Estimation de la r´esolvante de l’op´erateur de Schr¨odinger dissipatif

On rappelle qu’on a not´e

O =(x, ξ) ∈ R2n

| V2(x) > 0 ,

et que la propri´et´e classique pour l’´energie E > 0 qu’on va utiliser dans le cas dissipatif est la suivante :

∀w ∈ Ωb({E}), ∃T ∈ R, V2(x(T, w)) > 0. (4.40)

Le but de cette partie est de montrer le r´esultat suivant : Th´eor`eme 4.36. Soient δ > 1

2 et E > 0 v´erifiant l’hypoth`ese d’amortissement (4.40). Alors

il existe un voisinage I de E dans R∗

+, h0 > 0 et c > 0 tels que pour tous z ∈ CI,+ et

h_{∈]0, h}0] on a hxi −δ_(H h− z)−1hxi−δ L(L2_(Rn₎₎6 c h˜ν(h). En outre pour h_{∈]0, h}0] et λ∈ I la limite

hxi−δ(Hh− (λ + i0))−1hxi−δ= lim µ→0+hxi

−δ_(H

h− (λ + iµ))−1hxi−δ

existe dans L(L2_(Rn_{)) et d´efinit une fonction H¨older-continue par rapport `a λ.}

On reprend la notation

Ah=−ih

2 (x· ∇ + ∇ · x) = Op

w

h(x· ξ) (4.41)

pour le g´en´erateur des dilatations semi-classique.

Pour montrer ce th´eor`eme, on utilise la th´eorie d´evelopp´ee dans la premi`ere partie et le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 4.37. Soit E > 0 v´erifiant (4.40). Alors il existe un voisinage I de E dans R∗ +,

h0∈]0, 1] et r ∈ C0∞(R2n, R) tels que la famille d’op´erateurs

˜

ν(h)Fh= ˜ν(h)(Ah+ Opwh(r)), h∈]0, h0],

est conjugu´ee `a (Hh)h∈]0,h0] sur I pour les bornes inf´erieures c0h˜ν(h) o`u c0> 0.

Le fait que h parcourt ]0, 1] plutˆot que ]0, h0] dans la d´efinition d’une famille d’op´erateurs

conjugu´es n’a pas d’importance. Par ailleurs, la condition importante dans la d´efinition 4.1

Proposition 4.38. Pour tout r_{∈ C}∞

0 (R2n, R) et c0> 0, l’op´erateur

˜

ν(h)Fh= ˜ν(h)(Ah+ Opwh(r))

est autoadjoint et v´erifie les hypoth`eses (a) `a (d) d’un op´erateur conjugu´e `a Hh pour les

bornes inf´erieures αh= c0h˜ν(h) et pour n’importe quel choix de βh, h∈]0, 1].

D´emonstration. Soit h_{∈]0, 1]. L’op´erateur Op}wh(r) est born´e (th´eor`eme 3.9) et autoadjoint

(proposition 3.13). L’op´erateur Ah ´etant autoadjoint, Fh est bien autoadjoint. L’hypoth`ese

(a) est v´erifi´ee en utilisant l’espace de Schwartz comme pour la proposition 4.6. On avait ´egalement vu que l’hypoth`ese (b) ´etait v´erifi´ee pour le g´en´erateur des dilatations. Mais on a :

∀ϕ ∈ H2(Rn), e−itAh_ϕ − e−itFh_{ϕ =} Z t 0 e−isAh_Opw h(r)e−i(t−s)Fhϕ ds.

Comme e−i(s−t)Fh _{est un op´erateur unitaire, Op}w

h(r) est born´e de L2(Rn) dans H2(Rn) et

e−isAh_{pr´eserve H}2_(Rn_{) (plus pr´ecis´ement, l’expression (4.5) montre que e}−isAh _{est born´e sur}

H2_(Rn_{) uniform´ement en s∈ [−t, t] pour n’importe quel t > 0), l’op´erateur e}−itAh− e−itFh

pr´eserve H2_(Rn_{) et :} ∀h ∈]0, 1], ∀ϕ ∈ H2(Rn), sup |t|61 H1h(e−itAh− e−itFh)ϕ <∞,

ce qui prouve donc l’hypoth`ese (b) pour Fh, et par suite pour ˜ν(h)Fh. Pour (c), on a d’apr`es la

formule (3.9) pour le commutateur de deux op´erateurs pseudo-diff´erentiels, et en particulier les exemples3.8: [H1h, i˜ν(h)Fh] = 2h˜ν(h)H0h− h˜ν(h)x · ∇V1(x) + h˜ν(h)Opwh({ξ2+ V1(x), r}) + O h→0(h 2₎ et [ν(h)V2(x), i˜ν(h)Fh] =−hν(h)˜ν(h)x · ∇V2(x) + hν(h)˜ν(h)Opwh({V2(x), r}) + O h→0(h 2_),

ce qui permet d’affirmer que (c) est v´erifi´ee. Quant `a (d), elle se v´erifie de la mˆeme fa¸con, sachant que (x_{· ∇)}2_V

1 et (x· ∇)2V2 sont encore des fonctions born´ees.

Pour v´erifier l’hypoth`ese (e), il faut choisir r avec un peu plus de soin :

Proposition 4.39. On suppose que toute trajectoire classique d’´energie E rencontreO, alors il existe un voisinage ouvert J de E, h0> 0, c0> 0, β> 0 et r ∈ C0∞(R2n, R) tels que pour

tout h_{∈]0, h}0] on a :

1J(H1h) [H1h, i˜ν(h)Fh] + βν(h)V2(x)
1J(H1h)> c0h˜ν(h)1J(H1h),

o`u Fh= Ah+ Opwh(r).

D´emonstration. 1. D’apr`es le corollaire3.39, il existe ε _∈0,E

6 tel que toute ´energie dans

[E−3ε, E +3ε] v´erifie l’hypoth`ese (4.40). On pose alors J =]E−ε, E +ε[, J2=]E−2ε, E +2ε[

et J3=]E− 3ε, E + 3ε[. Soit R > 0 un rayon de fuite pour J3. Pour (x, ξ)∈ p−1(J3) tel que

|x| > R on a alors :

{p, x · ξ}(x, ξ) = 2p(x, ξ) − 2V1(x)− x · ∇V1(x)> E

2. (4.42)

2. On note :

Kb = p−1 J3
∩ Bx(R + 1) \ Ω∞(R∗+).

Kb est alors un compact inclus Ω+_b J3
∪ Ω−_b J3
. Soit w ∈ Kb. D’apr`es la proposition 3.36,

0 6 V2,w 6 V2 et V2,w(x(T, w)) > 0. Puisque x(T,·) est continue, il existe un voisinage Ww

de w dans R2n _{tel que V}

2,w(x(T, v)) > 0 pour tout v∈ Ww. Et comme Kb est compact, on

peut trouver w1, . . . , wN ∈ Kb tels que Kb ⊂ SNj=1Wwj. Notant V22 =

1 N

PN

j=1V2,wj, on

obtient une fonction V22 ∈ C0∞(Rn) telle que 06 V226 V2 et toute trajectoire issue de Kb

rencontre ˜_{O =(x, ξ) ∈ R}2n

| V22(x) > 0 .

3. Soient w _{∈ K}b et Tw∈ R tels que φTw(w)∈ ˜O. Comme φTw est continu, on peut trouver

γw> 0 et un voisinage ouvertVwde w dans R2ntels que pour tout v∈ Vwon a φTw(v)∈ ˜Oγw,

o`u on a not´e ˜_Oγ ={(x, ξ) ∈ R2n| V22(x) > γ}. Soit Uw un voisinage ouvert et born´e de w

avec_Uw⊂ Vw. On consid`ere une fonction gw∈ C0∞(R2n, [0, 1]) `a support dansVw et ´egale `a

1 sur _Uw, puis fw∈ C0∞(R2n, R) d´efinie par

fw=

Z Tw

0

gw◦ φ−tdt.

On a construit fw pour avoir :

{p, fw} = Z Tw 0 {p, g w◦ φ−t} dt = − Z Tw 0 d dt gw◦ φ −t
_{dt = g} w− gw◦ φ−Tw.

Le premier terme est positif et ´egal `a 1 sur Uw tandis que le second est `a support dans

φTw₍V

w)⊂ ˜Oγw. En particulier la fonction{p, fw} est positive hors de ˜Oγw et ´egale `a 1 sur

Uw\ ˜Oγw. Comme Kb est compact, on peut trouver w1, . . . , wN ∈ Kb pour N ∈ N tels que

Kb ⊂ U := SN_j=1Uwj. Soient γ = min16j6Nγwj et f =

PN

j=1fwj. Alors f est `a support

compact et {p, f} est positive hors de ˜Oγ et au moins ´egale `a 1 surU \ ˜Oγ. L’application

{p, x · ξ} ´etant born´ee sur U, il existe une constante Cb> 0 telle que

{p, x · ξ + Cbf} >

E

2 surU \ ˜Oγ. On a par ailleurs

{p, x · ξ + Cbf} > {p, x · ξ} sur R2n\ ˜Oγ.

Et comme l’application_{{p, x · ξ + C}bf} est born´ee sur ˜Oγ, on peut trouver β> 0 telle que

{p, x · ξ + Cbf} + βV22> {p, x · ξ} sur R2n et {p, x · ξ + Cbf} + βV22> E 2 surU. (4.43) 4. On note U∞= Ω∞(J3)∩ Bx(R + 1). On a alors : U∞∪ U ∪ p−1 R\ J2
∪ R2n\ Bx(R)
= R2n.

Une partition de l’unit´e associ´ee `a ce recouvrement ouvert de R2n _{fournit une fonction g} ∞∈

C∞

0 (R2n, [0, 1]) `a support dansU∞et ´egale `a 1 au voisinage du compact

K∞= p−1 J2
∩ Bx(R) \ U.

Soit w∈ supp g∞. Il existe Tw> 0 tel que |x(Tw, w)| > R + 2. Par continuit´e du flot, il

existe un voisinage Vw de w dansU∞ tel que|x(Tw, v)| > R + 2 pour tout v ∈ Vw. Comme

R + 2 est un rayon de fuite pour J3, on a donc :

∀v ∈ Vw,∀t > Tw, g∞(φt(v)) = 0.

Comme le support de g∞ est compact, il existe w1, . . . , wN ∈ supp g∞ tels que supp g∞ ⊂

V :=SN

i=1Vwi. Notant alors T = max{Twi, i∈ J1, NK}, on obtient :

Soit maintenant w_{∈ R}2n_{. On veut montrer qu’il existe un voisinage}

Ww de w dans R2n

et τw> 0 tels que

∀v ∈ Ww,∀t ∈ R+\ [τw, τw+ T ], g∞(φt(v)) = 0. (4.45)

Cela signifie que mˆeme si on peut trouver des points w∈ R2n _{tels que φ}t_{(w)∈ supp g} ∞pour

t arbitrairement grand, le probl`eme ne se pose pas localement et on contrˆole globalement le temps qu’une trajectoire peut passer dans le support de g_∞.

Si_{φt_{(w), t}

∈ R} ne rencontre pas supp g∞, alors on peut trouver un voisinageWwde w

dans R2n _{tel qu’aucune trajectoire issue d’un point de}

Ww ne rencontre supp g∞, et donc

(4.45) est v´erifi´ee pour n’importe quel τw. En effet supposons par l’absurde qu’il existe une

suite (wm)_m∈N d’´el´ements de supp g∞ et une suite (tm)_m∈N r´eelle telles que φtm(wm) tend

vers w quand m tend vers +_{∞. Quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer que w}m

converge vers w_{∞∈ supp g∞}. Comme w_{∞ ∈ Ω∞}(J3), il existe un voisinage V∞ de w∞, un

voisinage_V0 de w et T > 0 tels que pour |t| > T on a φt(V∞)∩ V0=∅. Cela implique que la

suite (tm)_m∈N est born´ee et donc qu’`a extraction d’une sous-suite pr`es elle converge vers un

certain t∞ ∈ R. Mais dans ce cas on doit avoir φt∞(w∞) = w par continuit´e du flot, ce qui

est absurde.

Si w ∈ V, alors d’apr`es (4.44), (4.45) est v´erifi´ee avecWw =V et τw = 0. On suppose

maintenant que w /∈ V et qu’il existe t > 0 tel que φt_{(w)∈ supp g}

∞. Alors il existe τw > 0

tel que φτw_(w)∈ V \ supp g

∞et φt(w) /∈ supp g∞ pour t∈ [0, τw]. Par continuit´e, il existe un

voisinageWw de w dans R2n tel que pour tout v∈ Ww on a φτw(v)∈ V et φt(v) /∈ supp g∞

pour t_{∈ [0, τ}w]. On obtient alors `a nouveau (4.45) `a partir de (4.44).

Ainsi, en utilisant les th´eor`emes de r´egularit´e sous l’int´egrale, on voit que la fonction f_∞=₋

Z +∞

0

(g_{∞◦ φ}t_{) dt}

est bien d´efinie, born´ee (par T ) et de classe C∞_{sur R}2n_{. Sachant que f}

∞est `a support dans

Ω_∞(J3), le mˆeme calcul que celui effectu´e pour f montre que {p, f∞} = g∞ > 0. On peut

donc trouver une constante C_∞> 0 telle que {p, x · ξ + C∞f∞} > E 2 sur K∞. Avec (4.42) et (4.43) on a alors : {p, x · ξ + Cbf + C∞f∞} + βV22> E 2 sur p −1 _J 2
. (4.46)

Le probl`eme est que la fonction f<sub>∞</sub> n’est pas `a support compact.

5. Soit ζ_{∈ C}∞

0 (Rn, [0, 1]) ´egale `a 1 sur B(R + 2). Comme on peut toujours remplacer ζ par

x7→ ζ(γx) avec γ assez petit, on peut supposer que kC∞f{p, ζ}kL∞_(p−1_(J2))6 2C∞T sup

(x,ξ)∈p−1_(J2)|ξ.∇ζ(x)| 6

E 4.

Notant c0= E/8 > 0 et r : (x, ξ)7→ Cbf (x, ξ) + C∞ζ(x)f∞(x, ξ) on obtient avec (4.46) :

{p, x · ξ + r} + βV22> 2c0 sur p−1(J2).

En outre r est bien dans C∞ 0 (R2n).

6. On pose Fh= Ah+ Opwh(r) = Opwh(x· ξ + r). Soit χ ∈ C0∞(R, [0, 1]) `a support dans J2 et

´egale `a 1 sur J. L’op´erateur i hχ(H

h

est autoadjoint et born´e. D’apr`es les r´esultats du paragraphe3.1.4(en particulier le th´eor`eme de composition 3.6et le th´eor`eme3.16sur le calcul fonctionnel), c’est un op´erateur pseudo- diff´erentiel de symbole principal

{p, x · ξ + r}(χ ◦ p)2_{+ βV}

22− 2c0(χ◦ p)2> 0.

Par l’in´egalit´e de G˚arding (th´eor`eme3.15) il existe donc une constante C> 0 telle que, apr`es multiplication par h˜ν(h) :

χ(H1h)H1h, i˜ν(h)Fh χ(H1h) + h˜ν(h)βV22> 2h˜ν(h)c0χ(H1h)2− Ch2ν(h).˜

On compose maintenant par 1J(H1h) `a gauche et `a droite. Cela donne, pour h > 0 assez

petit :

1J(H1h) H1h, i˜ν(h)Fh + βh˜ν(h)V22
1J(H1h)> h˜ν(h)c01J(H1h).

Enfin, puisque 1J(H1h)β ν(h)V2− h˜ν(h)V22
1J(H1h)> 0, on obtient

1J(H1h) H1h, i˜ν(h)Fh + βν(h)V2
1J(H1h)> h˜ν(h)c01J(H1h),

qui est l’estimation de Mourre attendue.

Sur les trajectoires qui partent `a l’infini, on construit la fonction de fuite x · ξ + r comme dans le cas non-captif. Pour les trajectoires capt´ees, on utilise le fait que x · ξ + r n’a pas besoin d’ˆetre croissante le long des trajectoires classiques dans la zone o`u il y a amortis- sement (sur le dessin, plus la fl`eche est fonc´ee, plus la valeur de x · ξ + r est importante au point et dans la direction indiqu´es).

Figure4.1 – Exemples d’´evolution de x· ξ + r le long de trajectoires classiques. La famille d’op´erateurs (˜ν(h)Fh)_h∈]0,h0] est alors conjugu´ee `a (Hh)h∈]0,h0] au sens de la

d´efinition4.1. Le th´eor`eme4.14donne donc une estimation de la r´esolvante faisant intervenir les poids<sub>h˜ν(h)F</sub>hi−δ. Par rapport `a ce qui est annonc´e, il y a un amortissement dans l’espace

des fr´equences. Pour passer du poids_hFhi−δ `ahxi−δ on utilisera le lemme suivant :

Lemme 4.40 ([PSS81]). Pour tout δ_{∈ [0, 1], l’op´erateur} hFhiδ(Hh− i)−1hxi−δ

est born´e uniform´ement en h_{∈]0, 1].}

D´emonstration. Le cas δ = 1 se traite comme au lemme2.33, le cas δ = 0 est ´evident, et on peut conclure dans le cas g´en´eral par interpolation complexe.

On peut maintenant montrer le th´eor`eme4.36(pour δ_∈₁

2, 1 ce qui est suffisant) :

D´emonstration. Soient r _{∈ C}∞

0 (R2n, R), h0 > 0 et J voisinage ouvert de E donn´es par la

proposition 4.39. Soit I un voisinage de E tel que I _{⊂ J et φ ∈ C}∞

0 (R, [0, 1]) ´egale `a 1 au

voisinage de I et `a support dans J. En composant l’in´egalit´e de Mourre obtenue par φ(Hh 1)

`

a gauche et `a droite, on obtient que l’op´erateur ˜ν(h)Fh= ˜ν(h)(Ah+ Opwh(r)) est conjugu´e `a

Hh sur I et pour les bornes inf´erieures c0h˜ν(h), h∈]0, h0], pour un certain c0 > 0. D’apr`es

le th´eor`eme4.14on a donc hFhi −δ_(H h− z)−1hFhi−δ 6 h ˜ν(h)Fhi −δ_(H h− z)−1h˜ν(h)Fhi−δ 6 c h˜ν(h),

o`u c, comme dans la suite de la d´emonstration, d´esigne une constante ind´ependante de z_∈ C_{I,+ et h∈]0, h0]. En utilisant deux fois l’´equation de la r´esolvante, on ´ecrit}

(Hh− z)−1 = (Hh− i)−1− (z − i)(Hh− z)−1(Hh− i)−1

= (Hh− i)−1− (z − i)(Hh− i)−2+ (z− i)2(Hh− i)−1(Hh− z)−1(Hh− i)−1,

(4.47) de sorte que d’apr`es le lemme4.40:

hxi −δ_(H h− z)−1hxi−δ (4.48) 6 c + hxi −δ_(H h− i)−1(Hh− z)−1(Hh− i)−1hxi−δ 6 c + hxi −δ_(H h− i)−1hFhiδ hFhi −δ_(H h− z)−1hFhi−δ hFhi δ (Hh− i)−1hxi−δ 6_h˜ν(h)c .

Ceci prouve (i). Pour obtenir le principe d’absorption limite on v´erifie de mˆeme pour h_{∈]0, h}0]

et z, z′_{∈ C} I,+ :

(Hh− z)−1− (Hh− z′)−1

= (z′− z)(Hh− i)−2+ (z− i)2(Hh− i)−1 (Hh− z)−1− (Hh− z′)−1
(Hh− i)−1

+(Hh− i)−1 (z− i)2− (z′− i)2
(Hh− z′)−1(Hh− i)−1.

D’apr`es le th´eor`eme4.18, on en d´eduit comme pr´ec´edemment que hxi −δ _(H h− z)−1− (Hh− z′)−1
hxi−δ 6 c (h ˜ν(h)) − 4δ 2δ+1|z − z′| 2δ−1 2δ+1_,

o`u c ne d´epend ni de h∈]0, h0] ni de z, z′ ∈ CI,+, et donc le principe d’absorption limite puis

la continuit´e de la limite.

Dans le cas o`u l’´energie est non-captive on peut construire une fonction de fuite exactement comme dans le cas autoadjoint. On obtient alors l’estimation de Mourre avec β = 0 et αh= c0h o`u c0> 0. Et ce mˆeme si ν(h) < h.

Corollaire 4.41. Soient δ > 1₂ et E > 0 une ´energie non captive. Alors il existe un voisinage I de E dans R∗

+, h0> 0 et c> 0 tels que pour tous z ∈ CI,+ et h∈]0, h0] on a :

hxi −δ_(H h− z)−1hxi−δ L(L2_(Rn₎₎6 c h. En outre la limite

hxi−δ(Hh− (λ + i0))−1hxi−δ= lim µ→0+hxi

−δ_(H

h− (λ + iµ))−1hxi−δ

existe dans_L(L2_(Rn_{)) pour tout λ}

∈ I et d´efinit une fonction H¨older-continue par rapport `a λ.

4.3.3

Estimation dans les espaces de Besov

Pour δ> 0, on d´efinit les espaces de Besov Bs comme `a la section4.2.2avec l’op´erateur

de multiplication par x sur L2_(Rn_{). On retrouve alors les espaces de Besov usuels comme}

introduits au paragraphe2.4.

Le th´eor`eme4.24 nous permet d’obtenir une estimation uniforme de la r´esolvante pour l’op´erateur de Schr¨odinger dissipatif dans ces espaces :

Th´eor`eme 4.42. Soient E > 0 v´erifiant l’hypoth`ese (4.40) et δ > 1

2. Alors il existe un

voisinage I de E, h0> 0 et c> 0 tels que tous z ∈ CI,+ et h∈]0, h0] on a :

(Hh− z)−1 L(Bδ,Bδ∗)6 c h˜ν(h). D´emonstration. Il suffit de montrer le r´esultat pour δ = 1

2. On reprend les notations du

paragraphe pr´ec´edent et on omet comme au paragraphe 2.3 les indices 1/2 pour B et B∗_.

On a une famille (˜ν(h)Fh)h∈]0,1] d’op´erateurs conjugu´es `a la famille d’op´erateurs dissipatifs

(Hh)h∈]0,1] sur un voisinage I de E et pour les bornes inf´erieures c0h˜ν(h) donc, d’apr`es le

th´eor`eme4.24, on a d´ej`a (Hh− z)−1 L(B(˜ν(h)Fh),B(˜ν(h)Fh)∗)6 c h˜ν(h),

o`u c ne d´epend pas de h ∈]0, h0]. Reprenant le calcul (4.47), on voit qu’il nous suffit de

montrer que (Hh− i)−1 est born´ee uniform´ement en h ∈]0, h0] dans L(B, B(˜ν(h)Fh)) et

dans _L(B∗_(˜ν(h)F

h), B∗). On montre la premi`ere propri´et´e, la deuxi`eme viendra alors par

dualit´e. Pour cela, on s’inspire de ce qui est fait dans la partie 14.1 de [H¨or84]. Soit donc u_{∈ B(˜ν(h)F}h). On rappelle que les Ωj pour j ∈ N on ´et´e d´efinis au d´ebut du paragraphe

4.2.2. Sachant que les 1Ωj(˜ν(h)Fh)u sont deux `a deux orthogonaux, on a pour k∈ N :

kukB(˜ν(h)Fh)= k X j=0 2j2 ₁ Ωj(˜ν(h)Fh)u _L2_(Rn₎+ ∞ X j=k+1 2−j2 2j₁ Ωj(˜ν(h)Fh)u _L2_(Rn₎ 6 2k+12   k X j=0 1Ωj(˜ν(h)Fh)u 2   1 2 + 2−k2   ∞ X j=k+1 2j1Ωj(˜ν(h)Fh)u 2   1 2 6 2k+12 kuk L2_(Rn₎+ 2− k 2k2 h˜ν(h)F hi ukL2_(Rn₎ 6 2k+12 kuk L2_(Rn₎+ 21− k 2khF hi ukL2_(Rn₎.

Pour ϕ∈ B on obtient alors (Hh− i)−1ϕ B(˜ν(h)Fh)6 ∞ X k=0 (Hh− i)−11Ωkϕ B(˜ν(h)Fh) 6 ∞ X k=0 2k+12 (H_h− i)−1_1Ω kϕ L2_(Rn₎+ ∞ X k=0 21−k 2 hFhi (H − i) −1_hxi−1 khxi 1ΩkϕkL2_(Rn₎ 6 c ∞ X k=0 2k2k1 ΩkϕkL2_(Rn₎+ ∞ X k=0 2−k2 khxi 1 ΩkϕkL2_(Rn₎ ! 6 c kϕkB+ X k∈N 2k2 k1_Ω kϕkL2_(Rn₎ ! 6 c kϕkB,

o`u on a de nouveau utilis´e le lemme4.40.

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