Résultats expérimentaux
IV.3 Mesure du champ d’amplitude β
IV.3.2 Pertinence du choix de la mesure
La précision que l’on a sur la valeur de l’amplitude β du petit champ peut être quantifiée par l’écart type final obtenu ∆β. Celui-ci est proportionnel à 1/√
F que l’on appelera ∆β(1), le coefficient de proportionnalité étant donné par 1/√
ζ où ζ est le nombre de répétitions expérimentales. Cet écart type, à nombre de répétitions fixé, est d’autant plus petit que la valeur de l’information de Fisher est grande. Il ne peut descendre en dessous d’une certaine valeur fixée par la valeur maximale que peut prendre l’information de Fisher : celle-ci est donnée par l’information de Fisher quantique, obtenue dans le cas où la mesure est optimale. Elle dépend bien sûr de l’état initial donc de la valeur de T1 choisie (i.e. de la durée de la première période résonnante), la fréquence de Rabi du vide étant la même dans toutes nos séquences. La précision doit par ailleurs être meilleure que celle donnée par un état cohérent : c’est notre objectif initial. Nous allons donc chercher à situer nos résultats par rapport à ces deux valeurs.
Pour chaque état initial donné, nous avons représenté la racine carrée de l’information de Fisher obtenue expérimentalement,√
F , en fonction du temps de mesure du petit champ T2 sur la figure IV.20. Nous avons représenté en bleu la zone où l’information de Fisher prend une valeur comprise entre FSQL = 4 et FQ = 4 (1 + Ω2
0T2
1) i.e. la région où la mesure dépasse la SQL. Cette région voit sa barrière supérieure varier suivant la valeur de T1. Elle est donc d’autant plus grande que T1 est grand. Pour T1 = 0, l’état initial de la mesure est un champ cohérent d’où la coïncidence des deux valeurs FQet FSQL. La courbe noire donne l’information de Fisher maximale que l’on aurait pue obtenir en théorie avec la mesure pour tous les sets (T1, T2). Son expression, issue de celle de Fmax (II.160), est donnée par :
F1/2 = C(T1, T2)Ω0T2, (IV.3)
où le contraste prend l’expression habituelle : C = exp (−Ω2
0(T1− T2)2/8). Il est important de noter que l’information de Fisher ne prend cette expression limite que lorsqu’elle est maximisée sur β. Chaque point de la courbe donne donc l’information de Fisher maximale qui correspond potentiellement à une valeur différente de β à chaque fois. On voit ainsi qu’il est possible d’atteindre la valeur de l’information de Fisher quantique avec notre mesure dès que T1 est assez grand puisque le maximum de cette courbe frôle la valeur de FQ. Il faut toutefois théoriquement adapter le choix de T1 à la valeur de β. On remarque à ce propos, que ce processus n’est absolument pas optimal avec un état cohérent comme état ressource puisque l’information de Fisher reste loin de l’information de Fisher quantique quelque soit la valeur de T2. Par contre, notre processus de mesure converge très rapidement vers la mesure optimale dès que T1 6= 0. Nous gagnons donc réellement à utiliser un état non classique comme ressource tel que cette superposition d’états quantiques mésoscopiques.
Pour une durée d’interaction T1, nous avons obtenu expérimentalement deux valeurs de l’information de Fisher pour les durées T20 et T200 qui sont les durées optimisées pour avoir la meilleur sensibilité en β = 0. Elles correspondent aux deux points rouges dans chaque
IV.3. Mesure du champ d’amplitude β 141
Figure IV.20 – Comparaison des résultats expérimentaux avec les résultats d’une me-sure classique et d’une meme-sure optimale
Chaque sous-figure présente les résultats obtenus pour un état initial donné, déterminé par une
valeur de T1. Nous avons ainsi recensé les états donnés par 5 temps de préparation T1 =
0 µs; 6, 8 µs; 9, 2 µs; 12, 0 µs et 14, 7 µs (du bas vers le haut). Les points sont les valeurs d’information de Fisher extraites des données obtenues. Les lignes pointillées verticales correspondent aux temps de ré-surgence exacte. Les bandes horizontales bleues délimitent les régions où les valeurs d’information de Fisher
sont à la fois supérieures à FSQL= 4 et inférieures à l’information de Fisher quantique. La courbe noire
142 Chapitre IV. Résultats expérimentaux
Information de Fisher T0
2= 13.5 µs T00
2= 216.3 µs
1. FQapproximée par (IV.4) 21.6
2. FQobtenue par intégration numérique 20.5
3. F approximée par (IV.5) 13.9 21.0
4. F approximée par (IV.5) avec 5% d’erreurs de détection 11.2 17.0
5. F obtenue à partir des données expérimentales 5.1 12.0
6. FSQL (FQ d’un état cohérent) 4.0
Tableau IV.1 – Information de Fisher pour le plus grand temps d’interaction T1 = 14.7 µs
Les données à comparer sont mises en gras : la limite supérieure ultime fixée par l’information de Fisher quantique pour l’état ressource, l’information de Fisher obtenue à partir des données expérimentales et l’information de Fisher quantique de l’état cohérent qui fixe la Limite Quantique Standard.
cadre de la figure IV.20. Dans le cas spécifique où T1 = 0, les points ont été obtenu pour les deux premières valeurs de T2 telle que Pg(T2) = 1/2. Comme attendu, l’information de Fisher la plus élevée est à chaque fois obtenue pour la durée de mesure la plus longue. Lorsqu’on augmente T1, l’information obtenue pour T200(T1) est de plus en plus proche en valeur relative de l’information maximale disponible avec ce processus de mesure, qui est elle-même de plus en plus proche de la valeur de l’information de Fisher quantique. Ex-périmentalement, il aurait donc été intéressant d’augmenter encore T1. Malheureusement, l’étalement longitudinal des échantillons atomiques dégrade nos résultats. C’est d’ailleurs cela qui explique la différence entre les valeurs trouvées et les valeurs maximales. En effet, nous avons vu dans la section IV.2.3 que les atomes situés à des positions aléatoires dans les échantillons ressentaient tous un couplage à la cavité différent. Or ces variations sont d’autant plus importantes que T2 est grand puisque les atomes explorent alors la partie la plus “pentue” du profil de couplage. La trop forte diminution du contraste que cela occa-sionne nous a empêché de ce fait d’exploiter les résultats pour des T2 plus grands que ceux présentés sur la figure. La vitesse des atomes exclue de toutes manières l’exploration des T1 plus grands qu’une vingtaine de microsecondes, les atomes restant une quarantaine de microsecondes dans la cavité. N’oublions pas qu’il s’agit ici de temps effectifs.
Nous récapitulons dans le tableau IV.1 l’information obtenue par notre processus de mesure pour l’état dont les composantes de champ sont les plus distantes (i.e. l’état obtenu après une interaction résonnante de durée T1 = 14, 7 µs).
1. ä La première ligne correspond au résultat du modèle théorique que nous avons déve-loppé et qui néglige la distorsion des composantes cohérentes du champ lors de T1. Nous avions alors obtenu l’expression suivante pour l’information de Fisher quan-tique :
IV.3. Mesure du champ d’amplitude β 143 2. ä La deuxième ligne présente le résultat issu d’une simulation numérique complète pour obtenir l’état à la fin de la première période d’interaction résonnante et après retournement du temps, c’est-à-dire l’état initial de la mesure. Elle prend en compte la diffusion des composantes de champ en gardant un ordre de plus dans l’approximation faite sur la forme des composantes de champ après T1 : ces composantes sont donc de la forme donnée par (II.62). Ceci fait diminuer la valeur de l’information de Fisher de 5% environ.
Les trois lignes suivantes présentent les valeurs obtenues pour l’information de Fisher dans différents cas :
3. ä Tout d’abord le cas idéal qui fait référence à la formule suivante :
Fmax(T1, T2) = C2(T1, T2)Ω20T22, (IV.5) que l’on a obtenue à partir de l’expression de la probabilité de détecter l’atome dans |gi où l’on néglige la diffusion des composantes de champs pendant T1 et T2 et où l’on ne garde que le recouvrement le plus important entre les composantes de champ à la fin de la deuxième période résonnante :
Pg = 1 2[1 + C cos (τ )] , (IV.6) avec : C = e−18Ω2 0(T1−T2)2 , (IV.7) τ = αΩ0(T1− T2) − βΩ0T2. (IV.8)
Il est à noter que l’expression (IV.5) n’est valable que pour β α. La valeur de cette ligne correspondant au T2 le plus grand est quasiment égale à celle de la première ligne contenant les mêmes approximations (dont nous avons montré au chapitre théorique qu’elles sont tout à fait valables car elles redonnent les mêmes résultats que l’inté-gration du Hamiltonien exact). On retrouve bien ici que notre processus de mesure est optimal pour les grandes superpositions de composantes de champ.
4. ä La quatrième ligne reprend le calcul précédent mais incorpore les 5% d’erreurs de dé-tection par l’ajout d’un facteur d’atténuation (0,90) au contraste C dans l’expression de Pg (IV.7).
5. ä La cinquième ligne donne la valeur trouvée à partir des données mesurées interpolées. 6. ä La dernière ligne rappelle la valeur de l’information de Fisher quantique
correspon-dant à la SQL.
On voit ici que la valeur de l’information de Fisher mesurée est sensiblement plus faible que la valeur maximale à cause de la dispersion atomique mais reste largement supérieure à celle donnée par la Limite Quantique Standard. Le tableau nous fournit une estimation quantitative de l’amélioration apportée par notre mesure par rapport à une mesure classique : la précision a été augmentée de 10 log(pF/FSQL) ≈ 2, 4 dB.
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