1.3 Opérateurs de réduction
1.3.2 Opérateurs de réduction et algèbres non quadratiques
1.3.2.1. Opérateurs de réduction et relations homogènes. Un cadre naturel pour étendre la caractérisation de la confluence en termes d’opérateurs de réduction est celui des algèbres admettant une présentation hX | Ri où
1. X et R sont finis,
2. pour tout f ∈ R, il existe un entier nf tel que f ∈ KX(nf).
En effet, R étant fini, l’entier
M = max {nf, f ∈ R} ,
est bien défini. De plus, on a l’inclusion
KR ⊂ M n≤M
KX(n). (1.11)
L’ensemble X étant fini, il existe un nombre fini de mots de longueur inférieure à M , de sorte que l’inclusion (1.11) garantit que KR est de dimension finie. Ainsi, en notant X(≤M ) l’en- semble des mots de longueur inférieure à M , il existe un opérateur de réduction S relativement à X(≤M ), < de noyau KR. De plus, pour tout entier n inférieur à M, S induit des endomor- phismes S(n)de KX(n)et un mot w de longueur n peut se réécrire en Id
KX(i)⊗S (k)⊗Id
KX(j)(w), où i + j + k est égal à n. Les sources de branchements critiques ayant une longueur comprise entre 3 et 2M − 1, la propriété de convergence de h(X, <) | Ri peut donc être étudiée par celle de confluence des ensembles
Fn= n Id KX(i)⊗ S (k)⊗ Id KX(j), i + j + k = n o ,
1.3.2.2. Opérateurs de réduction et relations non homogènes. Les algèbres décrites dans le paragraphe précédent forment une classe restrictive d’algèbres n’incluant pas certains exemples classiques comme l’algèbre universelle enveloppante U (L ) d’une algèbre de Lie L . En effet, U (L ) admet une présentation dont les générateurs forment une base de L et les relations font intervenir des termes quadratiques et linéaires. Plus généralement, étant donnée une présentation h(X, <) | Ri d’une algèbre A, l’endomorphisme de KX∗ défini pour tout mot w par
S(w) = (
r(f ), s’il existe f ∈ R, tel que w = lm (f )
w, sinon, (1.12)
n’induit pas nécessairement un opérateur de réduction sur une partie finie de X∗.
1.3.2.3. Remarque. Étant donnée une présentation quelconque h(X, <) | Ri, l’opérateur S défini en (1.12) n’est a priori
1. pas bien défini, puisqu’il peut exister deux règles f et g telles que lm (f ) = lm (g), 2. pas idempotent, puisqu’il peut exister deux règles f et g telles que lm (g) appartient au
support de r(f ).
Cependant, le théorème 2.1.1.12 du chapitre 2 garantit que si on se donne un ordre monomial, on peut se ramener à des hypothèses faisant que S est bien défini et est un projecteur.
1.3.2.4. Problématique. La remarque faite dans le paragraphe 1.3.2.2 incite à développer une théorie des opérateurs de réduction relativement à un ensemble infini. Plus précisément, il s’agit de montrer qu’en dimension infinie, on a une structure de treillis sur l’ensemble de ces opérateurs, que cette structure de treillis permet de définir une notion de confluence et que celle-ci permet de caractériser les présentations d’algèbres convergentes.
Chapitre 2
Opérateurs de réduction
Dans ce chapitre, on étend les résultats de Berger sur les opérateurs de réduction au cas des ensembles bien ordonnés non nécessairement finis. Plus précisément, on montre dans la section 2.1.1 que l’application
ker : RO (G, <) −→L (KG) ,
T 7−→ ker(T ) (2.1)
est encore un bijection et on en déduit une formulation de la confluence qui généralise celle de Berger dans le cas où G est fini. On précise que, dans ce cas, sa preuve que (2.1) est une bijection est différente de celle qu’on propose. En effet, sa preuve nécessite d’exhiber pour tout sous-espace V de KG le plus grand générateur figurant dans la décomposition d’un élément de V . Pour qu’un tel générateur existe, il faut en particulier que V soit de dimension finie et donc que G soit fini. Dans la section 2.1.2, on formule différents concepts provenant de la réécriture abstraite en termes d’opérateurs de réduction : on montre notamment les analogues du théorème de Church-Rosser, du lemme de Newman et de la caractérisation de la confluence en termes d’uniques formes normales. Dans la section 2.1.3, on relie la notion de confluence en termes d’opérateurs de réduction à celle provenant de la réécriture abstraite.
Dans la section 2.2, on s’intéresse à la complétion en termes d’opérateurs de réduction. On formule celle-ci algébriquement et on montre qu’elle peut être obtenue en termes de treillis. On commence dans la section 2.2.1 par étudier les propriétés de la borne supérieure d’une paire d’opérateurs de réduction confluente. Dans la section 2.2.2, on définit la notion de complétion pour les opérateurs de réduction en termes de treillis. On s’intéresse aussi à la question de l’existence d’une telle complétion. On introduit pour cela la notion de complément et on montre dans le théorème 2.2.2.6 qu’un tel complément existe toujours et que celui-ci peut être construit grâce à la structure de treillis.
Dans la section 2.3 on s’intéresse à des opérateurs de réduction relativement à des ensembles munis d’un ordre qui n’est pas supposé être total. Cette section a principalement pour but de montrer que la plupart des constructions faites dans les sections 2.1 et 2.2 nécessitent un ordre total.
Enfin, dans le cas où (G, <) est un ensemble fini totalement ordonné, on propose dans dans l’annexe A une implémentation de la bijection entreL (KG) et RO (G, <). On en déduit une implémentation de différentes constructions sur les opérateurs de réduction : borne supérieure, borne inférieure et compléments.
2.1
Propriétés de réécriture
Dans toute cette section on fixe un ensemble bien ordonné (G, <). On rappelle que pour tout v ∈ KG, on pose Sv le support de v : il s’agit de l’ensemble des éléments de G figurant dans la décomposition de v. On rappelle également que le plus grand élément du support est noté lg (v) et que le coefficient de celui-ci dans v est noté lc (v). On rappelle enfin qu’on étend l’ordre sur G en un ordre partiel sur KG défini de la façon suivante : on a v < v0 si v = 0 et v0 6= 0, ou si lg (v) < lg (v0).