Propagation des particules secondaires

2.5 3 3.5 4 2 3 4 5 6 7 8 <Θdet ν-µ >≈ ^0.9˚ (E_ν (TeV))^0.5 <Θprod ν-µ >≈ ^0.7˚ (E_ν (TeV))^0.6 log₁₀(E_ν (GeV))

angle moyen neutrino-muon (degrés)

Figure 2.4: Angle moyen entre le neutrino et le muon produit (traits pleins) ou le muon lorsqu'il arrive au detecteur (pointilles). La courbe en pointilles tient compte des diusions multiples dans la roche, ce qui degrade legerement la correlation.

Si l'on tient compte des

diusions multiples

du muon avant qu'il n'atteigne le detecteur, on obtient pour l'angle moyen < det; > la courbe en pointilles, que l'on peut ajuster par la fonction suivante :

<det; >'

0:9

(E=1TeV)0:5 (2.9)

La correlation angulaire reste tres bonne.

Cette correlation angulaire justie pleinement le terme d'astronomie neutrino puisqu'elle permet d'envisager la detection de sources ponctuelles pour des energies superieures a 100GeV. Nous verrons par la suite que la resolution angulaire du telescope n'est pas limitee par cet angle ; mais plut^ot par la reconstruction.

2.2.5 Propagation des particules secondaires

Nous allons maintenant voir que les dierentes particules secondaires produites lors de l'interaction du neutrino dans la matiere ont des

proprietes de propagation assez

dierentes

, en particulier leurs

longueurs de parcours

. La gure 2.5 montre les longueurs de parcours des muons et des taus et les longueurs de developpement des cascades electro-magnetiques et hadroniques dans l'eau en fonction de l'energie et en tenant compte de toutes les interactions que nous allons detailler ci-dessous.

La propagation et les pertes d'energie, dans l'eau ou dans tout autre materiau, de toute particule chargee sont gouvernees par une concurrence entre des pertes continues, des pertes

46 Principe de detection et taux d'evenements attendus 1 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 1 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰ 10¹¹ 10¹² Lc(µ,τ⁾ Ld(µ) Ld(τ) L_c+s(µ) L_c+s⁽τ) L cc(µ,τ₎ L_µ L^τ L_em L_had E_{(µ,τ,em,had)}(GeV) Longueur de parcours (m)

Figure2.5: Longueurs de parcours des muons et taus et longueurs de developpement des cascades electro-magnetiques et hadroniques de haute energie dans l'eau. En pointilles sont separees, pour les muons et les taus, les dierentes composantes de desintegration (Ld), interaction par courant charge (Lcc), pertes d'energie continues (Lc) et stochastiques (Ls).

stochastiques, eventuellement des interactions nucleaires fortes, eventuellement une probabilite de desintegration, et eventuellement une probabilite d'interaction par courant charge (voir par ex. [3] chap. 23).

Les

pertes continues

sont de deux types : l'

excitation

des atomes ou molecules en-tra^ne une emission de photons mous tandis que l'

ionisation

entra^ne une emission d'electrons. L'ionisation peut aller jusqu'a l'emission d'electrons relativistes (dits \

-rays

") qui est un pro-cessus quasi-continu. Toutes ces pertes sont quasiment independantes1 de l'energie et du type de la particule qui se propage et dependent principalement de la composition et de la densite du materiau.

Les

pertes stochastiques

sont caracterisees par de grandes uctuations, des spectres durs et des sections ecaces faibles. Elles sont de trois types :

rayonnement de freinage ou

bremsstrahlung

(par ex.Z ! Z0)(notebpar la suite),

creation de paires

(par ex. Z!

e+e;Z0)2(noteepppar la suite),

diusion profondement inelastique ou interaction

pho-1Cette quasi-independance n'est vraie qu'au-dessus du minimum d'ionisation qui correspond a un facteur relativiste  proche de 1. En-dessous, les pertes par ionisation augmentent brutalement quand l'impulsion diminue. Voir par ex. [3] gure 23.3.₂

La creation de paires+

2.2 A la recherche des neutrinos cosmiques de haute energie 47

tonucleaire

(N ! + hadrons)(noteepn par la suite). Ces pertes sont a peu pres propor-tionnelles a l'energie de la particule qui se propage. On peut donc quantier leur importance par une energie critique au-dela de laquelle elles dominent les pertes continues. On peut ecrire ainsi la somme des pertes continues et stochastiques :

; dE dx ^{= }
[a(E)+b(E)
E] (2.10a) ' 
a
 1 + E Ec  (2.10b) avec a(E) les pertes par ionisation et excitation, b(E) la somme des pertes stochastiques, et (avec l'approximation que les fonctions a et b sont constantes) Ec =a=b l'energie critique au-dessus de laquelle les pertes stochastiques dominent. L'ordre de grandeur dea(E) est en general de quelques MeVg;1cm2. Celui de b(E) depend fortement de la masse de la particule et du materiau. En eet, la section ecace du rayonnement de freinage depend de la masseM

de la particule chargee environ comme ln(M=4keV)
M;2 (voir par exemple [107] eq.15.48). Pour la creation de paire, la dependance est en M;1 ([108] eq.29), et pour les interactions photonucleaires, elle est enM;2 ([109]).

A cette concurrence entre processus continus et radiatifs, il faut ajouter la

probabilite de

desintegration

des particules instables. Pour une longueur de parcours elementaire dx, la probabilite de desintegration est dPd = dx=( c) ; si la particule est tres relativiste,  =

E=Mc2 et donc : dPd dx ⁼  Mc2 c 
E;1 (2.11)

Dans le cas des hadrons, les

interactions nucleaires fortes

ont une grande importance et entra^nent le developpement d'une cascade hadronique, comme nous allons le voir au paragraphe 2.2.5.4.

Dans le cas des leptons lourds (muons et taus), parce qu'ils sont beaucoup plus penetrants que les electrons et les hadrons, il faut encore tenir compte de la

probabilite d'interaction

par courant charge

qui les transforme en neutrinos. Mais ceci n'intervient qu'a extr^emement haute energie (voir la gure 2.5). A cause de la symetrie des diagrammes de Feynman et en negligeant les restrictions cinematiques, on peut ecrireccN =ccN=Ncc =cc, et donc :

dPcc

dx ^{= }
NA
cc(E) (2.12) Combinant toutes ces pertes d'energie et ces probabilites de disparition (par desintegration ou par courant charge), on peut ecrire le

parcours moyen

(le troisieme terme ne concerne que les muons et taus, le deuxieme seulement les particules instables) :

< L > = 0 @ 
b ln 1 + EEc + Mc2 c
E ^+
NA
cc(E) 1 A ;1 (2.13) A basse energie, c'est la desintegration ou bien les pertes par ionisation (il faut comparer

Mc2=c avec
a(E)) qui limitent le parcours; ensuite ce sont les pertes stochastiques; puis, a extr^emement haute energie, ce sont les interactions par courant charge (si elles sont possibles).

48 Principe de detection et taux d'evenements attendus

2.2.5.1 Propagation des muons de haute energie

Le rapport masse sur temps de vie du muon estMc2=c= 1:60keVcm;1 (ce qui est trois ordres de grandeur au-dessous de
aquelques MeVcm;1). Donc dans les solides et liquides, la desintegration est negligeable.

Le rapport des pertes radiatives sur les pertes continues est relativement peu dependant du materiau, il est caracterise par une energie critique Ec = a=b qui vaut environ 1TeV dans l'eau, 600GeV dans la roche[110]. Les pertes par freinage et par hadroproduction sont inferieures aux pertes par production de paires, respectivement d'environ 25% et 70%. La production de paires de muons peut ^etre negligee, car sa section ecace est inferieure de 4 ordres de grandeurs a celle de paires d'electrons. Mais l'importance relative des pertes radiatives depend fortement de la fraction d'energie perdue au cours d'une interaction (v=
E=E) : pour les faibles pertes, la production de paires domine largement (par ex.a v = 10;3, dpp=dv  102
db=dv  102
dpn=dv), tandis que pour les fortes pertes, c'est le rayonnement de freinage qui domine (par ex.a v= 0:8,db=dv10
dpn=dv102
dpp=dv).

Les interactions par courant charge ne sont importantes qu'au-dessus de 1:91012GeV dans l'eau, 5:71012GeV dans la roche3.

Pour une revue detaillee recente des interactions des muons de haute energie, voir [110].

2.2.5.2 Propagation des taus de haute energie

Le rapport masse sur temps de vie du tau est Mc2=c = 204GeVcm;1 (ce qui est cinq ordres de grandeur au-dessus de 
aquelques MeVcm;1). Donc, dans la matiere ordinaire, un tau a de tres fortes chances de se desintegrer avant de perdre une fraction notable de son energie.

Par rapport au cas d'un muon, les pertes radiatives ont des intensites beaucoup plus faibles, a cause du rapport de masse M=M = 16:8. Les rapports des pertes par bremsstrahlung, production de paires et interactions photonucleaires sont bb;=bb; = 221, bpp;=bpp; = 16:8,

bpn;=bpn; = 282. Ainsi, le tau est nettement moins radiatif que le muon par un facteur (bb;+

bpp;+bpn;)=(bb;+bpp; +bpn;)'33, et ses pertes radiatives sont largement dominees par la production de paires avec par exemple un facteur bpp;=bb; ' 17. L'energie critique entre les pertes radiatives et continues Ec=a=b vaut donc environ 33TeV dans l'eau, 20TeV dans la roche.

La longueur de parcours reste dominee par la desintegration jusqu'a extr^emement haute energie, comme on peut le voir sur la gure 2.5.

2.2.5.3 Developpement des cascades electromagnetiques

Quand un electron ou un photon de haute energie se propage dans la matiere, il donne lieu a une cascade de photons, electrons et positons (cascade electromagnetique) engendres par rayonnement de freinage (l'interaction dominante des electrons relativistes) et creation de paires

e+e; (l'interaction dominante des photons gamma). Le developpement longitudinal de la gerbe est gouverne par le rapport des energies des electrons (et positons) avec leur energie critique dans le milieu: d'abord le nombre de particules augmente, puis leurs energies nissent par tombersous

3en prenanta= 3MeVg;1cm2,Eceau= 1TeV,Ecroche= 600GeV,NA= 61023g;1 etcc(E) = 2:710;36cm2

2.2 A la recherche des neutrinos cosmiques de haute energie 49

l'energie critique de sorte qu'ils dissipent leur energie de plus en plus par ionisation/excitation plut^ot que par la generation de particules supplementaires dans la cascade.

A cause de ce developpement d'une cascade ou l'electron initial devient indiscernable des electrons engendres, la formule 2.13 du parcours moyen est inappropriee : ce qui est mesurable, c'est le prol longitudinal de dep^ot d'energie. Ce prol longitudinal est assez bien decrit par une distribution gamma[3] :

1

E0dE

bdt ^{= (bt)a}

;1e;bt

;(a) ^(2.14)

avec t = x=X0, X0 etant la longueur de radiation du milieu, a et b sont des fonctions de E0

qui dependent du milieu (dierentes de aion(E) et brad(E)). Des simulations de rayonnement Cerenkov pour des cascades electromagnetiquedans l'eau montrent[111] que le prol longitudinal d'emission de photons Cerenkov est assez bien decrit par une distribution du m^eme type avec

X0 = 35:8cm,a= 2:03 + 0:604
ln(E0) etb= 0:633. La longueurLem, sur laquelle est deposee en moyenne 95% de l'energie initiale, augmente avec E de maniere logarithmique (voir gure 2.5) : Lem  2log₁₀  Ee 110MeV 

(en metres, dans l'eau) (2.15)

2.2.5.4 Developpement des cascades hadroniques

Pour les hadrons, les interactions nucleaires fortes prennent le pas sur les processus electro-magnetiques (continus et radiatifs), donnant lieu a une cascade hadronique (chaque interaction nucleaire engendre des pions, kaons, nucleons ::: ), avec une partie electromagnetique (due aux desintegrations tres rapides de pions neutres0 ! ) et eventuellement des muons (dus principalement aux desintegrations des pions charges

!).

De m^eme que pour les cascades electromagnetiques, le prol longitudinal de dep^ot d'energie est assez bien decrit par une distribution gamma, mais avec des uctuations plus importantes et une eventuelle queue exponentielle de muons emportant de l'energie loin vers l'avant[111]. La longueur Lhad, sur laquelle est deposee en moyenne 95% de l'energie initiale, augmente aussi avecE de maniere logarithmique(voir gure 2.5) :

Lhad  1:5log₁₀ 

Eh

22MeV 

(en metres, dans l'eau) (2.16)

Dans le document Caractérisation des performances d'un télescope sous-marin à neutrinos pour la détection de cascades contenues dans le cadre du projet ANTARES (Page 52-56)