Amortissement classique

Soit E l’´energie qui apparaˆıt dans l’´equation de Helmholtz (1.1). Comme on l’a annonc´e, on va remplacer l’hypoth`ese usuelle de non-capture sur les trajectoires d’´energie E par une hypoth`ese d’amortissement sur les trajectoires capt´ees. Plus pr´ecis´ement on supposera dans un premier temps que l’indice d’absorption V2est positif et que toutes les trajectoires capt´ees

d’´energie E passent par l’ouvert o`u il y a effectivement amortissement :

V2> 0 et ∀w ∈ Ωb({E}), ∃T ∈ R, V2(x(T, w)) > 0. (3.23)

Il sera commode d’avoir une notation pour cette zone d’amortissement. On note donc : O =(x, ξ) ∈ R2n

| V2(x) > 0 . (3.24)

Dans tout ce travail, on supposera au moins que V2est continu, de sorte queO est un ouvert

de R2n_{. On rappelle que V}

2sera en outre toujours suppos´e born´e. On commence par v´erifier

que cette hypoth`ese ´enonc´ee pour les points de Ωb({E}) est en fait valable pour les points de

Ω+b({E}) et de Ω−b({E}).

Proposition 3.36. Soit E > 0 tel que l’hypoth`ese (3.23) est v´erifi´ee. Alors pour tout w _∈ Ω±_b(_{{E}) il existe T > 0 tel que V}2(x(±T, w)) > 0.

D´emonstration. Soit w ∈ Ω±

b({E}). On note K = {φ±t(w), t> 0}. K est un compact de

R2n_{, donc on peut trouver une suite (t}

m)_m∈N qui croˆıt vers +∞ et w∞ ∈ R2n tels que

φ±tm_{(w)→ w}

∞ quand m→ +∞. Comme Ω±b({E}) est ferm´e, on sait que w∞∈ Ω±b({E}).

En outre pour tout M_{∈ N et m > M on a φ}±(tm−tM)_{(w)∈ K et par continuit´e de φ}∓tM _:

φ±(tm−tM)_{(w)−−−−→}

m→∞ φ ∓tM_(w

∞).

Cela prouve que φ∓tM_(w

∞)∈ K pour tout M ∈ N, et donc que w∞n’est pas dans Ω∓∞({E}).

On a donc w∞∈ Ωb({E}). Par hypoth`ese, il existe T ∈ R tel que φT(w∞)∈ O. Comme O

est ouvert et φT ±tm_{(w) = φ}T_(φ±tm_{(w))→ φ}T_(w

∞) quand m tend vers +∞, on obtient que

φT ±tm_{(w)∈ O pour m assez grand. Et si m est bien choisi on a en outre ±T + t}

m> 0.

Le fait que toute trajectoire de Ω+_b({E}) ou de Ω−

b({E}) admette un point d’accumulation

dans Ωb({E}) est utilis´e dans le cadre non-captif pour dire que l’hypoth`ese de non-capture

Dans un deuxi`eme temps, on cherchera `a s’affranchir de l’hypoth`ese de positivit´e sur V2.

Il sera alors n´ecessaire de reformuler l’hypoth`ese d’amortissement : ∀w ∈ Ωb({E}), ∃T > 0,

Z T

0

V2(x(t, w)) dt > 0. (3.25)

Remarque 3.37. _{• D’apr`es la proposition}3.36appliqu´ee avec w _{∈ Ω}b({E}) ⊂ Ω+b({E}),

on voit que les hypoth`eses (3.23) et (3.25) sont ´equivalentes dans le cas o`u V2> 0.

• Si la trajectoire issue de w ∈ Ωb({E}) est p´eriodique il existe T > 0 tel que φT(w) = w

et on a alors :

Z T

0

V2(x(t, w)) dt > 0.

En effet si ce n’est pas le cas, on consid`ere le temps t0 ∈ [0, T ] pour lequel l’appli-

cation t7→ Rt

0V2(x(s, w)) ds atteint son maximum, et on obtient une contradiction en

consid´erant le point φt0_{(w)∈ Ω}

b({E}).

• Soit (x, ξ) ∈ R2n_{. L’application t}

7→ x(−t, x, ξ), −ξ(−t, x, ξ)
est solution du syst`eme (3.12) pour la condition initiale (x,_{−ξ), soit :}

x(t, x,−ξ), ξ(t, x, −ξ)
= x(−t, x, ξ), −ξ(−t, x, ξ)
. (3.26) Soit (x, ξ) _{∈ Ω}b({E}). On suppose v´erifi´ee l’hypoth`ese (3.25). D’apr`es (3.26) on a

(x,_{−ξ) ∈ Ω}b({E}) et donc il existe T > 0 tel que :

Z T 0 V2(x(−t, x, ξ)) dt = Z T 0 V2(x(t, x,−ξ)) dt > 0.

Ainsi, l’hypoth`ese (3.25) que l’on a ´enonc´ee pour des demi-trajectoires allant vers les temps futurs est sym´etrique par rapport au temps. On aurait tout `a fait pu l’´enoncer pour les demi-trajectoires allant vers le pass´e :

(3.25)_{⇐⇒ ∀w ∈ Ω}b({E}), ∃T > 0,

Z T

0

V2(x(−t, w)) dt > 0.

On v´erifie maintenant que l’hypoth`ese (3.25) est ouverte :

Proposition 3.38. Soit E > 0. Si l’hypoth`ese (3.25) est v´erifi´ee pour E, alors elle est v´erifi´ee pour tout λ dans un voisinage J de E dans R∗

+.

D´emonstration. On suppose par l’absurde que la proposition n’est pas vraie. Alors pour tout m∈ N on peut trouver wmdans le compact Ωb([E/2, 2E]) tel que p(wm)→ E et

∀T > 0, Z T

0

V2(x(t, wm)) dt6 0.

Quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer qu’il existe w_{∞ ∈ Ω}b([E/2, 2E]) tel que

wm → w∞ quand m→ ∞. Comme p est une fonction continue, on a p(w∞) = E, et donc

w_{∞∈ Ω}b({E}). Par hypoth`ese, il existe T > 0 tel que

Z T

0

V2(x(t, w∞)) dt > 0.

Par continuit´e, c’est encore valable pour tout w dans un voisinage de w_∞ dans R2n_{, ce qui}

donne une contradiction.

Corollaire 3.39. Soit E > 0. On suppose que V2> 0. Si l’hypoth`ese (3.23) est v´erifi´ee pour

E, alors elle est v´erifi´ee pour tout λ dans un voisinage J de E dans R∗ +.

On verra d`es le paragraphe suivant que le facteur d’amortissement qui apparaˆıt `a la limite h→ 0 pour l’´etude de l’op´erateur de Schr¨odinger dissipatif (3.1) est donn´e par

exp  − Z t 0 V2◦ φsds  ,

o`u comme dans tout ce texte on s’autorisera `a ´ecrire V2(φs(w)) pour V2(x(s, w)). En suppo-

sant simplement que les trajectoires passent une fois par la zone d’amortissement dans le cas V2> 0, ou bien en utilisant l’hypoth`ese (3.25) plus g´en´erale, il n’est pas clair que ce facteur

d’amortissement sera petit pour t grand. On montre dans la proposition suivante que par compacit´e de Ωb({E}), les trajectoires born´ees repassent en fait suffisamment r´eguli`erement

par la zone o`u il y a amortissement. Proposition 3.40. Soit J _{⊂ R}∗

+ tel que toute ´energie λ∈ J v´erifie l’hypoth`ese (3.25). Alors

pour tout compact K de Ω±_b(J) il existe des constantes c0, C > 0 telles que :

∀t > 0, ∀w ∈ K, Z t

0

(V2◦ φ±s)(w) ds> c0t− C.

D´emonstration. Sachant que K est compact on peut, quitte `a r´eduire J, supposer que c’est un compact de R∗

+.

1. Soit w_{∈ Ω}b(J). Par hypoth`ese il existe Tw, γw> 0 tels que

Z Tw

0

(V2◦ φ±s)(w) ds> 2γw.

Par continuit´e du membre de gauche, il existe un voisinageVw de w dans R2n tel que pour

tout v∈ Vw on a :

Z Tw

0

(V2◦ φ±s)(v) ds> γw.

Comme Ωb(J) est un compact de R2n il est recouvert par un nombre fini de telsVw. Ainsi il

existe T1, γ1> 0 tels que :

∀w ∈ Ωb(J),∃t ∈ [0, T1],

Z t

0

(V2◦ φ±s)(w) ds> γ1.

2. Soit w_{∈ Ω}b(J). On construit une suite croissante (tk)_k∈N comme suit. On pose t0= 0, et

par r´ecurrence on consid`ere pour tout k_{∈ N un temps t}k+1∈]tk, tk+ T1] tel que :

Z tk+1

tk

(V2◦ φ±s)(w) ds> γ1.

Cela est bien licite puisque φ±tk_(w)∈ Ω

b(J). En outre, pour tout k∈ N on a n´ecessairement

tk+1 > tk+ γ1/kV2k_∞, de sorte que la suite (tk)_k∈N tend vers +∞ et tout t > 0 est dans

l’union des ]tk, tk+ T1] pour k∈ N. On note ν =

2+T1kV2k_∞

γ1 . Soient alors t> T2:= T1(1 + ν)

et N _{∈ N tel que t ∈]t}N, tN + T1]. On a n´ecessairement N > ν et donc :

Z t 0 (V2◦ φ±s)(w) ds> N −1 X k=0 Z tk+1 tk (V2◦ φ±s)(w) ds + Z t tN (V2◦ φ±s)(w) ds > Nγ1− T1kV2k_∞ > 2.

Ainsi on a montr´e qu’il existe T2> 0 tel que

∀w ∈ Ωb(J),∀t > T2,

Z t

0

3. Par continuit´e, il existe un voisinage_{U de Ω}b(J) dans R2n tel que :

∀w ∈ U, Z T2

0

(V2◦ φ±s)(w) ds> 1.

4. Soit maintenant K un compact de Ω±b(J). Alors il existe TK> 0 tel que pour tout w ∈ K

et t > TK on a φ±t(w) ∈ U. En effet, supposons par l’absurde que ce n’est pas le cas. On

peut alors trouver des suites (tm)_m∈N et (wm)_m∈N avec wm ∈ K et tm → +∞ telles que

φ±tm_(w

m) /∈ U. La suite (φ±tm(w))m∈Nest `a valeurs dans le born´eSt>0φ±t(K). Elle admet

donc un point d’accumulation

w∞∈ Ω±b(J)\ U ⊂ Ωb±(J)\ Ωb(J)⊂ Ω∓∞(J).

Soit _{R un rayon de fuite pour J tel que K ∪ {w∞} ⊂ B}x(R). Il existe un temps T∞ tel

que _|x(∓T∞, w)_{| > 2R. Par continuit´e et propri´et´e d’un rayon de fuite, il existe un voisi-} nage _{V ⊂ B}x(R) de w∞ tel que |x(∓t, v)| > 2R pour tous v ∈ V et t > T∞. Ainsi, pour

m tel que tm> T∞on a φ∓tm(V)∩K = ∅, donc φ±tm(wm) /∈ V. Cela donne une contradiction.

5. Soient alors w_{∈ K, t > T}K et N la partie enti`ere de t−T_T2K. On a alors :

Z t 0 (V2◦ φ±s)(w) ds > Z TK 0 (V2◦ φ±s)(w) ds + N −1 X k=0 Z TK+(k+1)T2 TK+kT2 (V2◦ φ±s)(w) ds + Z t TK+N T2 (V2◦ φ±s)(w) ds > −TKkV2k_∞+ N− T2kV2k_∞ > −TKkV2k_∞+ t_{− T} T2 − 1 − T2kV2k∞.

Sachant que cette int´egrale peut par ailleurs ˆetre minor´ee par_−TKkV2k_∞si t∈ [0, TK], cela

donne bien le r´esultat annonc´e avec c0= 1/T2et C = 1 + (TK+ T2)kV2k_∞+ T /T2.

Remarque 3.41. Cette proposition se v´erifie beaucoup plus facilement dans le cas o`u V2 est

positif (voir la d´emonstration du lemme 2.2 de [Roy10b]).

On aura ´egalement besoin pour notre ´etude d’un r´esultat l´eg`erement plus pr´ecis : Proposition 3.42. Soient _{R > 0 et J ⊂ R}∗

+ tel que toute ´energie λ∈ J v´erifie l’hypoth`ese

(3.25). Alors pour tout compact ˜K de p−1(J) il existe des constantes c0, C > 0 telles que :

∀t > 0, ∀w ∈ ˜K, Z t

0

(V2◦ φ±s)(w) ds> c0t− C ou |x(±t, w)| > R.

Si K est inclus dans Ω±_b(J) cela r´esulte de la proposition pr´ec´edente, et si K est inclus dans Ω±

∞(J), alors la deuxi`eme conclusion est v´erifi´ee `a partir d’un certain temps uniforme

pour w_{∈ K, et la premi`ere conclusion est toujours v´erifi´ee si on se restreint `a des temps finis.} Le probl`eme vient donc de la fronti`ere entre Ω±_b(J) et Ω±

∞(J).

D´emonstration. 1. Comme pour la proposition pr´ec´edente, on peut supposer que J est com- pact. D’autre part, comme la conclusion est plus forte si _{R est pris plus grand, il suffit de} montrer le r´esultat dans le cas o`u_{R est un rayon de fuite pour l’intervalle d’´energies J. On} note K = ˜K_{∩ Ω}±_b(J). K est alors un compact de Ω±_b(J). On reprend toutes les notations in- troduites dans la d´emonstration pr´ec´edente. On a vu qu’il existait TK > 0 tel que φ±t(w)∈ U

pour tous t> TK et w∈ K. Par continuit´e du flot, il existe un voisinage V de K dans ˜K tel

2. On montre alors qu’il existe Tf > 0 tel que pour tout w ∈ V \K ⊂ Ω±_∞(J) il existe τw> TK

tel que

∀t ∈ [TK, τw], φ±t(w)∈ U et ∀t > τw+ Tf, |x(±t, w)| > R. (3.27)

Autrement dit, si on ne sait pas `a quel moment une trajectoire issue deV \ K sort de Bx(R),

on contrˆole au moins le temps qu’elle passe dans Bx(R) \ U. Supposons par l’absurde que

(3.27) n’est pas vraie. Alors on peut trouver une suite (wm)_m∈N d’´el´ements deV \ K et des

temps tm> TK, θm> m pour m ∈ N tels que

φ±tm_(w

m) /∈ U et ∀t ∈ [tm, tm+ θm], |x(±t, wm)| 6 R.

Quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer que la suite (wm)_m∈N converge vers

w_{∞ ∈ ˜}K. Si w_{∞ ∈ Ω}±

∞(J) alors il existe T∞ > 0 et un voisinage W de w∞ dans R2n

tels que _{|x(±t, v)| > R pour tous t > T∞} et v _{∈ W, ce qui n’est pas possible. La limite} w_∞ appartient donc `a K. Si la suite (tm)<sub>m∈N</sub> est born´ee, alors quitte `a extraire encore une

sous-suite, on a tm→ t∞> TK, ce qui est absurde car on aurait φ±tm(wm)→ φ±t(w∞)∈ U

donc φ±tm_(w

m) ∈ U pour m assez grand. Quitte `a extraire encore une sous-suite, on peut

donc supposer que tm→ +∞. On note vm= φ±tm(wm). La suite (vm)_m∈N est born´ee dans

R2n_{donc `a une nouvelle extraction pr`es, on peut supposer qu’elle converge vers v∞∈ p}−1_(J). Par le mˆeme argument que pr´ec´edemment, on obtient que v_{∞ ∈ Ω}b(J), ce qui donne une

contradiction et prouve donc (3.27).

3. L’ensemble ˜K\ V est un compact de Ω±

∞(J). Quitte `a prendre Tf plus grand, on peut

donc supposer que

∀w ∈ ˜K\ V, ∀t > Tf, |x(±t, w)| > R.

Ainsi, ´etant donn´e t > 0 et w ∈ ˜K tel que _{|x(±t, w)| 6 R, on a φ}±s_{(w) ∈ U pour tout}

s_{∈ [T, t − T}f]. On peut donc conclure par un raisonnement analogue `a ce qu’on a fait pour

la proposition3.40.

Dans le document Analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz dissipative (Page 78-82)