CHAMP MAGNE´TIQUE CRE´E´ PAR UN COURANT CIRCULANT DANS UN FIL RECTILIGNE

a) Position du proble`me

Le cas du fil rectiligne de longueur finie peut paraıˆtre inutile car pour qu’un courant puisse circuler il faut ne´cessairement avoir un circuit

ferme´. Cependant, lorsqu’on se place pre`s d’une portion du circuit rectiligne la contribution du reste du circuit a` l’expression du champ magne´tique est souvent ne´gligeable devant celle de la portion rectiligne.

On conside`re donc un segment de fil conducteurA1A2parcouru par un courant d’intensite´ I (figure 5.8). Cette portion de fil de´finit tout naturellement un axe zz⁰ et un point M de l’espace sera repe´re´

en coordonne´es cylindriques. Si le pointHest le projete´ deMsur le fil on a :

HM! ¼ru^!_r ou` u^!_r est le vecteur radial unitaire des coordonne´es cylindriques.

Syme´tries et invariances

Le plan contenant la portion de fil (axe zz⁰) et le point M est un plan de syme´trie pour les courants. Il contient les vecteurs unitaires u!

z et u^!_r. On en de´duit que le champ magne´tique doit eˆtre perpendi-culaire a` ce plan c’est-a`-dire suivant la direction du vecteur unitaire orthoradialu^!:

B!

ðMÞ ¼BðMÞu^!

L’axezz’ est un axe de syme´trie pour le courantI: il y a invariance par rotation d’un angle quelconqueautour de cet axe : l’intensite´ du

u_r

→

Idl^→ P

I

r H

M

→ →

dB_P(M) = dB_P(M)u_θ z

u_z

→

α1

α α2

A₁ A₂

I I

Figure 5.8 Champ magne´tique cre´e´ par un fil rectiligneA1A2parcouru par un courant d’intensite´l.

champ magne´tique ne de´pend pas de la variable. SizMest l’abscisse deMpar rapport a` une origineOsur l’axezz’ alors on a :

B!

ðMÞ ¼Bðr;zMÞu^!

Les lignes de champ magne´tique sont donc des cercles centre´s sur le fil.

b) Champ e´le´mentaire cre´e´ par un e´le´ment de courantIdlsitue´ au point P

L’expression du champ magne´tique e´le´mentaire cre´e´ par l’e´le´ment de courantId^!l ðPÞest donne´e par la loi de Biot et Savart :

dB^!_PðMÞ ¼m_oI

4pd^!l ^ PM PM³

!

ð5:6Þ Le champ total est obtenu en additionnant les contributions de tous les e´le´ments de courant quand le point P de´crit tout le fil.

La me´thode de calcul consiste alors a` exprimer les diffe´rents termes de´pendant de la position dePen fonction d’une variable caracte´risant cette position.

Le pointPpeut eˆtre repe´re´ par son abscisseztelle que :HP! ¼zu^!_z. La longueur e´le´mentaire dlpeut s’e´crire : d^!l ¼dzu^!_z

Dans ces conditions, le produit vectoriel de la relation (5.6) s’e´crit : d^!l ^PM! ¼d^!l ^ ðPH! þHM!Þ

d^!l ^PM! ¼ ðd^!l ^PH!Þ þ ðd^!l ^HM!Þ d^!l ^PM! ¼ ðdzu^!_z^ ðzu^!_zÞÞ þ ðdzu^!_z^ru^!_rÞ

d^!l ^PM! ¼ ðdzu^!_z^ru^!_rÞ ¼rdzu^! Remarque :

Le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire au fil et a`PM; il est donc oriente´ suivantu^!. On peut e´crire :

d^!l ^PM! ¼dl:PM:sinðd^!l ;PM!Þu^!

Le sinus d’un angle est e´gal au sinus de son supple´mentaire : sin¼ sinðpÞdonc sinðd^!l ;PM!Þ ¼sinðPH;PMÞ.

Le sinus d’un angle est e´gal au cosinus de son comple´mentaire : sin¼cosð^p₂Þ donc sinðPH;PMÞ ¼cosðMP;MHÞ. En appelant al’angle entreMPetMH(voirfigure 5.8) on a finalement :

d^!l ^PM! ¼dz:PM:cosa u^!

On introduit ici une nouvelle variable a qui repe`re, comme la variablez, le pointP.

Choix de la variable d’inte´gration

Les variableszet ane sont pas inde´pendantes. On a la relation : tana¼z

r ð5:7Þ

Une petite variation dzde la variablezentraıˆne une variation dade la variable aavec la relation diffe´rentielle :

dðtanaÞ ¼d z

r ) ð1þtan²aÞda¼ da cos²a¼dz

r

Dans l’expression (5.6) la grandeurPM³qui varie lorsque le pointP bouge le long du fil, peut s’exprimer en fonction de la variable z oua. Le triangle HPM e´tant rectangle enH le the´ore`me de Pythagore donne :PM²¼r²þz²)PM³¼ ðr²þz²Þ³⁼²

On a aussi : cosa¼_PM^r )_PM¹³ ¼^cos_r^33a

Expression du champ e´le´mentaire en fonction dez (zA1 zzA2)

dB^!_PðMÞ ¼m_oI

4pd^!l ^ PM PM³

!

¼m_oI 4p

rdz ðr²þz²Þ³⁼²u^!

Cette expression n’est pas imme´diate a` inte´grer et ne´cessite un chan-gement de variable.

Expression du champ e´le´mentaire en fonction dea(a1aa2)

Avec dz¼_cos^rd2a_aet ¹

PM³¼^cos_r^33aon obtient dB^!_PðMÞ ¼m_oI

4p

d^!l ^!PM PM³ ¼m_oI

4p PMdz

PM³ cosa u^!¼m_oI 4p

dz

PM²cosa u^!

dB^!_PðMÞ ¼moI Cette dernie`re expression est facile a` inte´grer.

c) Expression du champ magne´tique pour un fil fini B!

Il est facile de ve´rifier que le module du champB(M) est toujours positif, quelque soit la position du pointM.

Le sens du champ est donne´ par la re`gle habituelle du tire-bouchon : Le champ a le sens de rotation qu’il faut donner au tire-bouchon place´ le long du fil pour qu’il se de´place dans le sens du courant I.

Cas ou` le pointMest sur la me´diatrice du fil

On a alorsa1¼ a2¼b(figure 2.9) et le champ a pour expression :

d) Cas du fil infini

Le calcul est identique au pre´ce´dent, il suffit de modifier les bornes : Fil infini)b!^p₂et sinb!1

Figure 5.9 Champ magne´tique sur la me´diatrice d’un fil fini de longueur 2a.

Le cas « fil infini » correspond aussi au cas ou` le pointMest tre`s proche du fil c’est-a`-direra)sinb!1

On a alors :

B^!ðMÞ ¼ m_oI

2pru^! ð5:8Þ

Ordre de grandeur du champ

Avecm_o¼4p:10⁷u.s.i., un courant d’une intensite´I= 1A cre´e a` une distancer= 1 m un champ magne´tique d’une intensite´ de :

Bðr¼1mÞ ¼₂^m_p^oI_r¼2:10⁷T0;5 10⁴T champ magne´tique terrestre.

On constate que de`s qu’on s’e´loigne un peu du fil, le champ magne´-tique devient rapidement tre`s faible. Toujours pour un courant de 1A, c’est autour d’une distance de 1 mm que l’intensite´ de´passe le champ magne´tique terrestre. A` cette distance une portion de fil de 10 cm peut eˆtre conside´re´ comme infini : ceci justifie l’inte´reˆt du calcul du champ magne´tique cre´e´ par un fil infini.

5.4 CAS DE LA SPIRE CIRCULAIRE ET DES BOBINES