Propriétés des atomes de Rydberg circulaires

Les états électroniques de grand nombre quantique principal² n sont appelés états de Rydberg [91]. Ces états sont dits circulaires si, de plus, ils sont de nombres quantiques orbital et magnétique maximaux i.e. l = |m| = n − 1 [92]. On les notera dorénavant |nCi. Les autres états de la même multiplicité (mais de plus petit l sont dits elliptiques.

2. Conformément à l’habitude, on notera n le nombre quantique principal dans cette section. Dans tout le reste du document, cette notation est par contre réservée au nombre de photons.

90 Chapitre III. Mise en oeuvre expérimentale

 Orbitale

Dans le cas du rubidium excité sur l’un de ces niveaux, la fonction d’onde électronique prend la forme d’un tore, d’autant plus étroit par rapport à la taille caractéristique de l’orbite que n est grand. A titre d’exemple, nous avons représenté sur la figure III.7 la surface de densité équiprobable pour l’état |50C (i.e. |g) fermant la région de l’espace où l’électron externe a une probabilité de présence supérieure à 91%. Du fait de la forme de l’orbitale, ces états atomiques sont ceux qui ont le comportement le plus proche de l’atome de Bohr et en première approche, la plupart des propriétés des atomes de Rydberg circulaires pourront en être dérivées. Dans une vision semi-classique, l’électron de valence a en effet une orbite de la forme d’un cercle (d’où le nom de l’état), très éloignée d’un “coeur” constitué du noyau et des électrons des couches inférieures complètes dont l’électron de valence perçoit la charge (moyennée par écrantage). L’atome a alors un comportement de type hydrogénoïde puisqu’il perçoit un potentiel coulombien comme l’hydrogène. La quantification du moment cinétique nous permet d’obtenir le rayon de la trajectoire circulaire :rn= n2a0 oùa0 est le rayon de Bohr, demi-grand axe des orbites semi-classiques de l’état fondamental, et vaut 0.53Å. Une application numérique donne un très bon ordre de grandeur de la distance de l’électron au noyau. Les états circulaires |50C et |51C(i.e.|e) ont respectivement un rayon de 133 et 138 nm. Les atomes de Rydberg sont donc des atomes “géants”.

Figure III.7 – Orbitale atomique associée à l’électron externe de l’atome de Rydberg dans l’état |50C

La surface bleue délimite la zone autour du noyau où l’électron a plus de 91% de chances de se trouver.

L’axe z est l’axe de quantification. Les dimensions sont en unités de rayon de Bohr a0= 0, 53Å.

 Energie

Les niveaux de Rydberg sont nombreux et très rapprochés. Beaucoup de fréquences de transition entre deux niveaux circulaires sont donc dans le domaine des micro-ondes (mil-limétriques ou centimétriques) et sont, à ce titre, utilisables avec notre cavité. De la même manière que pour l’atome d’hydrogène, on peut déterminer avec une bonne approximation

III.2. Le système atomique 91 les énergies des états circulaires du rubidium en considérant que l’électron interagit avec un coeur de charge +e et en modifiant la masse réduite de l’électron pour prendre en compte la taille du noyau. Grâce à ce modèle, les énergies des états |nCi sont données par l’expression :

E_n= − ^85mp (m_e+ 85m_p)

R_y

n2, (III.1)

où R_y est la constante de Rydberg. On en déduit que la pulsation de la transition entre les états |(n + 1)Ci et |nCi est donnée par :

ω_n= ^RRb ~  1 n2 − ¹ (n + 1)2  . (III.2)

où R_Rb = R_y(85m_p)/(m_e+ 85m_p) prend en compte les éléments du coeur du rubidium par rapport à l’hydrogène. Classiquement, cette pulsation correspond à celle du mouvement de l’électron sur son orbite de Bohr. Notre modèle simple ne prend pas en compte les structures fine et hyperfine des niveaux atomiques. Les corrections relativistes de la structure fine sont heureusement de l’ordre de quelques centaines de hertz pour les n allant de 20 à 60 et le couplage magnétique entre le coeur et l’électron de valence est d’intensité encore mille fois plus faible [93]. Ces effets seront donc négligés pour la suite.

 Dipôle

En utilisant le modèle semi-classique valable pour les états circulaires, l’élément de matrice du dipole d_n entre les deux états circulaires |nCi et |(n − 1)Ci du système à deux niveaux est donné par :

d_n = ^{a0e(n − 1)}

2

√

2 ^{, (III.3)}

où l’on rappelle que le rayon de Bohr a₀ constitue l’unité de distance atomique et e est la charge élémentaire. La valeur correspondante pour n = 51 vaut 1776 ea0, c’est-à-dire 420 fois le dipole de transition D2, ce qui en fait un dipole immense à l’échelle atomique [94]. La condition ∆m = +1 nous indique que cette transition est polarisée σ⁺. Comme on pouvait s’y attendre après un raisonnement semi-classique sur l’orbite bidimensionnelle de l’électron, les atomes dans un état de Rydberg sont donc de véritables antennes ex-trêmement sensibles à un champ électrique micro-onde dirigé dans le plan de l’orbite. Ils sont en revanche assez insensibles aux champs dirigés selon l’axe de quantification, i.e. perpendiculairement à l’axe de l’orbite.

Remarque A l’aide de la valeur du dipôle de la transition, il est a priori possible de calculer directement la fréquence de Rabi du vide de l’atome dans la cavité. Comme tou-tefois, les atomes ne passent pas forcément exactement au milieu de la cavité et qu’ils ne voient pas exactement le champ que l’on pense, nous effectuons en pratique des mesures pour déterminer expérimentalement cette valeur que nous avons évaluée à Ω0 = 2π × 46 kHz.

92 Chapitre III. Mise en oeuvre expérimentale  Temps de vie

A cause des règles de sélection dipolaire électrique (∆l = ±1), l’état circulaire |nCi n’est significativement couplé qu’à l’autre état circulaire |(n − 1)Ci, qui est son voisin direct [95]. Sa désexcitation ne se fera donc que dans le niveau circulaire directement inférieur. A température nulle, le taux d’émission spontanée de cet état est donné par :

Γ_0,n= ^ω

3 n|d_n|2

3π_0~c^{. (III.4)}

Pour n = 51 et n = 50, la durée de vie (qui est l’inverse du taux d’émission spontanée) des états circulaires est respectivement de 31,5 ms et 28,5 ms. De manière plus générale, le dipole atomique varie en n² et la pulsation en n³, ce qui fait une dépendance totale du taux d’émission spontanée en n5. Les niveaux de Rydberg circulaires sont donc incroyablement stables, et ce, d’autant plus que n est grand. Dans une vision semi-classique, cela s’explique simplement par le fait que l’électron placé sur une orbite circulaire rayonne moins d’énergie que s’il était placé sur une orbite elliptique, ce qui est le cas pour les niveaux de moindre l et confère justement à ces niveaux de la même multiplicité le nom d’états elliptiques. Un état de Rydberg circulaire perd en conséquence moins rapidement d’énergie par rayonnement que les états elliptiques où l’électron est plus fortement accéléré lorsqu’il passe près du coeur.

Cette longue durée de vie des niveaux de Rydberg circulaires (notée tatome) est nécessaire pour assurer les conditions de couplage fort entre la cavité et l’atome : il faut en effet pouvoir négliger la relaxation atomique par rapport au temps caractéristisque d’échange d’énergie entre cavité et atome donné par tRabi = 2π/Ω0, ce qui est vérifié ici :

t_atome∼ 30 ms  t_Rabi ∼ 20 µs. (III.5)

Plus largement, les atomes parcourant une distance d’environ 30 cm entre leur préparation et leur détection avec une vitesse de 250 m/s, leur temps de vol t_volà travers la Magic Box est d’environ 1,2 ms. Pendant cette durée, le taux d’émission spontanée pour l’état |50Ci, à température nulle, s’élève à :

1 − e^−tvolΓ0,50 ≈ 4.1% (III.6)

Les atomes traversent en fait un environnement à environ 0.8 K. La présence de photons thermiques nth supplémentaires dans le mode de la cavité augmente l’émission stimulée et le taux d’émission est divisé par n_th + 1. Dans le cas de notre expérience, le nombre de photons thermiques s’élève à 0,06 ; ce qui porte le taux d’émission spontanée à 4.4% qui reste bien négligeable.