LOI DE BIOT ET SAVART

5.2 Proprie´te´s de syme´trie du champ magne´tique

5.3 Champ magne´tique cre´e´ par un courant circulant dans un fil rectiligne

5.4 Cas de la spire circulaire et des bobines parcourues par un courant

OBJECTIFS

Connaıˆtre la loi de Biot et Savart

Savoir utiliser la loi de Biot et Savart pour de´terminer le champ magne´tique cre´e´ par des courants dans des configurations simples : fil rectiligne, spire circulaire, bobine plate, sole´noı¨de. . .

Savoir exploiter les syme´tries et invariances que peuvent pre´senter des courants pour en de´duire les proprie´te´s du champ magne´tique re´sultant.

5.1 LOI DE BIOT ET SAVART

C’est a` partir de l’e´tude des forces exerce´es entre conducteurs parcourus par des courants que Biot et Savart ont e´nonce´ la loi qui porte leur nom et qui permet d’exprimer le champ magne´tique cre´e´ par un courant en un point M de l’espace. Cette loi utilise les meˆmes notions de calcul diffe´rentiel et inte´gral introduites dans la partie e´lectrostatique.

a) Champ magne´tique cre´e´ par un conducteur filiforme parcouru par un courant

Dans la plupart des cas, les circuits e´lectriques sont constitue´s d’une succession de conducteurs filiformes c’est-a`-dire de fils conducteurs de dimensions transversales tre`s faibles devant leurs longueurs.

Soit un circuit filiforme de´crivant une courbe (C) et parcouru par un courant d’intensite´I(voirfigure 5.1).

Le circuit e´tant oriente´ par le sens du courant, on conside`re une portion e´le´mentaire d^!l du conducteur parcouru par un courant

5

d’intensite´Ialge´brique et situe´ au pointP. En un pointMde l’espace environnant, le champ magne´tique e´le´mentaire dB^!PðMÞ cre´e´ par l’e´le´ment de courant I d^!l est donne´ par la loi de Biot et Savart :

dB^!PðMÞ ¼m_o 4p

Id^!l ^PM!

PM³ ð5:1Þ

La constante m_o repre´sente la perme´abilite´ magne´tique du vide.

Elle est relie´e a` la permittivite´ du vide (ou constante die´lectrique)eo

et la ce´le´rite´cde la lumie`re par la relation :eom_oc²¼1.

Dans les unite´s du syste`me international on a :mo¼4p:10⁷u.s.i.

Un milieu magne´tique est caracte´rise´ par sa perme´abilite´ absolum¼m_rm_o ou` m<sub>r</sub>, grandeur sans dimension supe´rieure a` 1, correspond a` la perme´abilite´ relative du milieu par rapport au vide. Dans un tel milieu, il suffit de remplacerm_oparm¼m_rm_odans l’expression (5.1).

Le produit vectoriel dans l’expression de la loi de Biot et Savart (e´quation 5.1) indique que le vecteur champ e´le´mentaire dB^!PðMÞ est perpendiculaire au plan de´fini par l’e´le´ment de courant (Id^!l ) et la direction PM: l’ensemble (Id^!l ,PM^!, dB^!PðMÞ) forme un trie`dre direct.

En posantPM=ret en notantu^!_PMle vecteur unitaire dirige´ dePvers M, l’expression du champ devient :

dB^!_PðMÞ ¼m_o 4p

Id^!l ^u^!_PM

r² ð5:2Þ

Remarque :

Le champ magne´tique en un point est inversement proportionnel a` la distance au carre´ se´parant l’e´le´ment de courant et le point conside´re´.

u_PM

→

dl→

P

M dB^→_P(M) +

I

(C)

Figure 5.1 Champ magne´tique cre´e´ en un pointMpar une portion e´le´mentaire de conducteur filiforme situe´ enPet parcouru par un courantI.

Pour obtenir le champ total en un pointMil faut ajouter vectorielle-ment la contribution de tous les e´le´vectorielle-ments de courant constituant le circuit. On a alors :

B!

ðMÞ ¼ ð

P2ðCÞ

dB^!_PðMÞ ¼ ð

P2ðCÞ

m_o 4p

Id^!l ^u^!_PM

PM² ð5:3Þ Les outils du calcul inte´gral peuvent alors eˆtre exploite´s pour de´terminer l’expression finale du champ magne´tique cre´e´ par un conducteur filiforme.

b) Ge´ne´ralisation de la loi de Biot et Savart

L’e´le´ment de courant Id^!l intervenant dans l’expression du champ magne´tique correspond en fait a` un cylindre de section e´le´mentaire dSet de longueur e´le´mentaire dl(voirfigure 5.2). Si^!j ðPÞest le vecteur densite´ de courant on a (voir encart 4.2) :

I¼^!j :d^!S ¼jðPÞ:dS

Les vecteurs^!j , dS^!et d^!l ont tous la meˆme direction. On a alors : Id^!l ¼jðPÞdSd^!l ¼^!j ðPÞdSdl¼^!j ðPÞdV

ou` dV ¼dSdlrepre´sente le volume e´le´mentaire autour du pointPet pour lequel le vecteur densite´ de courant est^!j ðPÞ

La loi de Biot et Savart se ge´ne´ralise donc pour une distribution de courants quelconque caracte´rise´e par un vecteur densite´ de courant^!j de´fini dans un volumeV :

B!

ðMÞ ¼ð

P2V

m_o 4p

!j ðPÞdV ^u^!_PM PM² ¼m_o

4p ð

P2V

!j ðPÞ ^u^!_PM

PM² dV ð5:4Þ dS

dl

→j(P)

P dl→

P +

I

(C)

Figure 5.2 Portion e´le´mentaire de courant et densite´ de courant.

Si les courants sont surfaciques (volume d’e´paisseur ne´gligeable) le vecteur densite´ de courant est surfacique que l’on note^!j_S(voirfigure 5.3).

L’intensite´Is’obtient alors par la relation :I¼Ð

P2Lj_SdL. Si le vecteur densite´ de courant est uniforme sur la largeurLalors on aI=jS.L

L’expression du champ magne´tique s’obtient en inte´grant sur la surface de la nappe de courant. On peut e´crire :

B!

ðMÞ ¼ m_o 4p ð

P2nappe

!j

SðPÞ ^u^!_PM

PM² dS ð5:5Þ 5.2 PROPRIE´TE´S DE SYME´TRIE DU CHAMP MAGNE´TIQUE

Tout comme pour le champ e´lectrostatique, la connaissance des syme´-tries et invariances que pre´sentent les sources permet de de´duire certaines caracte´ristiques du champ re´sultant.

D’apre`s la loi de Biot et Savart le champ magne´tique e´le´mentaire est proportionnel a` un produit vectoriel (^!j ðPÞ ^u^!_PM dans l’e´quation 5.4 ouId^!l ^u^!_PM dans l’e´quation 5.3). L’e´tude du comportement du pro-duit vectoriel pour diffe´rentes syme´tries permet de de´duire les proprie´te´s de syme´trie que pre´sente le champ magne´tique re´sultant.

Ces proprie´te´s sont diffe´rentes de celles du champ e´lectrostatique comme cela a e´te´ signale´ dans la partie 2.2 : le champ magne´tique est qualifie´ de champ axial alors que le champ e´lectrostatique est un champ polaire.

Plan de syme´trie (ps) ou plan miroir pour les courants

Lafigure 5.4montre comment le produit vectoriel se transforme par rapport a` un plan de syme´trie. On constate qu’un plan de syme´trie se comporte comme un plan d’anti-syme´trie pour le produit vectoriel donc pour le champ magne´tique.

Un plan de syme´trie pour les courants (figures 5.4et5.5) :

transforme la composante du vecteur champ magne´tique paralle`le au plan en son oppose´ :B_S==¼ B₌₌

laisse inchange´e la composante du vecteur champ magne´tique per-pendiculaire au plan :BS?¼B?

j_S(P)

→

P

dl

L

dL Nappe de

courant

Figure 5.3 Nappe de courant et densite´ de courant surfacique.

Si le pointMest dans le plan de syme´trie il se confond avec son syme´trique MS. On a alors :

M etMS symetriques=pS)B^!₌₌ðMSÞ¼B^!₌₌ðMÞ

M2pS;MMS)B^!₌₌ðMSÞ¼B^!₌₌ðMÞ

g

^{)B!==ðMÞ¼!0}

Le vecteur champ magne´tique n’a pas de composante dans le plan de syme´trie : il est perpendiculaire au plan de syme´trie

dB(M)^→ dB^→_P(M)

dB_P

S(M) dB_P →

S(M_S)

→

M ≡ M_S

M ≡ M_S M ∈pS

Idl (P)^→ Idl(P^→ _S) P_S P

P P_S

M

M_S

u_PM

→ u_P

SM_S

→

dB^→_P(M)

pS pS

Idl ^→∧ u^→_PM

Idl^→ Idl ∧ ^→u_P

SM_S

→ Idl^→

Idl (P) = Idl (P^{→ →} _S) j(P) = j(P_S)

→ →

Figure 5.4 Transformation du produit vectoriel par un plan de syme´trie (pS).

Les pointsPSetMSsont respectivement les syme´triques des pointsPetMpar rapport au planpS. Les courants sont syme´triques par rapport a` ce plan.

Plan de symétrie (pS) pour les courants (j)

B^→_//

B^→_⊥

B^→_S// = –B^→_//

B^→_S⊥ = B^→_⊥ B(M)^→

B(M^→ _S) M

M_S (^→j) (^→j)

→

(^→j) (^→j)

Figure 5.5 Transformation du vecteur champ magne´tique par un plan de syme´trie (p_S).

Plan d’anti-syme´trie (pAS) pour les courants

Lafigure 5.6montre comment le produit vectoriel se transforme par rapport a` un plan syme´trie. On constate qu’un plan d’anti-syme´trie se comporte comme un plan de d’anti-syme´trie pour le produit vectoriel donc pour le champ magne´tique.

Un plan d’anti-syme´trie pour les courants (figures 5.6et5.7) :

laisse inchange´e la composante du vecteur champ magne´tique paralle`le au plan :BAS==¼B==

P P_S

M_S M

Idl(P^→ _S) u_PM

→

dB^→_P(M)

dB^→_P(M) dB^→_PS(MS)

dB^→_PS(M)

Idl(P) ^→ ∧ ^→u_PM Idl(P^→_S) ∧ u^→_PSMS

Idl (P)^→

dB(M)^→

M ≡ M_S

pAS

pAS Idl^→ – Idl^→

P_S P

u_PSMS u_PSMS →

→ ^→u_PM

M ≡ M_S M ∈pAS

Idl (P) = –Idl (P^{→ →} _S) j(P) = –j(P^{→ →} _S)

Figure 5.6 Transformation du produit vectoriel par un plan d’anti-syme´triepAS. Les pointsP_SetM_Ssont respectivement les syme´triques des pointsPetMpar rapport au planpAS. Les courants sont anti-syme´triques par rapport a` ce plan.

(πAS) (πAS)

B^→_//

B^→_⊥

B^→_S// = B^→_//

B^→_S⊥ = –B^→_⊥

B(M)^→ B(M^→ _S)

M M_S

(j)^→ (–j)^→ (j)^→ (–j)^→

Figure 5.7 Transformation du vecteur champ magne´tique par un plan d’anti-syme´trie (pAS).

transforme la composante du vecteur champ magne´tique perpendi-culaire au plan en son oppose´ :BAS?¼ B?

Par rapport a` un plan d’antisyme´trie´ le vecteur champ magne´tique se transforme comme dans un miroir.

Si le point M est dans le plan d’anti-syme´trie il se confond avec son syme´triqueMS. On a alors :

M etMS symetriques=pAS)B^!_?ðMSÞ ¼ B^!_?ðMÞ

M2pAS;MMS)B^!_?ðMSÞ ¼B^!_?ðMÞ

g

^{)B!?ðMÞ ¼!0}

Le vecteur champ magne´tique n’a pas de composante perpendiculaire au plan d’anti-syme´trie : il est dans le plan d’anti-syme´trie.

Le champ magne´tique ne se comporte pas comme le champ e´lectrique au cours d’une transformation par un plan de syme´trie ou d’anti-syme´trie. Le champ e´lectrique qui se comporte comme un vecteur position est dit vecteur polaire (ou « vrai » vecteur) alors que le champ magne´tique est dit vecteur axial (ou pseudo vecteur).

Conclusion : Un plan de syme´trie pour les courants apparaıˆt comme un plan d’anti-syme´trie pour le champ magne´tique. De meˆme, un plan d’anti-syme´trie pour les courants apparaıˆt comme un plan de syme´trie pour le champ magne´tique.

Les invariances

Tout comme pour le champ e´lectrique, si les sources du champ magne´-tique pre´sentent des invariances par translation ou rotation le champ magne´tique pre´sentera les meˆmes invariances.

Ainsi, pour un fil rectiligne infini suivant un axe zz⁰, le courant e´lectrique d’intensite´Ipre´sente une invariance par translation suivant cet axezz⁰: le champ magne´tique ne de´pendra pas de la variablez.

De meˆme, dans le cas d’une spire circulaire ou d’une bobine con-stitue´e de plusieurs spires circulaires de meˆme axe de re´volution, le courant e´lectrique d’intensite´Iparcourant la bobine restera invariant par rotation d’un angle autour de cet axe : l’intensite´ du champ magne´tique ne de´pendra pas de la variable.

5.3 CHAMP MAGNE´TIQUE CRE´E´ PAR UN COURANT

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