Pour examiner en détail l’expressivité de la géométrie synthétique sur des exemples précis, nous étudions plusieurs propriétés classiques de la géométrie d’incidence projective. Ces diffé-rentes propriétés que nous retrouvons tout au long de ce manuscrit sont tout d’abord rappelées au lecteur à travers une description générale.
4.1.1 Propriété de Desargues
Nous commençons par énoncer la propriété de Desargues (voir FigureI.1.3) qui est un aspect fondamental de la géométrie d’incidence projective.
Cette propriété a la particularité d’être toujours vraie dans un espace projectif de dimen-sion supérieure ou égale à 3 construit sur un corps non forcément commutatif souvent appelé corps gauche (”skew field“) dans la littérature. Autrement dit, si la propriété de Desargues est vérifiée alors il est possible de construire un espace projectif sur un corps gauche. Cette propriété s’énonce uniquement en termes d’incidence ; Hilbert met en évidence dans son livre « Grundlagen der Geometrie » [Hil60] que ses axiomes du plan similaires à ceux présentés dans la Table I.1.2 ne suffisent pas pour la démontrer. Cependant, si le plan peut être plongé dans l’espace, alors les axiomes d’incidence de la géométrie dans l’espace permettent sa démonstration. En d’autres termes, cette propriété non forcément vérifiée dans le plan devient un théorème en dimension supérieure. Les plans (affines ou projectifs) où la propriété de Desargues est vérifiée sont appelés plans désarguésiens (ou arguésiens).
Proprieté I.1.1 (Propriété de Desargues). Soit E un espace projectif ≥ 2 et P, Q, R, P’, Q’, R’ des points de cet espace. Soient PQR et P’Q’R’ deux triangles non aplatis et non confondus. Si les droites (PP’), (QQ’) et (RR’) sont concourantes en un point O alors α, β et γ sont alignés avec α ∈ (PR) ∩ (P’R’), β ∈ (QR) ∩ (Q’R’) et γ ∈ (PQ) ∩ (P’Q’).
Description informelle. Si deux triangles sont en perspectives par rapport à un point, alors ils sont en perspectives par rapport à une droite. Cette droite est la droite d’intersection des plans des deux triangles.
4. Expressivité de la théorie en géométrie synthétique 33 P Q R O P0 R0 Q0 β γ α
Figure I.1.3 – Une configuration du théorème de Desargues dans l’espace projectif.
Le plan fini de Fano illustré dans la FigureI.1.4est l’exemple le plus simple de plan désargué-sien que l’on peut donner. C’est le plus petit plan projectif fini, c’est à dire celui comportant le plus petit nombre de points et de droites, à savoir 7 de l’un et de l’autre. Ce plan projectif peut être défini de deux façons, soit comme le plan projectif sur le corps à deux éléments F2 = Z/2Z noté simplement PG(2,2), soit comme le plus petit plan projectif vérifiant les axiomes d’inci-dences de la Table I.1.2. Nous détaillons toute la théorie autour de la construction de ces plans finis et démontrons que ce plan est désarguésien dans le Chapitre II.1.
À contrario, il existe des plans non arguésiens, satisfaisant les axiomes de la géométrie plane où la propriété de Desargues n’est pas vérifiée tel que le célèbre plan de Moulton [Mou02] (voir Figure I.1.5). C’est un plan affine dans lequel les droites qui ont une pente négative voient leur pente doubler lorsqu’elles franchissent l’axe des ordonnées. Le plan de Moulton est fondé sur une structure d’incidence (P, L, I) vérifiant les propriétés d’un plan affine ; il peut être facilement étendu en un plan projectif en rajoutant une droite à l’infini [BR98,Cox03]. La figureI.1.5illustre une configuration de la propriété de Desargues dans le plan de Moulton où les points α, β et γ ne sont pas alignés (le point α n’est pas représenté).
34 I.1. Mécanisation de la démonstration en géométrie d’incidence projective E F A B H G C
Figure I.1.4 – Plan projectif fini de Fano.
P P0 Q0 Q R O R0 γ B β
Figure I.1.5 – Configuration de Desargues dans le plan de Moulton.
Ajoutons une petite précision en rapport avec la dualité de la géométrie projective plane où les points correspondent à des droites et la colinéarité des points correspond à la concourance des droites. L’énoncé de la propriété de Desargues est « auto-dual » : l’axe de perspective devient le centre de perspective et vice versa.
4. Expressivité de la théorie en géométrie synthétique 35
4.1.2 Propriété de Pappus
Avec une approche axiomatique de la géométrie projective, si on veut construire un espace projectif cette fois-ci sur un corps commutatif, nous devons ajouter la propriété de Pappus aux différents systèmes d’axiomes.
Proprieté I.1.2 (Propriété de Pappus). Soit E un espace projectif de dimension ≥ 2 et F un sous-espace de E formant un plan. Dans ce plan F, soient P, Q, R trois points distincts alignés sur une droite d, et soient P’ Q’ R’ trois autres points distincts alignés sur une droite d’, alors les point α β γ sont alignés avec α = (RQ’) ∩ (QR’), β = (PR’) ∩ (RP’) et γ = (PQ’) ∩ (QP’).
Description informelle. La propriété de Pappus est une configuration à 9 points et 9 droites où chaque droite passe par 3 points et chaque point est l’intersection de trois droites6.
R P Q P0 R0 Q0 γ β α
Figure I.1.6 – Une configuration du théorème de Pappus dans l’espace projectif.
4.1.3 Théorème de Hessenberg
Le théorème de Hessenberg [Cox03,RK70] montre que la propriété de Desargues se déduit de la propriété de Pappus en plus des axiomes d’incidence. De manière générale, la propriété de Pappus est vérifiée pour tout espace projectif construit sur un corps commutatif : on parle d’es-pace projectif pappusien. Un plan projectif pour lequel la propriété de Pappus n’est pas vérifiée est soit desarguésien lié à un corps gauche, soit non désarguésien.
6. Toute transformation projective entre deux droites d et d0 est définie par l’image P0, Q0, R0 de trois points distincts P , Q, R de d. P0, Q0, R0 sont aussi tous distincts.
36 I.1. Mécanisation de la démonstration en géométrie d’incidence projective
Théorème I.1.1 (Théorème de Hessenberg). Dans un plan projectif satisfaisant les axiomes d’incidence et la propriété de Pappus, la propriété de Desargues est vérifiée.