5.3 Exemples
5.3.3 L’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie d’Heisenberg
5.3.3.1. Présentation par opérateur. L’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie d’Heisen- berg est l’algèbre A présentée par h(X, <) | Si où X = {x < y} et S est l’endomorphisme de KX(3) défini par S(w) =
2xyx − xxy, si w = yxx 2yxy − xyy, si w = yyx w, sinon.
5.3.3.2. Confluence aux bords et extra-condition. On vérifie que
L2(S ⊗ IdKX, IdKX⊗ S) (yyxx) = L2(IdKX⊗ S, S ⊗ IdKX) (yyxx) = yxyx − 2xyxy + xxyy.
De plus, pour tout w ∈ X(4) différent de yyxx, on a
L2(S ⊗ IdKX, IdKX⊗ S) (w) = L2(IdKX ⊗ S, S ⊗ IdKX) (w) .
Ainsi, on a
L2(S ⊗ IdKX, IdKX⊗ S) = L2(IdKX ⊗ S, S ⊗ IdKX) ,
de sorte que (S ⊗ IdKX, IdKX) est confluente. Pour tout w ∈ X(5), L2(S ⊗ Id
KX(2), IdKX(2) ⊗ S) (w) et L2(IdKX(2)⊗ S, S ⊗ IdKX(2)) (w) sont égaux, de sorte que
L2(S ⊗ IdV⊗2, IdV⊗2 ⊗ S) = L2(IdV⊗2⊗ S, S ⊗ IdV⊗2) .
Ainsi, (S ⊗ Id
KX(2), IdKX(2)⊗ S) est confluente et donc la présentation h(X, <) | Si est confluente aux bords.
Enfin, KX(2)⊗ ker(S) ∩ ker(S) ⊗ KX(2) est réduit à {0}, de sorte que A satisfait l’extra- condition.
5.3.3.3. Le complexe de Koszul. Le morphisme
∂1: A ⊗ KX −→ A, est défini par
∂1(1A⊗ x) = x et ∂1(1A⊗ y) = y. En posant
le morphisme
∂2 : A ⊗ ker(S) −→ A ⊗ KX, est défini par
∂2(1A⊗ f1) = yx ⊗ x − 2xy ⊗ x + x ⊗ y, et ∂2(1A⊗ f2) = yy ⊗ x − 2yx ⊗ y + xy ⊗ y.
L’espace vectoriel J3 = (KX ⊗ ker(S)) ∩ (ker(S) ⊗ KX) est l’espace vectoriel engendré par v = yf1+ xf2
= f2x + f1y.
Le morphisme
∂3 : A ⊗ J3 −→ A ⊗ ker(S), est défini par
∂3(1A⊗ v) = y ⊗ f1+ x ⊗ f2.
Pour tout entier n tel que n ≥ 4, l’espace vectoriel Jn est réduit à {0}.
5.3.3.4. La construction de h1. Soit m un entier supérieur à 3. Soit P1,m=T11,m, T21,m la paire de réduction de bi-degré (1, m) associée à h(X, <) | Si. Les morphismes T11,m et T21,m sont définis par
T11,m(xi1· · · xim) =wxb im, où w = xi1· · · xim−1, et
T21,m(xi1· · · xim) = xi1· · · xim−3w, où w = xb im−2xim−1xim.
Ces morphismes commutent. On considère donc la P1,m-représentation deA2 : ϕ1,m:A2 −→ End KX(m) . si 7−→ Ti1,m On a ϕ1,m(γ1) = ϕ1,m((1 − s2)s1) = T11,m− T21,m◦ T11,m.
Soit w un mot en forme normale de longueur m − 1. Le mot wy ne se factorise pas à droite par yxx ou yyx. Ainsi, ϕ1,m(γ1) (wy) est égal à 0. En particulier, on a
h1(w ⊗ y) = 0,
pour toute forme normale w ∈ X∗. Si w ne se factorise pas à droite par yx où yy, ϕ1,m(γ1) (wx) est égal à 0. Si w peut s’écrire w0yx (respectivement w0yy), alors ϕ1,m(γ1) (wx) est égal à w0(2xyx − xxy) (respectivement w0(2yxy − xyy)). Ainsi, on a :
h1(w ⊗ x) = w0⊗ (2xyx − xxy) , si w = w0yx w0⊗ (2yxy − xyy) , si w = w0yy 0, sinon.
5.3.3.5. La construction de h2. Soit m un entier supérieur à 4. Soit P2,m=T12,m, T22,m la paire de réduction de bi-degré (2, m) associée à h(X, <) | Si. Le morphisme T12,m est défini pour tout tout w ∈ X(m) par
T12,m(w) =wc1w2,
où w1 ∈ X∗ et w
2 ∈ X(4) sont tels que w = w1w2. L’opérateur T22,m est égal à IdKX(m−4)⊗ U où U est égal à ker−1(J3). Le noyau de U est l’espace vectoriel engendré par v. Ainsi, U (lm (v)) est égal à lm (v) − v, et pour tout w ∈ X(4)\ {lm (v)}, U (w) est égal à w. Ainsi, T22,mest défini sur la base X(m) par
T22,m(w) = (
w0(2yxyx − yxxy − xyyx + 2xyxy − xxyy) , si w = w0yyxx w, sinon.
Les morphismes T12,m et T22,m commutent. On considère donc la P2,m-représentation de A2 : ϕ2,m:A2 −→ End KX(m) . si 7−→ Ti2,m On a ϕ2,m(γ1) = ϕ2,m((1 − s2)s1) = T12,m− T22,m◦ T12,m.
Soit w un mot en forme normale de longueur m − 1. Le mot yyxx ne figure pas dans la décomposition de wf2. Ainsi, ϕ2,m(γ1) (wf2) est égal à 0. En particulier, on a
h2(w ⊗ f2) = 0,
pour tout mot en forme normale w. Si w ne se factorise pas à droite par y, le mot yyx ne figure pas dans la décomposition de wf1. Ainsi, ϕ2,m(wf1) est égal à 0. Si w peut s’écrire w = w0y, alors ϕ2,m(γ1) (wf1) est égal à w0(yyxx − U (yyxx)). On a donc
h2(w ⊗ f1) = ( w0⊗ v, si w = w0y 0, sinon, où v = yf1+ xf2 = f2x + f1y.
5.3.3.6. Remarque. L’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie d’Heisenberg est un cas par- ticulier d’algèbre de Yang-Mills. Dans [64], les auteurs montrent en utilisant le critère de Berger que toutes les algèbres de Yang-Mills sont de type Koszul. Cependant, ils n’exhibent pas d’ho- motopie contractante du complexe de Koszul.
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Annexe A
Implémentation et exemples
A.1
Implémentation des opérateurs de réduction
A.1.1 Préliminaires
Soient (G, <) un ensemble fini totalement ordonné et K un corps commutatif. Dans la section A.1.2, on donne l’implémentation d’application
ker−1:L (KG) −→ RO (G, <) ,
qui à un sous-espace de KG associe l’opérateur de réduction relativement à (G, <) dont le noyau est ce sous-espace. On en déduit les implémentations des bornes supérieure et inférieure et du F -complément.
On rappelle d’après le théorème 2.1.1.12 du chapitre 2, que tout sous-espace V de KG admet une unique base réduiteB. On rappelle que cette base est notée
B = (eg)g∈ ˜G,
où, pour tout g ∈ ˜G, lg (eg) est égal à g. On rappelle enfin que ker−1(V ) est défini sur la base G de KG de la façon suivante :
T (g) = (
g − eg, si g ∈ ˜G g, si g /∈ ˜G.
Dans ce qui suit, les calculs ne sont pas effectués sur des sous-espaces de KG mais sur des listes de vecteurs. Le sous-espace sous-jacent à une telle liste L est celui engendré par L. Notre implémentation de ker−1 fonctionne de la façon suivante : on se donne une liste de vecteurs L, on exprime la base réduite B de l’espace vectoriel engendré par L puis on définit grâce à B l’opérateur de réduction dont le noyau est ce sous-espace. On utilise pour cela plusieurs méthodes intermédiaires qui sont écrites dans la section A.1.2. Ces méthodes sont programmées avec le logiciel SageMath1, dans la langage Python.