Propriétés de réécriture

Dans cette section, on étudie les propriétés de réécriture des opérateurs de réduction géné- ralisés. D’après la section précédente, étant donnée une partie F de RO (G, <), il n’existe pas nécessairement d’opérateur de réduction dont le noyau est la somme des noyaux des éléments de F . Ainsi, dans le but de définir la notion de confluence comme on le fait dans 2.1.1.20, on doit considérer des parties de RO (G, <) pour lesquelles un tel opérateur de réduction existe. On introduit pour cela la définition suivante :

2.3.2.1. Parties complétables. Un partie F de RO (G, <) telle qu’il existe U ∈ RO (G, <) de noyau

ker (U ) = X T ∈F

ker (T ) ,

est dite complétable.

2.3.2.2. Notation. Soit F une partie complétable. La relation  étant une relation d’ordre, il existe un unique opérateur de réduction U tel que

ker (U ) = X T ∈F

ker (T ) .

Cet opérateur est noté ∧F .

2.3.2.3. Parties complétables et réécriture abstraite. Soit F une partie de RO (G, <). On définit la relation −→

F comme dans la section 2.1.3. De plus, en utilisant les mêmes arguments que dans cette section, pour tout couple (v, v0_{) d’éléments de KG, on a l’équivalence}

v←→∗

F v

0 _{⇐⇒ v − v}0 _∈ X T ∈F

ker (T ) .

Ainsi, si F est complétable, la proposition 2.1.3.4 se généralise au cas des ensembles non néces- sairement bien ordonnés : pour tout couple (v, v0_{) d’éléments de KG, on a}

v←→∗

F v

0 _{⇐⇒ v − v}0 _{∈ ker (∧F ) .}

(2.12)

2.3.2.4. Remarque. L’équivalence (2.12) implique en particulier que quand F est complé- table, on a un isomorphisme d’espaces vectoriels

KG ∗ ←→ F ' KG ker (∧F ).

Cet isomorphisme n’est cependant a priori pas vrai lorsque l’on considère une partie de RO (G, <) admettant une borne inférieure. En effet, on reprend le deuxième exemple de 2.3.1.6 : soient G = {g1, g2, g3} avec g1< g3 et g2 < g3 et P = (T1, T2) où, pour i = 1 ou 2, on a

1. Nred (T_i) = {g3}, 2. Ti(g3) = gi.

On a vu que P admet comme borne inférieure

T1∧ T2 = 0KG.

En particulier, tout élément de KG appartient au noyau de T1∧ T2, de sorte que KG

ker (T1∧ T2)

= {0}.

Pourtant, pour tout

v = λg1+ µg2+ νg3 ∈ KG, on a

v←→∗

F (λ + µ + ν) g1. Ainsi, le quotient de KG par←→∗

F est isomorphe à Kg1.

2.3.2.5. Confluence et propriété de Church-Rosser. Soit F une partie complétable. 1. D’après le lemme 2.3.1.4, Red (∧F ) est inclus dans Red (T ) pour tout T ∈ F , de sorte

que

ObsF = Red (F ) \ Red (∧F ) ,

est bien défini. On dit que F est confluente si ObsF est l’ensemble vide.

2. Étant donnés deux éléments v et v0 _{de KG, on dit que v se réécrit en v}0 comme dans la section 2.1.2 et que F a la propriété de Church-Rosser si, pour tout v ∈ KG, v se réécrit en ∧F (v).

2.3.2.6. Théorème. Soit F une partie complétable. Les assertions suivantes sont équiva- lentes : 1. F est confluente et −→ F est normalisante, 2. F a la propriété de Church-Rosser, 3. −→ F est confluente.

Démonstration. La preuve de l’équivalence entre 2 et 3 fonctionne de la même façon que dans la proposition 2.1.3.6 (en effet, on vérifie que dans la section 2.1.3 on a uniquement besoin de l’existence de ∧F ).

On montre que 2 implique que F est confluente de la même façon que dans le théo- rème 2.1.2.6. De plus, si 2 est vrai, tout élément v de KG se réécrit en ∧F (v), c’est-à-dire, on a v−→∗

F ∧F (v). Or, ∧F (v) appartient à KRed (F ), de sorte qu’il s’agit d’une forme normale pour −→

F . Ainsi, −→F est normalisante et donc 2 implique 1.

On suppose que 1 est vrai et on montre 3. Soient v1, v2 et v3 trois éléments de KG tels que v1 ∗ −→ F v2 et v1 ∗ −→ F v3. La relation −→

F étant normalisante, v2 et v3 admettent une forme normale. Soient vb2 etvb3 les formes normales de v₂et v₃, respectivement. On av_b2

∗ ←→

noyau de ∧F . De plus,v_b2 etvb3 étant des formes normales, ils appartiennent à KRed (F ), c’est- à-dire, KRed (∧F ) puisque F est confluente. Ainsi,vb2−vb3 appartient également à KRed (∧F ), c’est-à-dire, il appartient à l’image de ∧F . Ainsi,v_b2−vb3 appartient à ker (∧F ) ∩ im (∧F ) qui est réduit à {0} puisque ∧F est un projecteur. On en déduit quev_b2 est égal àvb3, de sorte que −→

F est confluente.

2.3.2.7. Complétion. Étant donnée une partie complétable F , la notion de complément est définie de la façon suivante : un complément de F est un opérateur de réduction C satisfaisant

1. ∧F  C,

2. ObsF ⊂ Nred (C).

2.3.2.8. Complétion et réécriture. Soit C un opérateur de réduction supérieur à ∧F . On écrit F0 = F ∪ {C}. Le noyau de C étant inclus dans celui de ∧F , on a

X T ∈F0

ker (T ) = X T ∈F

ker (T ) .

Ainsi, F0 est également complétable et ∧F0 est égal à ∧F . En particulier, les relations d’équi- valence ←→∗

F et ∗ ←→

F0 sont les mêmes. En utilisant les arguments de la preuve de la proposi-

tion 2.2.2.2, on a

2.3.2.9. Proposition. Soit C ∈ RO (G, <) tel que C est supérieur à ∧F . Alors, la famille F ∪ {C} est confluente si et seulement si C est un complément de F.

2.3.2.10. Remarque. Le fait qu’une partie de RO (G, <) n’est pas nécessairement com- plétable est à mettre en parallèle avec le fait que si on essaie d’appliquer une procédure de complétion au système de réécriture associé à une partie non complétable, alors celle-ci échoue. En effet, on considère l’exemple de 2.3.1.3 : G = {g1, g2, g3} avec g1 < g3 et g2 < g3, et soit P = (T1, T2) où, pour i = 1 ou 2,

1. Nred (Ti) = {g3}, 2. Ti(g3) = gi.

On a vu dans le point 2 de 2.3.1.6 que T1 ∧ T2 est l’opérateur nul, et donc que son noyau n’est pas égal à ker (T₁) + ker (T2), de sorte que P n’est pas complétable. De plus, d’après le diagramme g3 ))S S S S S S S S S S S S uukkkkkkkk kkkk T1(g3) = g1 T2(g3) = g2

g3 admet deux formes normales g1 et g2. Or, g1 et g2 ne sont pas comparables pour <, de sorte que la procédure de complétion échoue.

Chapitre 3

Opérateurs de réduction et

présentations d’algèbres

Dans ce chapitre, on relie les opérateurs de réduction aux présentations d’algèbres. On commence par formuler dans la section 3.1.1 la notion d’algèbre présentée par un opérateur de réduction. Dans la section 3.1.2, on définit la propriété de confluence d’une telle présentation. Dans la proposition 3.1.2.5, on caractérise les présentations par opérateur confluentes en termes de bases de Gröbner non commutatives. Dans la section 3.2, on propose une procédure permet- tant de construire des présentations par opérateur confluentes. Grâce à la proposition 3.1.2.5, on en déduit une procédure pour construire des bases de Gröbner non commutatives.

On fixe une algèbre A.

3.1

Présentations par opérateur