The´ore`me de Gauss
3.3 APPLICATIONS DU THE´ORE`ME DE GAUSS
a) Champ et potentiel e´lectrostatiques cre´e´s par une sphe`re charge´e
La sphe`re charge´e (surfaceSC, volumeVC) est de´finie par son centreO et son rayonR. Elle porte une charge totaleQre´partie uniforme´ment soit en surface (avec une densite´ surfaciqueso) soit en volume (avec une densite´ volumiquero).
Si la re´partition est surfacique on a : Q¼
ð
M2SC
sodS¼so ð
M2SC
dS¼soSC ¼4pR2so)so¼ Q 4pR2
Si la re´partition est volumique on a : Q¼
ð
M2VC
rodV ¼ro
ð
M2VC
dV ¼roVC ¼4pR3
3 ro)ro¼ 3Q 4pR3
On cherche le champ e´lectrostatique cre´e´ par cette sphe`re en un pointMsitue´ a` la distancerdeO(OM=r).
Syme´trie des charges
La re´partition de charges pre´sente la syme´trie sphe´rique (voir encart 3.4).
Le champ et le potentiel s’expriment en coordonne´es sphe´riques : On a~EðMÞ ¼~Eðr;y;jÞetVðMÞ ¼Vðr;y;jÞ
Pour tout point M de l’espace, la droite OM est un axe de syme´trie. De plus il y a invariance par rotation des angles (y,j). On peut e´crire :
Vðr;y;jÞ ¼VðrÞ et~Eðr;y;jÞ ¼~EðrÞ
Les surfaces e´quipotentielles de´finies par VðrÞ= constante correspondent a` l’ensemble des points pour lesquels r= constante c’est a` dire a` des sphe`res centre´es surOet de rayonr.
Le champ devant eˆtre suivant la direction deOM(axe de syme´trie) il est donc radial :~EðrÞ ¼EðrÞ~ur
On retrouve bien que le champ e´lectrostatique est perpendiculaire aux surfaces e´quipotentielles.
Choix de la surface de Gauss
Le champ ~EðrÞ ¼EðrÞ~ur, radial, est perpendiculaire a` des surfaces sphe´riques centre´es surOet garde une norme constante sur ces sphe`res (rfixe´). La surface de Gauss a` prendre est donc une sphe`re de centreO de rayonr=OM(le pointMappartient a` la surface ferme´e de Gauss).
Expression du flux sortant a` travers la surface de Gauss :
Une surface e´le´mentaire sur la sphe`re autour du pointMs’e´crit : d~S¼ dS~ur. On a donc :
FS¼ þ
r¼cst
~Ed~S¼ þ
r¼cst
EðrÞ~ur:~urdS¼ þ
r¼cst
EðrÞdS¼EðrÞ þ
r¼cst
dS
¼EðrÞS
La surface de la sphe`re de Gauss de rayonrestS¼4pr2; On a donc : FS¼4pr2EðrÞ
Encart 3.4 Syme´trie sphe´rique
Les coordonne´es approprie´es sont les coordonne´es sphe´riques (r,y,j) (voir figure).
z
y
x
ϕ θ
O r
Pour une sphe`re de centreO:
Toutes les droites passant par le centre O sont des axes de syme´trie.
Tous les plans contenantOsont des plans de syme´trie.
Une re´partition volumique de charges est caracte´rise´e par sa densite´ rðr;y;jÞ. Si elle pre´sente la syme´trie sphe´rique alors toute droite passant par le centreOest un axe de syme´trie et donc il y a invariance par rotation d’un angle jquelconque et d’un angleyquelconque.
On a alors :rðr;y;jÞ ¼rðrÞ(aucune direction n’est privile´gie´e) et donc la re´partition pre´sente la syme´trie sphe´rique.
De meˆme pour une re´partition surfacique de charge on aura : sðr¼R;y;jÞ ¼sðr¼RÞ ¼so(le rayon est fixe´)
The´ore`me de Gauss :FS¼Qint eo
On a alors :FS¼Qeinto ¼4pr2EðrÞ ) EðrÞ ¼ Qint
4pr2eo ð3:9Þ
Il reste a` de´terminer la chargeQint(charge a` l’inte´rieur de la surface ferme´e de Gauss, ici la sphe`re de rayonr). Cette charge va de´pendre de la position du pointMconside´re´.
Deux cas se pre´sentent :
Le pointMest a` l’inte´rieur de la sphe`re charge´e (r<R). La sphe`re de Gauss est donc a` l’inte´rieur de la sphe`re charge´e (figure 3.14 b).
Le pointMest a` l’exte´rieur de la sphe`re charge´e (r>R). La sphe`re de Gauss entoure comple`tement la sphe`re charge´e (figure 3.14 a).
Calcul deQintdans le casr>R(Mest a` l’exte´rieur de la sphe`re charge´e de rayonR) (figure 3.14a)
Dans ce cas il est facile de voir que la chargeQintcorrespond a` la charge totale de la sphe`re c’est- a` -direQ.
Pour r>R : Qint=Q
Ce re´sultat est valable que la charge soit surfacique ou volumique.
Calcul deQintdans le casr<R(Mest a` l’inte´rieur de la sphe´re charge´e de rayonR) (figure 3.14b)
Si la re´partition de charge est surfacique et uniforme, on a : so¼Q
S ¼ Q
4pR2)Q¼4pR2so
Dans ce cas, sir<R, il n’y a aucune charge a` l’inte´rieur de la surface de Gauss (Qintnulle).
Si la re´partition est volumique, la charge e´tant re´partie uniforme´-ment dans le volumeV ¼43pR3, on a :
ro¼ Q V ¼ 3Q
4pR3)Q¼4 3pR3ro R
O
M
r>R
O R r<R M Sphère
Charge Q
Sphère de Gauss
(b) (a)
Figure 3.14 Sphe`re de rayonRportant une chargeQet sphe`re de Gauss de rayon OM =ravec a)r>Ret b)r<R.
Dans ce cas, si r < R, il faut calculer la charge qui se trouve uniquement dans la sphe`re de rayonr(rayon de la sphe`re de Gauss) :
Qint¼roVGauss ¼ro
4 3pr3
Les expressions du champ e´lectrostatique (relation 3.9), suivant les valeurs de OM = r et dans les cas ou` la re´partition de charge est uniforme surfacique ou volumique, sont rassemble´es dans le tableau 3.1.
Lorsque le point Mest a` l’exte´rieur de la sphe`re portant la chargeQ, le champ e´lectrostatique a la meˆme expression que le champ cre´e´ par une charge ponctuelleQsitue´e au centreOde la sphe`re. Ceci est vrai quelque soit le type de re´partition des charges (surfacique ou volumique) du moment que la syme´trie sphe´rique est conserve´e (figure 3.15).
Dans le cas de la re´partition surfacique de charge, on constate qu’il y a une discontinuite´ du champ a` la traverse´e de la surface charge´e TABLEAU3.1 CHAMP E´LECTROSTATIQUE CRE´E´ PAR UNE SPHE`RE CHARGE´E:LA SPHE`RE,DE CENTRE
OET RAYONR,PORTE LA CHARGE TOTALEQ.
OM = r Densite´ surfaciquero Densite´ volumiqueqo
r < R Qint¼0
il y a discontinuitedu champ DE¼EðRþÞ EðRÞ ¼so il y a continuitedu champ
(voirtableau 3.1). Cette discontinuite´ vaut : DE¼ lim
r!RþEðrÞ lim
r!REðrÞ ¼so eo
Ce re´sultat se ve´rifie pour toute surface charge´e inde´pendamment de sa forme.
Il n’y a pas de discontinuite´ du champ pour une re´partition volumique.
Calcul du champ e´lectrostatique sur la sphe`re charge´e dans le cas de la re´paration surfacique de charges :
Dans ce cas, la surface de Gauss se confond avec la surface sphe´r-ique charge´e : les charges ne sont ni a` l’inte´rieur ni a` l’exte´rieur de la surface de Gauss, elle sont sur la surface. Le the´ore`me de Gauss s’e´crit (relation 3.8) :
Fsortant¼ þ
M2S
~EðMÞ:d~S¼4pR2EðRÞ ¼Qsurf 2eo ¼ Q
2eo
EðRÞ ¼ Q 8pR2eo
¼ so
2eo ð3:10Þ
On constate que le champ a pour valeur la moitie´ de la discontinuite´.
Calcul du potentielV(M) Par de´finition :
dVðMÞ ¼ ~EðMÞ:d~l¼ EðrÞ~ur:d~l
Un de´placement e´le´mentaire d~l quelconque peut toujours se de´composer en un de´placement e´le´mentaire dr~ur suivant~ur et d~l? suivant une direction perpendiculaire a`~ur. On peut e´crire :
~ur:d~l ¼~ur:½dr~urþd~l? ¼dr
R O
M r>R
r>R O
Q
Q E(M)→ M
E(M)→
Figure 3.15 E´quivalence entre le champ e´lectrostatique cre´e´ a` l’exte´rieur d’une sphe`re portant une chargeQ(la re´partition de charge pre´sentant la syme´trie sphe´rique) et le champ cre´e´ par cette meˆme charge ponctuelle situe´e au centre Ode la sphe`re.
On obtient alors : dVðMÞ ¼ EðrÞdr)dVdr ¼ EðrÞ
Par inte´gration deE(r), on obtient le potentiel a` une constante pre`s qui de´pend du choix de l’origine des potentiels.
Le champ e´lectrostatique e´tant une grandeur physique qui existe, le potentiel doit eˆtre une fonction de´rivable en tout point ce qui impose qu’elle soit continue.
On inte`gre doncE(r) dans les diffe´rents domaines (r<Retr>R) puis on de´termine les constantes d’inte´gration en fixant une origine des potentiels et en ve´rifiant la continuite´ deVpourr=R.
Pour les calculs du potentiel, on peut choisir par exemple le potentiel nul a` l’infini :Vðr!?Þ ¼0
Le tableau 3.2 rassemble les expressions du potentiel pour une re´partition surfacique ou volumique de charges.
Lafigure 3.16est une repre´sentation graphique des re´sultats obtenus :
b) Champ et potentiel e´lectrostatiques cre´e´s par un cylindre charge´ uniforme´ment
Le cylindre, conside´re´ de longueur infinie, est caracte´rise´ par son axe de re´volution zz0 et son rayonR. Il est charge´ uniforme´ment soit en surface (densite´ surfaciqueso) soit en volume (densite´ volumiquero).
Fonction en
Figure 3.16 Repre´sentation graphique du champ et du potentiel cre´e´s par une sphe`re charge´e (charge Q) uniforme´ment en surface (so) ou en volume (ro).
TABLEAU3.2 POTENTIEL E´LECTROSTATIQUE CRE´E´ PAR UNE SPHE`RE CHARGE´E:LA SPHE`RE,
DE CENTREOET RAYONR,PORTE LA CHARGE TOTALEQ.
OM = r Densite´ surfaciquero Densite´ volumiqueqo
r < R dVint
Continuitedu potentiel enr¼R VintðRÞ ¼ro
Une hauteur h du cylindre (surface SC, volume VC), porte une chargeQcorrespondant alors a` :
Q¼ ð
M2SC
sodS¼so
ð
M2SC
dS¼soSC ¼2pRhso)so¼ Q 2pRh si la re´partition est surfacique
Q¼ ð
M2VC
rodV ¼ro
ð
M2VC
dV ¼roVC ¼pR2hro)ro¼ Q pR2h si la re´partition est volumique
Dans la suite, on cherche le champ e´lectrostatique cre´e´ par ce cylindre en un pointMsitue´ a` la distancerde l’axe de syme´trie.
Syme´trie des charges
La re´partition des charges pre´sente la syme´trie cylindrique (voir encart 3.5).
Le champ et le potentiel s’expriment en coordonne´es cylindriques par :
~EðMÞ ¼~Eðr;y;zÞetVðMÞ ¼Vðr;y;zÞ
L’invariance par translation suivant zet par rotation d’un angley quelconque autour de cet axe conduit a` :
Vðr;y;zÞ ¼VðrÞ et~Eðr;y;zÞ ¼~EðrÞ
Les surfaces e´quipotentielles correspondent a` l’ensemble des points pour lesquelsr= constante c’est- a` -dire a` des cylindres de meˆme axe z’zet de rayonr.
Le champ e´tant perpendiculaire aux surfaces e´quipotentielles, il est force´ment radial :~EðrÞ ¼EðrÞ~ur
La droite perpendiculaire a` l’axe et passant par un pointMest un axe de syme´trie d’ordre 2 correspondant a` l’intersection de 2 plans de syme´triep1
(contenant M et l’axe) et p2 (contenant M et perpendiculaire a` l’axe) (voir encart 3.5). Le champ e´lectrostatique est donc suivant cette droite et donc radial.
Encart 3.5 Syme´trie cylindrique
Les coordonne´es approprie´es sont les coordonne´es cylindriques (r,y,z) (voir figure)
p1
p2
D = z'z
L’axeD¼z0zest un axe de syme´trie de re´volution
Il y a invariance par translation paralle`lement a` cet axe (suivantz) (cylindre infini)
Il y a invariance par rotation d’un angleyautour a` cet axe Les plansp1etp2sont des plans de syme´trie ou plans miroir (tout plan contenant l’axe de syme´trie ou perpendiculaire a` l’axe de syme´trie est un plan de syme´trie)
Pour une densite´ volumique de charges pre´sentant la syme´trie cylindrique on aura :rðr;y;zÞ ¼rðrÞ
Pour une densite´ surfacique de charges on aura : sðr¼R;y;zÞ ¼sðr¼RÞ ¼so(le rayon est fixe´)
Choix de la surface de Gauss
Le champ ~EðrÞ ¼EðrÞ~ur, radial, est perpendiculaire a` des surfaces cylindriques d’axez0zet garde une norme constante sur ces cylindres (rfixe´). La surface de Gauss a` prendre est donc un cylindre d’axez0zet de rayon r (le point M appartient a` la surface ferme´e de Gauss).
La surface doit de´limiter un volume fini de l’espace pour que la valeur du flux prenne une valeur finie. Il suffit alors de limiter le cylindre de Gauss a` une hauteurhquelconque, la surface e´tant ferme´e par les deux couvercles perpendiculaires a` l’axe.
Remarque :
Le re´sultat final ne doit pas de´pendre de la hauteurhqui est choisie de facon arbitraire.¸
Expression du flux sortant a` travers la surface de Gauss :
La surface de Gauss se de´compose naturellement en trois parties : le cylindre, les couvercles C1supe´rieur et C2infe´rieur (figure 3.17).
La surface e´le´mentaire sur la partie cylindrique, autour du pointM, s’e´crit : d~S¼dS~ur.
Pour le couvercle C1on aura d~S1¼dS1~uzet pour C2: d~S2¼ dS2~uz
(le vecteur unitaire normal a` la surface doit eˆtre dirige´ vers l’exte´rieur).
Le flux total se de´compose en trois flux : FS¼
þ
SGauss
~E:d~S
¼ ð
r¼cst
E rð Þ~ur:~urdSþ ð
C1
E rð Þ~ur:dS1~uzþ ð
C2
E rð Þ~ur:dS2~uz
u→r u→r
–u→z –u→z
uz uz →
→
z’
z
z’
z
r
R R
r M M
h h
Cylindre infini chargé
Surface fermée de Gauss (cylindre)
(b) (a)
Figure 3.17 Cylindre infini de rayon R charge´ uniforme´ment et surface cylindrique de Gauss, hauteurhet rayonr(distance du pointMa` l’axe) avec a)r<Ret b)r>R.
Le flux du champ e´lectrostatique a` travers les couvercles est nul (le champ ne traverse pas les couvercles) ; il reste donc :
FS¼ þ
SGauss
~E:d~S¼ ð
r¼cst
E rð ÞdS¼E rð Þ ð
r¼cst
dS
La surface du cylindre de Gauss de rayon r et hauteur h est S¼2prh. On a donc :
FS¼2prhEðrÞ
The´ore`me de Gauss :FS¼Qint
eo ¼2prhEðrÞ ) EðrÞ ¼ Qint
2prheo ð3:11Þ
Il reste a` de´terminer la chargeQint(charge a` l’inte´rieur de la surface ferme´e de Gauss). Cette charge va de´pendre de la position du pointM conside´re´.
Deux cas se pre´sentent:
Le pointMest a` l’inte´rieur du cylindre charge´ (r<R). Le cylindre de Gauss est alors a` l’inte´rieur du cylindre charge´ (figure 3.17 a).
Le pointMest a` l’exte´rieur du cylindre charge´ (r>R). Le cylindre de Gauss entoure alors une partir du cylindre charge´ (figure 3.17 b).
Calcul deQintdans le casr>R(Mest a` l’exte´rieur du cylindre infini charge´ de rayonR) (figure 3.17 b)
Dans ce cas il est facile de voir que la chargeQintcorrespond a` la chargeQsitue´e sur une hauteurhdu cylindre infini charge´.
Pour r>R : Qint=Q
Si la re´partition est surfacique :Qint¼Q¼Shso¼2pRhso
Si la re´partition est volumique :Qint¼Q¼Vhro¼pR2hro
Calcul deQintdans le casr<R(Mest a` l’inte´rieur du cylindre infini charge´ de rayonR) (figure 3.17 a)
Si la re´partition de charge est surfacique, les charges se trouvent a` l’exte´rieur de la surface de Gauss : il n’y a aucune charge dans la surface ferme´e de Gauss :Qint= 0
Si la re´partition est volumique, la charge inte´rieure se trouve dans le volume de´limite´ par la surface de Gauss ferme´e. On a donc :
Qint¼roVGauss ¼ropr2h
Les expressions du champ e´lectrostatique (relation 3.11), suivant les valeurs de OM = r et dans les cas ou` la re´partition de charges est uniforme surfacique ou volumique, sont rassemble´es dans letableau 3.3.
Dans le cas de la re´partition surfacique de charge, on constate qu’il y a une discontinuite´ du champ a` la traverse´e de la surface charge´e (voir tableau 3.3). Cette discontinuite´ vaut :
DE¼ lim
r!RþEðrÞ lim
r!REðrÞ ¼so
eo
On retrouve ici le meˆme re´sultat que dans le cas de la sphe`re charge´e en surface.
Il n’y a pas de discontinuite´ du champ pour une re´partition volumique.
Calcul du champ e´lectrostatique sur le cylindre charge´ dans le cas de la re´paration surfacique de charges :
Dans ce cas, la surface de Gauss se confond avec une partie de la surface charge´e : la charge n’est ni a` l’inte´rieur ni a` l’exte´rieur, elle est-surfacique. Le the´ore`me de Gauss s’e´crit (relation 3.8) :
Fsortant¼
On constate que le champ a pour valeur la moitie´ de la discontinuite´.
TABLEAU3.3 CHAMP E´LECTROSTATIQUE CRE´E´ PAR UN CYLINDRE INFINI CHARGE´ DE RAYONR. OM = r Densite´ surfaciquero Densite´ volumiqueqo
r < R Qint¼0
il y a discontinuitedu champ DE¼EðRþÞ EðRÞ ¼so Il y a continuitedu champ
Calcul du potentielV(M)
Par de´finition : dVðMÞ ¼ ~EðMÞ:d~l ¼ EðrÞ~ur:d~l
Un de´placement e´le´mentaire d~l quelconque peut toujours se de´composer en un de´placement e´le´mentaire dr~ur suivant~ur et d~l? suivant une direction perpendiculaire a`~ur. On a alors :~ur:d~l¼dr
La de´finition s’e´crit : dVðMÞ ¼ EðrÞdr)VðrÞ ¼ ð
EðrÞdr Par inte´gration deE(r), on obtient le potentiel a` une constante pre`s qui de´pend du choix de l’origine des potentiels.
Rappel : le potentiel doit eˆtre une fonction continue en tout point.
On inte`gre doncE(r) dans les diffe´rents domaines (r<Retr>R) puis on de´termine les constantes d’inte´gration en fixant une origine des potentiels et en ve´rifiant la continuite´ deVpourr=R.
Le tableau 3.4 rassemble les expressions du potentiel pour une re´partition surfacique ou volumique de charges.
On constate qu’il n’est pas possible de choisir le potentiel nul a` l’infini.
Ceci est lie´ a` l’existence de charges a` l’infini. Il faut donc faire un autre choix. Il y a plusieurs possibilite´s : on peut choisir le potentiel nul sur l’axe (V(r= 0) = 0) ou bien nul sur le cylindre (V(r=R) = 0 ou encore a` une distance roquelconque (unitaire par exemple) (V(r=ro) = 0).
Lafigure 3.18est une repre´sentation graphique des re´sultats obtenus :
Fonction en
Figure 3.18 Repre´sentation graphique du champ et du potentiel cre´e´s par un cylindre infini charge´ uniforme´ment en surface (so) ou en volume (ro). Le choix de l’origine des potentiels estV(r=R) = 0 (potentiel nul sur la surface).
c) Champ et potentiel e´lectrostatiques cre´e´s par un fil infini charge´ uniforme´ment
Le fil est charge´ avec une densite´ line´ique de chargeloconstante.
Le proble`me est identique a` celui du cylindre en faisant tendre le rayon vers 0. Le pointMne peut qu’eˆtre a` l’exte´rieur et donc les calculs se simplifient.
Syme´trie des charges
La re´partition de charges pre´sente la syme´trie cylindrique (voir encart 3.5). On a vu alors que :
~EðMÞ ¼EðrÞ~ur
VðMÞ ¼VðrÞ
Les surfaces e´quipotentielles de´finies par Vðr;y;zÞ ¼VðrÞ= constante correspondent a` des cylindres d’axe le fil et de rayonr.
Choix de la surface de Gauss
Comme pour le cylindre charge´, on choisit un cylindre d’axe le fil, de rayon r (le point M appartient a` la surface ferme´e de Gauss) et de hauteurh. La surface est ferme´e par les deux couvercles perpendicu-laires a` l’axe.
Expression du flux sortant a` travers la surface de Gauss
La surface de Gauss se de´compose naturellement en trois parties : le cylindre, les couvercles C1 supe´rieur et C2 infe´rieur (figure 3.17).
le flux du champ a` travers les couvercles est nul et il ne reste que le flux a` travers la surface late´rale du cylindre :
FS¼ þ
SGauss
~E:d~S¼ ð
r¼cst
E rð Þ~ur:~urdS¼ ð
r¼cst
E rð ÞdS¼E rð Þ ð
r¼cst
dS F¼2prhEðrÞ
The´ore`me de Gauss :FS¼Qeinto ¼2prhEðrÞ ) EðrÞ ¼ Qint
2prheo ð3:13Þ
TABLEAU3.4 POTENTIEL E´LECTROSTATIQUE CRE´E´ PAR UN CYLINDRE INFINI CHARGE´ DE RAYONR. OM = r Densite´ surfaciquero Densite´ volumiqueqo
r < R dVint Continuitedu potentiel enr¼R
Vintðr!RÞ ¼0
¼Vextðr!RþÞ
Vðr¼RÞ ¼0 et Continuitedu potentiel enr¼R
Vintðr!RÞ ¼0
Dans ce cas il est facile de voir que la chargeQintcorrespond a` la chargeQsitue´e sur une hauteurhdu fil charge´
Qint¼loh
On a finalement :EðrÞ ¼2plrhheo ¼2pelor Le champ est de´fini partout sauf sur le fil.
Calcul du potentielV(M)
Par de´finition : dVðMÞ ¼ ~EðMÞ:d~l ¼ EðrÞ~ur:d~l ¼ EðrÞdr dVðMÞ ¼ EðrÞdr)dV
dr ¼ EðrÞ ¼ l 2peor
Par inte´gration deE(r), on obtient le potentiel a` une constante pre`s qui de´pend du choix de l’origine des potentiels.
VðrÞ ¼ l 2peo
lnrþVo
Il n’est pas possible de choisir le potentiel nul a` l’infini (pre´sence de charges a` l’infini) ni pour r = 0 (champ non de´fini sur le fil).
On peut prendre alors :V(r=ro) = 0. On a alors : VðroÞ ¼ l
2peo
lnroþVo¼0)Vo¼ l 2peo
lnro: Finalement :
VðrÞ ¼ l
2peolnrþVo¼ l
2peolnrþ l
2peolnro¼ l 2peoln r
ro
Nous retrouvons ici les meˆmes expressions du champ et du potentiel obtenues en utilisant la loi de Coulomb (chapitre 2.3 pre´ce´dent) d) Champ et potentiel e´lectrostatiques cre´e´s
par un plan infini charge´ uniforme´ment
On conside`re un plan charge´ uniforme´ment avec une densite´
surfacique de chargesso. Il est possible alors de choisir un syste`me d’axe tel que l’axez0zsoit perpendiculaire a` ce plan et que les axesx0x ety’ysoient dans ce plan. Un pointMquelconque peut eˆtre repe´re´ en coordonne´es carte´siennes ou bien cylindriques (figure 3.19).
Une portion de plan de surfaceSporte une chargeQtelle que : Q¼
ð
M2S
sodS¼so
ð
M2S
dS¼soS
On cherche le champ e´lectrostatique cre´e´ par ce plan en un pointM situe´ a` la distancezdu plan charge´.
Syme´trie des charges
La re´partition de charges pre´sente la syme´trie d’un plan (voir paragraphe 2.3c). On a montre´ alors que (voirfigure 2.24) :
Vðx;y;zÞ ¼VðzÞ et~Eðx;y;zÞ ¼~EðzÞ ¼EðzÞ~uz
Les surfaces e´quipotentielles de´finies par VðzÞ= constante correspondent a` l’ensemble des points pour lesquels z= constante c’est- a` -dire a` des plans paralle`les au plan charge´.
Le plan charge´ est un plan de syme´trie pour les charges. Pour deux pointsM(x, y, z) etM’ (x, y,z) syme´triques par rapport a` ce plan on peut e´crire que :
VðzÞ ¼VðzÞ(le potentiel est une fonction paire)
~EðzÞ ¼ ~EðzÞ )EðzÞ ¼ EðzÞ (le champ est une fonction impaire)
Choix de la surface de Gauss
Le pointMappartient a` la surface de Gauss qui doit se composer de surfaces paralle`les au plan charge´ (confondues donc avec des e´quipotentielles). Elle est ferme´e par des parois paralle`les au champ E et reliant deux e´quipotentielles. Une surface ferme´e possible peut eˆtre un cylindre de bases paralle`les au plan et de ge´ne´ratrices coline´aires avec le champ~E (voirfigure 3.20). Le pointM est situe´
sur la base supe´rieure.
Expression du flux sortant a` travers la surface de Gauss :
La surface de Gauss se de´compose naturellement en trois parties : le cylindre, les couvercles C1supe´rieur et C2infe´rieur (figure 3.20).
σo
σo
z
x O y
M z
y M
Figure 3.19 Plan infini charge´ uniforme´ment : la droite passant par M et perpendiculaire au plan est un axe de syme´trie pour la re´partition des charges.
Le champ~EðMÞ ¼EðzÞ~uzreste paralle`le a` la surface cylindrique : le flux du champ a` travers cette portion de surface est donc nulle (~EðMÞ:d~S¼0)
Pour le couvercle C1on aura d~S1¼dS~uzet pour C2: d~S2¼ dS~uz
(le vecteur unitaire normal a` la surface doit eˆtre dirige´ vers l’exte´rieur).
Le flux total se de´compose en deux flux : FS¼
Le champ e´tant uniforme sur les couvercles, on aura : FS¼
Le re´sultat ne de´pend pas de la forme de la base qui peut eˆtre absolument quelconque. Un disque ou une section rectangulaire conduirait au meˆme re´sultat.
The´ore`me de Gauss :FS¼Qeinto ¼ ½Eðz1Þ Eðz2ÞS
La chargeQint(charge a` l’inte´rieur de la surface ferme´e de Gauss) va
La chargeQint(charge a` l’inte´rieur de la surface ferme´e de Gauss) va