3.3 Quantification du flot et de l’amortissement
3.3.2 Etats lagrangiens ´
On rappelle dans cette partie les r´esultats dont on aura besoin concernant les ´etats lagran- giens et les op´erateurs int´egraux de Fourier. Les d´emonstrations de ces r´esultats classiques seront discut´ees en annexe (paragrapheA.3).
On commence par d´efinir une fonction de phase puis un ´etat lagrangien :
D´efinition 3.45. On appelle fonction de phase (non-d´eg´en´er´ee) sur Rn une application
ψ∈ C∞
b (Rn+N, R) avec N ∈ N telle que pour (x, θ) ∈ Rn× RN v´erifiant∇θψ(x, θ) = 0, la
matrice ∇2 x,θψ(x, θ) ∇2 θ,θψ(x, θ) ∈ Mn+N,N(R)
est de rang maximal N , la notation ∇2
x,θψ(x, θ) d´esignant la matrice des d´eriv´ees crois´ees
∇2 x,θψ(x, θ) = ∂xi∂θjψ(x, θ) 16i6n 16j6N ∈ M n,N(R).
D´efinition 3.46. On appelle ´etat lagrangien (classique) sur Rn une famille d’applications
(uh)h∈]0,1] de la forme uh: x7→ 1 (2πh)N2 Z RN ehiψ(x,θ)b(x, θ, h) dθ
o`u ψ est une fonction de phase non-d´eg´en´er´ee sur Rn et, dans C∞
b (Rn+N), b(h)∼ ∞ X j=0 hjb j,
o`u les bj ∈ C0∞(Rn+N) pour j ∈ N sont `a support dans un compact commun de Rn+N. On
dira alors que b0 est le symbole principal de l’´etat lagrangien uh.
Cette d´efinition pourrait ˆetre plus g´en´erale, et le symbole principal qu’on a introduit ici ne correspond pas tout `a fait `a la notion usuelle, mais ce cadre sera suffisant pour notre ´etude (voir paragrapheA.3).
Soit ψ : Rn+N → R une fonction de phase sur Rn on note
Σψ=(x, θ) ∈ Rn+N| ∇θψ(x, θ) = 0
l’ensemble critique de ψ. La condition de non-d´eg´en´erescence sur ψ assure que Σψ est une
sous-vari´et´e de dimension n dans Rn+N. On consid`ere ensuite l’application
jψ:
Σψ → R2n
Toujours par la condition de non-d´eg´en´erescence de la d´efinition 3.45, cette application est localement injective. Si on se restreint `a un ouvert O assez petit de Σψ, jψ : O → jψ(O)
d´efinit alors un diff´eomorphisme. On note enfin :
Λψ= Im jψ ={(x, ∇xψ(x, θ)), (x, θ)∈ Σψ} .
Si uh est un ´etat lagrangien de phase ψ, on dit que Λψ est la vari´et´e lagrangienne associ´ee `a
uh (c’est une sous-vari´et´e lagrangienne de R2n).
Remarque 3.47. Contrairement au cadre microlocal, on n’a pas de raison d’interdire `a la sous- vari´et´e Λψ de rencontrer la section nulle Rn× {0}. C’est pourquoi on a retir´e l’hypoth`ese
selon laquelle la diff´erentielle de ψ ne doit pas s’annuler.
Proposition 3.48. Un ´etat lagrangien de symbole b et de phase ψ est microlocalis´e sur jψ(supp b)⊂ Λψ.
Le r´esultat que l’on va utiliser au chapitre 6 pour ´etudier la mesure semi-classique pour la solution de l’´equation de Helmholtz est le suivant :
Proposition 3.49. Soit uhun ´etat lagrangien de sous-vari´et´e lagrangienne Λ. Alors il existe
une fonction lisse ν sur Λ `a valeurs positives et telle que pour tout q∈ C∞
0 (R2n) on a hOpwh(q)uh, uhi −−−→ h→0 Z Λ q(w)ν(w) dσΛ(w),
o`u σΛ est la mesure de Lebesgue sur Λ.
Exemple 3.50. Dans le cas particulier o`u N = 0, c’est-`a-dire o`u uh est de la forme x 7→
b(x)ehiψ(x), on obtient : hOpwh(q)uh, uhi −−−→ h→0 Z Rn q(x,∇ψ(x)) |b(x)|2 dx. On renvoie `a l’exempleA.8pour la discussion d’un cas un peu plus g´en´eral.
Remarque 3.51. Les ´etats lagrangiens (uh)h∈]0,1] que l’on va utiliser seront des familles bor-
n´ees dans L2(Rn) (les r´esultats pr´ec´edents assurent que c’est en fait toujours le cas). Dans
ce cas on sait d’apr`es la proposition3.17que la famille (uh)h∈]0,1] admet une mesure semi-
classique, et d’apr`es la proposition3.48cette mesure est n´ecessairement port´ee par la sous- vari´et´e lagrangienne Λ. L’int´erˆet de cette proposition est qu’on obtient une information plus pr´ecise sur la mesure et on n’a pas besoin d’extraire une sous-suite hk → 0 pour avoir conver-
gence. En particulier la famille (uh)h∈]0,1] admet une unique mesure semi-classique.
On a vu en introduction qu’on allait ´etudier la solution uh `a l’´equation (1.1) en rem-
pla¸cant la r´esolvante de l’op´erateur de Schr¨odinger par l’int´egrale sur les temps positifs du propagateur. Ce r´esultat va nous permettre de calculer la mesure semi-classique correspon- dant `a la contribution des temps petits non nuls, dont on va montrer qu’elle est en fait un ´etat lagrangien (voir la proposition6.25). On voudrait pouvoir en faire autant avec la contri- bution des temps interm´ediaires, obtenue en appliquant le propagateur Uh(t) pour t fix´e `a
l’´etat lagrangien obtenu pour les temps petits (voir la section6.3). Pour cela on doit com- prendre comment Uh(t) agit sur les ´etats lagrangiens. C’est l’objet du paragraphe suivant,
dans lequel on utilisera quelques r´esultats de la th´eorie des op´erateurs de Fourier int´egraux, qu’on rappelle maintenant.
D´efinition 3.52. On appelle op´erateur int´egral de Fourier sur Rnun op´erateur `a noyau dont
le noyau est un ´etat lagrangien sur R2n `a ceci pr`es qu’on remplace le facteur (2πh)−N 2 de la
d´efinition 3.46par un facteur (2πh)−n+N2 . On appellera phase et symbole de l’op´erateur la
Si A est un op´erateur int´egral de Fourier sur Rn de phase φ : R2n+m → R on note comme pr´ec´edemment ΣA= Σφ=(x, y, τ ) ∈ R2n+m| ∇τφ(x, y, τ ) = 0 et ΛA= Λφ={(x, y, ∇xφ(x, y, τ ),∇yφ(x, y, τ )), (x, y, τ )∈ Σφ} ⊂ R4n. On note ´egalement CA=(x, ξ, y, −η) ∈ R4n| (x, y, ξ, η) ∈ Λφ ={(x, ∇xφ(x, y, τ ), y,−∇y(x, y, τ )), (x, y, τ )∈ Σφ}
l’ensemble caract´eristique de A. On n’utilisera ici que des op´erateurs int´egraux de Fourier dont l’ensemble caract´eristique est le graphe d’un diff´eomorphisme κ de R2n :
CA=(κ(y, η), (y, η)), (y, η) ∈ R2n .
Exemple 3.53. L’op´erateur pseudo-diff´erentiel Opwh(q) (ou Oph(q)) est pour tout q ∈ S(m)
(m fonction d’ordre) un op´erateur de Fourier int´egral dont l’ensemble caract´eristique est le graphe de l’application identit´e sur R2n (modulo le fait qu’on a demand´e au symbole d’un
´etat lagragien d’ˆetre `a support compact, mais cela se r`egle comme on le fera pour prouver la proposition3.59).
Proposition 3.54. Si uh est un ´etat lagrangien de sous-vari´et´e lagrangienne Λ et A est un
op´erateur de Fourier int´egral dont l’ensemble caract´eristique est le graphe du diff´eomorphisme κ de R2n, alors Au
h est un ´etat lagrangien de sous-vari´et´e lagrangienne κ(Λ).
Proposition 3.55. Soient A et B deux op´erateurs int´egraux de Fourier dont les relations canoniquesCAetCB sont respectivement les graphes des deux diff´eomorphismes κA et κB de
Rn. Alors l’op´erateur compos´e A◦ B est un op´erateur int´egral de Fourier dont la relation canonique est le graphe du diff´eomorphisme κA◦ κB.