e´lectrostatique) se retrouve dans les effets produits (que sont le champ et le potentiel e´lectrostatiques).

Ce principe est tre`s utile en e´lectrostatique car il permet de pre´voir l’allure des lignes du champ e´lectrique et les surfaces e´quipotentielles a` partir de la syme´trie du syste`me charge´.

La re´ciproque n’est pas toujours vraie mais on peut souligner que lorsque certains effets re´ve`lent une certaine dissyme´trie, cette dissyme´trie se retrouve dans les causes qui leur ont donne´

naissance.

b) De´finition des ope´rations de syme´trie

Nous allons conside´rer le cas ou` la distribution de charges e´lectriques pre´sente :

➤un plan de syme´trie

➤un plan d’anti-syme´trie

➤une invariance par translation paralle`lement a` un axe

➤une invariance par rotation autour d’un axe.

Syme´trie plane : Transforme´e d’une grandeur scalaire (potentiel e´lectrostatique)

On conside`re deux pointsMetM<sub>S</sub>place´s syme´triquement par rapport a`

un plan (p) (voirfigure 2.8).

Si la chargeq(M) (ou la densite´ de charger(M)) situe´e enMest e´gale a` la chargeq(M<sub>S</sub>) (ou a` la densite´ de charger(M_S)) situe´e en MSalors le plan est un plan de syme´trie (pS).

Si la chargeq(M) (ou la densite´ de chargerðMÞ) situe´e enMest e´gale a` l’oppose´ de la charge q(MS) (ou la densite´ de charge rðMSÞ) situe´e en MS alors le plan est un plan d’anti-syme´trie (pAS).

➤ Transformation par un plan de syme´trie (p^S) : M!^pSMS

(figure 2.9)

rðMÞ !^pS rðMSÞ ¼rðMÞ

qðMÞ !^pS qðMSÞ ¼qðMÞ )VðMÞ !^pS VðMSÞ ¼VðMÞ Une transformation par un plan de syme´trie (pS) laisse inchange´e une grandeur scalaire telle que le potentiel e´lectrostatique.

MS M

Plan de symétrie (πS) ou plan miroir

MS M

Plan d’anti-symétrie (πAS)

ρ(M) = ρ(M_S) q(M) = q(M_S)

ρ(M) = –ρ(M_S) q(M) = –q(M_S)

Figure 2.8 Plan de syme´trie (pS) et d’anti-syme´trie (pAS). Le pointM_Sest le syme´trique deMpar rapport aux plans (pS) et (pAS).

➤ Transformation par un plan d’anti-syme´trie (p^AS) : M!^pASMS(voir figure. 2.9)

rðMÞ !^pS rðMSÞ ¼ rðMÞ (

qðMÞ !^pS qðMSÞ ¼ qðMÞ )VðMÞ !^pS VðMSÞ ¼ VðMÞ Une transformation par un plan d’anti-syme´trie (pAS) change une grandeur scalaire (telle que le potentiel e´lectrostatique) en son oppose´.

Si le pointMest dans le plan d’anti-syme´trie il se confond avec son syme´-triqueMS. On a alors :

M 2 ðp^ASÞ!VðMÞ ¼ VðMSÞ ¼ VðMÞ )VðMÞ ¼0 Le potentiel est nul dans un plan d’anti-syme´trie pour les charges.

Syme´trie plane : Transforme´e d’une grandeur vectorielle (champ e´lectrostatique)

Lafigure 2.10montre comment un vecteur se transforme par syme´trie plane.

La syme´trie plane transforme une grandeur vectorielle paralle`le au plan en son syme´trique identique (vecteur ^!b₌₌¼^!bS== de la figure 2.10).

La syme´trie plane transforme une grandeur vectorielle perpendicu-laire au plan en son oppose´ (vecteur^!a_?¼ ^!aS?de lafigure 2.10).

La syme´trie plane transforme une grandeur vectorielle comme dans un miroir (vecteur^!uPM!^!uPSMS de lafigure 2.10).

M_S M

Plan de symétrie (πS) ou plan miroir

M_S M

Plan d’anti-symétrie (πAS)

V(M) = V(M_S) V(M) = –V(M_S) q

V

q V

–q q

–V V

Figure 2.9 Plan de syme´trie (pS) et d’anti-syme´trie (pAS). Le pointMSest le syme´trique deMpar rapport aux plans (p_S) et (p_AS).

D’apre`s la loi de Coulomb, le champ e´lectrostatiqueE<sup>!</sup>enMcre´e´ par une chargeqenPest un vecteur proportionnel au produit de la chargeq par le vecteur unitaire<sup>!</sup>uPMdirige´ dePversM. On va donc pouvoir en de´duire comment le vecteur champ e´lectrostatique se transforme par rapport a` un plan de syme´trie ou d’anti-syme´trie (figure 2.11).

Transformation du vecteur champ e´lectrostatique

!E

par un plan de syme´trie (pS)

La transformation par un plan de syme´trie (p^S) laissant inchange´s les scalaires, le vecteur champ e´lectrostatique se transforme comme pour une syme´trie plane c’est-a`-dire comme dans un miroir (voirfigure 2.11 et2.12).

M_S M

P_S P

u^→_PM u_P

SM_S

→

→a_⊥ ^→a_S⊥ = –a^→_⊥ b_//

→ ^→b_{S// =} b^→_//

Figure 2.10 Transformation d’un vecteur par une syme´trie plane.

ρ(P_S)u→_PSMS

ρ(P_S)u→_PSMS

u_PSMS

→

M

M_S

P_S P

ρ(P)u→_PM

ρ(P)u→_PM

M M_S

P_S P

ρ(P) = ρ(P_S) q(P) = q(P_S)

ρ(P) = –ρ(P_S) q(P) = –q(P_S) Plan de symétrie (πS) Plan d’anti-symétrie (πAS)

Figure 2.11 Transformation d’un vecteur multiplie´ par un scalaire par un plan de syme´trie (p_S) et par un plan d’anti-syme´trie (p_AS). Dans le cas des figures on a choisir(P) ouq(P)>0.

Un plan de syme´trie pour les charges :

➤laisse inchange´e la composante du vecteur champ e´lectrostatique paralle`le au plan (ES==¼E₌₌)

➤transforme la composante du vecteur champ e´lectrostatique perpen-diculaire au plan en son oppose´ (ES?¼ E_?)

Par rapport a` un plan de syme´trie pour les charges, le vecteur champ e´lectrostatique se transforme comme dans un miroir.

Si le point M appartient au plan de syme´trie il se confond avec son syme´triqueMS. On a alors :

M etMSsymetriques=pS)^!E_?ðMSÞ ¼ E^!_?ðMÞ M2pS;MMS)^!E_?ðMSÞ ¼^!E_?ðMÞ

)

)E^!_?ðMÞ ¼^!0

Le vecteur champ e´lectrostatique est dans le plan de syme´trie.

Transformation du vecteur champ e´lectrostatique

!E

par un plan d’anti-syme´trie (pAS)

Dans la transformation par un plan d’anti-syme´trie changeant un sca-laire en son oppose´, on obtient un vecteur champ e´lectrostatique oppose´ a` celui obtenu par une syme´trie plane (voirfigures 2.11et2.13).

Un plan d’anti-syme´trie pour les charges (figure 2.13) :

➤transforme la composante du vecteur champ e´lectrostatique paral-le`le au plan en son oppose´ :EAS==¼ E₌₌

➤laisse inchange´e la composante du vecteur champ e´lectrostatique perpendiculaire au plan :EAS?¼E_?

E(M)^→ E(M^→ _S)

M_S

M E^→_⊥ E^→_S⊥= –E^→_⊥

E_//

→

E_S// = E^→_//

→

Plan de symétrie (pS) pour les charges

(q) (q) (q) (q)

Figure 2.12 Transformation du vecteur champ e´lectrostatique par un plan de syme´trie (pS).

Si le pointMest dans le plan d’anti-syme´trie il se confond avec son syme´triqueM_S. On a alors :

M etMSsymetriques=p^AS)^!E₌₌ðMSÞ ¼ ^!E₌₌ðMÞ M2p^S;MMS)^!E₌₌ðMSÞ ¼E^!₌₌ðMÞ

)

)E^!₌₌ðMÞ ¼^!0

Le vecteur champ e´lectrostatique n’a pas de composante dans le plan d’anti-syme´trie : il est perpendiculaire au plan d’anti-syme´trie.

Les transformations d’une grandeur vectorielle par un plan de syme´trie ou d’anti-syme´trie de´pendent de la nature du champ de vecteurs. Les re´sultats donne´s ci-dessus concernent un champ de vecteurs polaires (ou vecteur) (tel que le champ e´lectrostatique, un champ de vitesses. . .). Les re´sultats sont oppose´s pour un champ de vecteurs axiaux (ou pseudo vecteur) (tel que le champ magne´tique).

Invariance par translation

Il y a invariance par translation paralle`lement a` un axe Dconfondu avec l’axe Ozd’un repe`re carte´sien si la densite´ de charges rreste inchange´e lorsqu’on passe d’un point M de coordonne´es (x, y, z) a`

un point M⁰ de coordonne´es (x, y, z⁰) (figure 2.14). On peut donc e´crire :

Pour toutzetz⁰ rðx;y;zÞ ¼rðx;y;z⁰Þ

Plan d’anti-symétrie (pAS) pour les charges E_//

E_AS// = –E_//

→

E_⊥

→

→

→

E_AS⊥ = E^→_⊥

→

E(M)

E(M_S)

→

→

M

M_S (q) (–q)

(q) (–q)

Figure 2.13 Transformation du vecteur champ e´lectrostatique par un plan d’anti-syme´trie (pAS).

La densite´ ne de´pend pas de la variablez.

Dans ces conditions, le potentiel e´lectrostatique V(M) et le vecteur champ e´lectrostatique ^!EðMÞ restent inchange´s par transla-tion le long de l’axe Oz : ces grandeurs ne de´pendent pas de la variable z.

Invariance par translation suivant un axe Oz : VðMÞ ¼Vðx;y;zÞ ¼Vðx;yÞ

!E

ðMÞ ¼^!Eðx;y;zÞ ¼^!Eðx;yÞ

Invariance par rotation

L’ope´ration de rotation autour d’un axe D d’un angle de 2p=n (n entier) se note C^D_n. La densite´ de charges rðMÞ est invariante par l’ope´rationC^D_n si une rotation de 2p=nautour de l’axeD, qui ame`ne le point M au point M⁰, laisse la densite´ de charges inchange´e : rðMÞ ¼rðM⁰Þ

L’axeDcorrespond alors a` un axe de syme´trie d’ordren.

On note l’ope´ration de rotation autour d’un axeDd’un angle quel-conque parC^D_¥

La densite´ de charges e´lectriquerðMÞest invariante par l’ope´ration C^D_¥si, pour une rotation d’un anglequelconque autour de l’axeD qui de´place M en un point M⁰, la densite´ reste inchange´e : rðMÞ ¼rðM⁰Þ.

La distribution de charges posse`de alors la syme´trie de re´volution autour de l’axe D (axe de syme´trie). En repe´rant le point M en

Axe Δ

M(x,y,z)

M'(x,y,z’) O

z

Figure 2.14 Distribution de charges invariante par translation.

coordonne´es cylindriques (r; ;z), l’axe de syme´trieDe´tant confondu avec l’axeOz, on peut e´crire :

rðMÞ ¼rðr; ;zÞ ¼rðr;zÞ La densite´ ne de´pend pas de la variable

Dans ces conditions, le potentiel e´lectrostatique V(M) reste inchange´ par rotation autour de l’axe de syme´trie Oz et ne de´pend donc pas de la variable. De meˆme, par rotation autour de l’axeDqui ame`ne un point Men M⁰, le vecteur champ e´lectrostatique^!EðMÞ se superpose au vecteur champ e´lectrostatiqueE^!ðM⁰Þ.

Ces grandeurs ne de´pendent pas de la variable. Δ

n 2π α = —–

M M’

σ(M) = σ(M')

Figure 2.15 Invariance par rotation d’un anglea¼2p=nautour de l’axeD.

Axe de rotation:

Symétrie de révolution Plan d’anti-symétrie

(V = 0)

Plans de symétrie

Plan de symétrie E^→

E^→

(c) (b)

(a)

Figure 2.16 Lignes de champ pour deux charges : (a) (+q,q) ; (b) (2q,q) ; (c) (+q, +q). Tout plan contenant les charges est plan de syme´trie.

Invariance par rotation autour de l’axe de syme´trie Oz : VðMÞ ¼Vðr; ;zÞ ¼Vðr;zÞ

EðMÞ ¼Eðr; ;zÞ ¼Eðr;zÞ

Remarque: Tout plan contenant un axe de syme´trie de re´volution est un plan de syme´trie.

Cas ou` le pointMest sur un axe de syme´trie :

Le vecteur champ e´lectrostatique^!EðMÞdevant se superposer a` lui-meˆme par une rotation quelconque il faut ne´cessairement que le champ e´lectrostatique soit suivant l’axe de syme´trie.

Exemples d’e´le´ments de syme´trie de corps charge´s

La figure 2.16 repre´sente la cartographie des lignes de champ pour trois syste`mes de charges : a) deux charges (+q,q), b) deux charges (2q,q) et c) deux charges (+q, +q). On peut remarquer que tout plan contenant les deux charges est un plan de syme´trie : il y en a une infinite´, en particulier le plan de la figure et le plan perpendiculaire a` la figure. L’intersection de ces plans de syme´trie de´finit un axe de syme´-trie de re´volution. Dans le cas (a), il existe un plan d’anti-syme´syme´-trie : le champ e´lectrostatique est perpendiculaire au plan et le potentiel e´lectrostatique est nul.

Re´capitulatif

Si le pointMappartient a` :

➤un plan de syme´trie des charges alors :^!EðMÞest dans le plan

➤un plan d’anti-syme´trie des charges alors :^!EðMÞest perpendiculaire au plan et le potentiel est nul

➤deux plans de syme´trie des charges alorsE^!ðMÞest suivant la droite commune au deux plans

➤un axe de syme´trie des charges alorsE^!ðMÞest suivant cet axe Si la re´partition des charges est invariante :

➤par translation suivant une directionOzalors champ et potentiel ne de´pendent pas de la variablez

➤par rotation d’un angleautour d’un axeOzalors champ et potentiel ne de´pendent pas de la variable

2.3 CHAMP ET POTENTIEL E´LECTROSTATIQUES CRE´E´S PAR

Dans le document ÉlectrostatiqueMagnétostatique Électro- magnétisme (Page 51-60)