2.4 Etude asymptotique des solutions de l’´equation de Schr¨odinger ´
3.1.4 Propri´et´es importantes
Outre la lin´earit´e, on voudrait que les proc´ed´es de quantification que l’on a d´efinis se comportent bien vis-`a-vis de la multiplication des symboles (on a d´ej`a vu que ce n’´etait pas
possible de fa¸con exacte). On appr´ecierait d’autre part qu’`a un symbole petit (en un sens `a pr´eciser) soit associ´e un op´erateur petit (dansL(L2(Rn))).
Concernant la composition des op´erateurs pseudo-diff´erentiels, il n’est d´ej`a pas ´evident de voir que pour a, b∈ S(R2n) l’op´erateur Opw
h(a)◦ Op w
h(b) est un op´erateur pseudo-diff´erentiel.
Notant
A(∇) = 12(h∇x,∇ηi − h∇ξ,∇yi),
on a le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 3.6. Soient a, b∈ S(R2n). Alors on a
Opwh(a)◦ Opwh(b) = Opwh(a♯b),
avec
a♯b(x, ξ) = eihA(∇) a(x, ξ)b(y, η) y=x
η=ξ
, ou encore, pour tout N ∈ N :
a♯b(x, ξ) = N X j=0 (ihA(∇))k k! a(x, ξ)b(y, η) y=x η=ξ + Z 1 0 (1− t)N N ! e
ithA(∇)(ihA(∇))N +1 a(x, ξ)b(y, η) dt
y=x η=ξ .
La deuxi`eme expression (voir les th´eor`emes 4.17 et 8.2 de [EZ]) est encore une formule exacte, mais son int´erˆet est de donner des d´eveloppements asymptotiques `a tout ordre en h du symbole a♯b. On obtient en particulier
a♯b = ab + O h→0(h) = ab + h 2i{a, b} + Oh→0(h 2) et a♯b− b♯a = h i{a, b} + Oh→0(h 3),
o`u les restes sont estim´es dansS(R2n) et o`u on a not´e
{a, b} = ∇ξa· ∇xb− ∇xa· ∇ξb.
Pour la deuxi`eme estimation il n’y a pas de terme d’ordre 2 car le terme d’ordre 2 pour a♯b est sym´etrique en a et b.
Pour pouvoir effectivement les utiliser, il est important de voir que ces r´esultats peuvent ˆetre ´etendus pour des symboles a ∈ S(m1) et b ∈ S(m2) o`u m1 et m2 sont deux fonctions
d’ordre (voir le th´eor`eme 7.9 de [DS99]). En outre l’op´erateur eihA(∇) pr´eserve les classes
de symboles S(m) pour toute fonction d’ordre m (th´eor`eme 4.17 de [EZ]). On a donc en particulier : Proposition 3.7. Soient δ1, δ2∈ R, a ∈ Sδ1(R 2n) et b ∈ Sδ2(R 2n). Alors on a Opwh(a)◦ Opwh(b) = Opwh(a♯b)
avec pour tout N∈ N a♯b(x, ξ) = N X j=0 (ihA(∇))k k! a(x, ξ)b(y, η) y=x η=ξ + rN(x, ξ, h) o`u rN(h)∈ S hxiδ1+δ2−N uniform´ement en h ∈]0, 1].
Exemples 3.8. En guise d’exemples, il peut ˆetre int´eressant de tester ces formules sur des cas simples pour lesquels on peut effectuer les calculs de mani`ere explicite. Si on note Hh
0 = −h2∆ = Opw h(ξ2) le laplacien libre, Ah=−ih 2 (x· ∇ + ∇ · x) = Op w h(x· ξ)
le g´en´erateur des dilatations et que l’on consid`ere un potentiel V ∈ C∞(Rn), alors on a :
i h[H0, Ah] = 2H0= Op w h({ξ2, x· ξ}), i h[H0, V (x)] =−2ih∇V · ∇ − ih∆V = Op w h(2∇V · ξ), i h[Ah, V (x)] = x· ∇V (x) = Op w h({x · ξ, V (x)}).
On peut ´egalement v´erifier par calcul direct que pour j∈ J1, nK et a ∈ C∞
b (R2n) on a :
i h[xj, Op
w
h(a)] =−Opwh(∂ξja). (3.8)
Le deuxi`eme r´esultat fondamental pour le calcul pseudo-diff´erentiel est le th´eor`eme de continuit´e dans L2(Rn) :
Th´eor`eme 3.9 (Calder´on-Vaillancourt). Soit a ∈ C∞
b (R2n). Alors Opwh(a) se prolonge en
un op´erateur born´e sur L2(Rn). Plus pr´ecis´ement il existe C > 0 et M ∈ N ne d´ependant que
de la dimension n tels que : kOpw h(a)kL(L2(Rn))6 C X |α|6M k∂αa kL∞(R2n).
Cette estimation est exacte et est uniforme en h∈]0, 1]. Dans le contexte semi-classique, on obtient en faisant un changement d’´echelle le r´esultat suivant (voir le th´eor`eme 5.1 de [EZ]) :
Th´eor`eme 3.10. Il existe une constante C> 0 telle que pour tout a ∈ C∞
b (R2n) on a
kOpwh(a)kL(L2(Rn)) 6 C kakL∞(R2n)+ O
h→0
√ h,
o`u le reste d´epend de la norme L∞ des d´eriv´ees de a jusqu’`a l’ordre M , M ´etant donn´e par
le th´eor`eme 3.9.
Ces r´esultats assurent en particulier que des termes n´egligeables dans des d´eveloppements de symboles comme au th´eor`eme3.6donnent des termes n´egligeables dansL(L2(Rn)) apr`es
quantification. En particulier, pour a, b∈ C∞
b (R2n), on a dansL(L2(Rn)) : Opwh(a)◦ Opwh(b) = Opwh(ab) + O h→0(h) et i h[Op w h(a), Opwh(b)] = Opwh({a, b}) + O h→0(h 2). (3.9)
On peut maintenant expliquer pourquoi on s’int´eressera particuli`erement aux symboles de la classeS(hxiδ).
Proposition 3.11. Soient δ, s ∈ R. Si a ∈ S hxiδ
alors l’op´erateur Opwh(a) d´efinit un
D´emonstration. Le cas δ = 0 et s = 1 r´esulte de (3.8). Comme le commutateur [xj, Opwh(a)]
est encore un op´erateur pseudo-diff´erentiel dont le symbole est dans C∞
b (Rn), on obtient par
r´ecurrence le cas s ∈ N. Le cas g´en´eral s ∈ R s’obtient alors par dualit´e et interpolation complexe (voir le lemmeA.1). On suppose maintenant que a∈ S(hxi−1). Pour u∈ S(Rn) et
j∈ J1, nK on a : Opwh(a)(xju)(x) = 1 (2πh)n Z Rn Z Rn ehihx−y,ξia x + y 2 , ξ xj+ yj 2 − xj− yj 2 u(y) dy dξ = Opwh(xja)u(x)− ih 2 Op w h(∂ξja)u(x).
Comme on a une expression en termes d’op´erateurs pseudo-diff´erentiels, cela prouve le cas δ =−1 et s quelconque. On peut traiter de la mˆeme fa¸con le cas δ = 1. On conclut alors par r´ecurrence puis par interpolation
Le fait d’avoir des symboles dans S hxiδ avec δ n´egatif permet donc de gagner de la d´ecroissance `a l’infini. L’int´erˆet des symboles dans les classes Sδ(R2n) est d´esormais plus
clair `a la lumi`ere de la proposition 3.7 : mˆeme si δ = 0, c’est-`a-dire mˆeme si les symboles ne sont pas eux mˆeme d´ecroissants `a l’infini, le reste dans le d´eveloppement asymptotique est non seulement petit `a la limite h→ 0, mais c’est ´egalement un op´erateur qui am´eliore la d´ecroissance `a l’infini, et ce d’autant plus qu’on prend un reste d’ordre ´elev´e.
Remarque 3.12. Dans le mˆeme ordre d’id´ee, si a ou b est dans C∞
0 (R2n)), alors le reste rN(h)
est dansS hxi−Mhξi−M pour n’importe quel M ∈ N, et ce uniform´ement en h.
Maintenant que l’on a interpr´et´e les op´erateurs pseudo-diff´erentiels comme des op´erateurs sur L2(Rn), on peut s’int´eresser `a la propri´et´e d’adjonction, et en particulier au caract`ere
autoadjoint de Opwh(a) :
Proposition 3.13. Soient a∈ C∞
b (R2n) et t∈ [0, 1]. Alors l’adjoint de l’op´erateur (born´e)
Opth(a) est Op1−th (a). En particulier Op w
h(a) est autoadjoint si a est `a valeurs r´eelles.
Enfin, les propri´et´es que l’on vient de mettre en valeur se retrouvent dans la formule de changement de quantification. Cette proposition permet de montrer que les op´erateurs Oph(a)
et Opwh(a) sont relativement proches, ce qui permet dans certaines situations de profiter des
avantages des deux quantifications.
Proposition 3.14. Soient s, t∈ [0, 1] et a ∈ S(Rn). Alors on a Ops
h(a) = Opth(at) avec :
at(x, ξ, h) = ei(t−s)hh∇x,∇ξia(x, ξ).
En particulier at est un symbole classique de symbole principal a.
Outre les deux r´esultats fondamentaux que sont les propri´et´es de composition et de conti- nuit´e, on utilisera ´egalement l’in´egalit´e de G˚arding qui montre comment la quantification se comporte vis-`a-vis de la positivit´e du symbole, ainsi que le calcul fonctionnel.
Th´eor`eme 3.15 (In´egalit´e de G˚arding). Soit a ∈ C∞
b (R2n) un symbole `a valeurs r´eelles
positives. Alors il existe h0> 0 et C> 0 tels que pour tout h ∈]0, h0] :
Opwh(a)> −Ch.
Si on a besoin d’une quantification qui respecte la positivit´e de fa¸con exacte, c’est-`a-dire qui associe `a un symbole positif un op´erateur positif sur L2(Rn), on peut utiliser la quanti-
fication anti-Wick, d´efinie `a partir des ´etats coh´erents (voir par exemple [HMR87]). Le lien entre quantification de Weyl et quantification anti-Wick donne d’ailleurs une d´emonstration pour l’in´egalit´e de G˚arding (voir [DG97,§ D.4]).
On termine maintenant ce paragraphe par le calcul fonctionnel pour un op´erateur pseudo- diff´erentiel. Pour un symbole a∈ S(m) `a valeurs r´eelles on sait que l’op´erateur Opw
h(a) est
autoadjoint sur L2(Rn). Ainsi, `a toute fonction χ∈ C∞
0 (R2n) le calcul fonctionnel associe un
op´erateur χ (Opwh(a)) sur L2(Rn). Il est alors naturel de se demander si l’op´erateur obtenu
est encore un op´erateur pseudo-diff´erentiel et, dans l’affirmative, ce qu’on peut dire de son symbole. On remarque tout d’abord que pour les op´erateurs Xj = Opwh(xj) et −ih∂xj =
Opwh(ξj) on a bien, pour tout fonction χ∈ C0∞(R) :
χ(Xj) = χ(Opwh(xj)) = Opwh(χ(xj)) et χ(−ih∂j) = χ(Opwh(ξj)) = Opwh(χ(ξj)).
Th´eor`eme 3.16. Soient a∈ S(m) un symbole r´eel minor´e, o`u m est une fonction d’ordre, et χ∈ C∞
0 (R). Alors χ (Opwh(a)) est un op´erateur pseudo diff´erentiel, et on a dansL(L2(Rn)) :
χ (Opwh(a)) = Op w
h(χ◦ a) + O h→0(h).
Ce r´esultat a ´et´e d´emontr´e pour la premi`ere fois dans [HR83] en utilisant la transformation de Mellin. On trouvera dans [DS99] une autre d´emonstration faisant intervenir une extension quasi-analytique et le crit`ere de Beal qui permet de s’assurer qu’un op´erateur est un op´erateur pseudo-diff´erentiel.