Preajustement

Le preajustement considere separement l'energie, puis la position et le temps, et enn la direction.

4.5.2.1 Estimation de l'energie

L'energie de la cascade peut ^etre tres simplementestimeed'apres la

sommedes amplitudes

de tous les coups selectionnes

(de niveau  1). Le lien entre l'energie et Ps_pe vient de la proportionnalite directe entre l'energie et le nombre total de photons emis, mais en tenant compte des photons perdus dans la nature (absorbes, non detectes, non selectionnes ::: ). Il depend donc des parametres du detecteur (geometrie) et des photomultiplicateurs (taille, saturation, temps de regroupement). On peut ajuster une relation entreEvrai et Ps

pe sur un echantillon statistiquement susant d'evenements simules. Par exemple, pour la simulation simpliee decrite au paragraphe 4.3.2, dans un detecteur correspondant a la premiere phase d'ANTARES decrite au paragraphe 3.5.3, en negligeant la saturation et le regroupement des

12Nous avons essaye dierentes valeurs de cette probabilite limite qui caracterise la \force" du ltrage, entre 0.5 et 0.99. Si l'on est trop doux (0.5), la reconstruction est g^enee par le bruit; si l'on est trop fort (0.99), la reconstruction manque d'information sur le signal. Aucune dierence n'a ete constatee entre 0.8 et 0.95.

108 Outils de simulation et de reconstruction

coups successifs, et pour une canette de tirage reduite au volume instrumente, on obtient :

Eest= 2:724(Ps_pe)0:947 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Log₁₀(Σs pe ) Log 10 (E vrai ) 0.435 + 0.947*X (a)Interpolation 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -3 -2 -1 0 1 2 3

Log₁₀(E_est/E_vrai)

Moyenne: Ecart-type: FWHM: 0.00013 0.36 0.70

(b)Dispersion apres interpolation

Figure 4.10: Interpolation pour l'estimation de l'energie, suivant les conditions decrites dans le texte.

Cet ajustement est represente sur la gure 4.10. Il donne une estimation de E bien centree et d'ecart-type '0:4 (en log₁₀(E), ce qui correspond a un facteur 2:5 sur E).

4.5.2.2 Estimation de la position et du temps

La methode la plus simple et la plus rapide semble ^etre la suivante. Elle est fondee sur une

approximation ponctuelle

, comme si toute la lumiere etait emise du m^eme point de l'espace-temps, en se deployant comme une

onde spherique

a la vitesse de la lumiere dans l'eau c=n. Cette hypothese simplicatrice peut s'ecrire sous la forme d'une fonction de 2 a minimiser.

Mais avant cette minimisation, il nous faut une premiere estimation qui servira de point de depart, puis un premier ltrage des coups pour eliminer ceux qui risquent de faire diverger la procedure de minimisation (par exemple, une concidence fortuite due au potassium 40 peut ^etre fortement decalee par rapport a l'onde spherique et donner une contribution trop importante au

2). Cette premiere estimation de la position peut ^etre donnee par la position et le temps du premier coup selectionne sur toute la fen^etre de declenchement. Mais pour eviter qu'il ne s'agisse d'un coup de bruit tres en avance sur l'evenement, il nous faut verier qu'il soit compatible avec un coup de reference dont on peut ^etre s^ur qu'il provient de l'evenement. Ce coup de reference est celui qui presente la plus forte amplitude sur toute la fen^etre de declenchement. La condition de compatibilite est une relation de causalite : si deux coups ont la m^eme cause, leur ecart temporel doit ^etre inferieur a leur separation spatiale parcourue a la vitesse de la lumiere dans

4.5 Reconstruction 109

l'eau, a une constante pres qui est liee a la non ponctualite stricte de la cascade et a la resolution temporelle des modules optiques. Elle peut s'ecrire :

j
tj  dist(xyz;xyzref)

n c ^{+C (4.14a)} C = 2
 Lem
1 +n c ^+t  (4.14b) Le premier ltrage est decrit au paragraphe 4.5.1.

On peut alors chercher la position et le tempsxyztpf qui minimisent la fonctionpf2sph (avec

E;;xes) denie ainsi :

pf2sph = 1N

X

coups niveau 1

;

ti;dist(xyzpf;xyzMO)
nc;tpf
2

22t ^(4.15)

Dans le cadre de cette approximation ponctuelle, la valeur det doit ^etre constante et des essais ont montre qu'une valeur de 2:9ns correspondait a la dispersion moyenne des temps d'arrivee des coups (il y a en fait une dependance avec l'energie puisque la longueur de gerbe en depend, mais nous n'en tenons pas compte ici et nous prendrons en compte cette dependance lorsqu'il s'agira de determiner des coupures sur la valeur du 2). La minimisation est eectuee avec le programme MINUIT[154]. Moyenne: Ecart-type: FWHM: 6.3 18. 0.8

Distance à l’axe de la gerbe [m]

1 10

10²

10³

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

(a)Erreur radiale

Moyenne: Ecart-type: FWHM: 0.017 12. 1.4 Erreur longitudinale [m] 1 10 10² 103 -150 -100 -50 0 50 100 150 (b)Erreur longitudinale Moyenne: Ecart-type: FWHM: 20. 75. 7. Erreur temporelle [ns] 1 10 102 10³ -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 (c)Erreur temporelle

Figure4.11: Resolutions spatiales et temporelle apres le preajustement, en ne gardant que les evenements qui declenchent le systeme.

Cette methode converge vers un point situe en moyenne sur l'axe et au maximum de developpement de la gerbe (Lem=3). Les

resolutions spatiales et temporelle obtenues a

ce niveau-la

sont presentees sur la gure 4.11, pour des evenementseN ccsimules suivant les conditions decrites au paragraphe 5.1. Sont pris en compte tous les evenements qui declenchent le systeme, mais aucune coupure n'est appliquee. L'erreur sur la position peut ^etre separee en deux composantes, la distance du point reconstruit a l'axe vrai de la cascade (erreur radiale) et l'ecart entre la projection perpendiculaire du point reconstruit sur l'axe et le maximum de

110 Outils de simulation et de reconstruction

developpement de la gerbe (erreur longitudinale). L'erreur temporelle est l'ecart entre le temps reconstruit et le temps theorique ou la cascade atteint son developpement maximal. La largeur totale a mi-hauteur de chaque pic (FWHM pour Full Width at Half Maximum) donne une idee de la resolution que l'on peut esperer atteindre apres coupures (environ 2m ou 7ns), tandis que l'ecart-type donne une idee de la resolution en incluant les queues (environ 20m ou 75ns).

4.5.2.3 Estimation de la direction

La methode la plus simple et la plus rapide pour avoir une estimation correcte de la direction de la cascade semble ^etre la suivante. Elle repose sur l'estimation de la position decrite ci-dessus,

conserve l'approximation ponctuelle

et suppose que la lumiere Cerenkov issue de la cascade est emise strictement sur un c^one xe dont le sommet est justement ce point d'emission estime precedemment, le demi-angle au sommet est l'angle Cerenkov c et l'axe est celui de la cascade. En supposant que tous les photons sont emis au temps d'emission estime precedemment, et se propagent sur ce c^one a la vitesse de la lumiere dans l'eau c=n, les temps d'arrivees devraient correspondre a la

propagation d'une onde plane perpendiculairement a la direction

de l'evenement

, et a la vitessevplan =c=ncosc =c=n2. La densite de photons sur le plan d'onde n'est pas uniforme mais concentree sur un cercle dont le rayon augmente avec le temps a la vitessec=nsinc. Cependant cette information n'est pas necessaire car l'hypothese d'une onde plane de celeritec=n2 sut pour estimer correctement la direction.

An d'ameliorer la qualite de cette approximation, il est important de peser chaque coup par son amplitude, par un facteur qui tient compte de la distance et par l'ecacite angulaire du module optique. De plus, en ne selectionnant que les coups de niveau 2 (d'amplitude superieure a 3pe), on obtient une distribution conique plus propre des positions des coups par rapport a la gerbe. Tout ceci peut s'ecrire sous la forme d'une fonction de 2 a minimiser.

Mais avant cette minimisation, il nous faut une premiere estimation qui servira de point de depart, et un deuxieme ltrage des coups. La premiere estimation de  peut ^etre simplement la direction moyenne des coups de niveau 2 (ponderes par leur amplitude) vus du point xyzpf. Le deuxieme ltrage des coups a ete decrit au paragraphe 4.5.1.

On peut alors chercher la directionpf qui minimise la fonction pf2plan (avec E;x;y;z;t

xes) denie ainsi :

pf2plan = 1P w X coups niveau 2w
; zi;(ti;tpf)
_nc₂
2 22z ^(4.16)

avec w = ai  dist(xyzpf ; xyzMO)2=peprob, peprob est decrit au paragraphe 4.3.2.2,

z= (ti;tpf)cnsinc et est pris egal a 10.

Les

resolutions angulaires obtenues a ce niveau-la

sont presentees sur la gure 4.12, ou nous avons separe l'erreur sur l'angle zenithal , celle sur l'azimuthet l'ecart angulaire global entre la direction vraie et la solution du preajustement. Comme au paragraphe precedent, les evenements pris en compte sont les m^emes interactions eN cc simulees suivant les conditions decrites au paragraphe 5.1, en prenant tous les evenements qui declenchent le systeme, mais sans aucune coupure. On peut voir qu'il appara^t deja sur chaque distribution un pic tres marque de largeur totale a mi-hauteur environ 6;9, ce qui laisse augurer d'une bonne resolution angulaire

4.5 Reconstruction 111 Moyenne: Ecart-type: FWHM: -11. 38. 7. Erreur zénithale ∆Θ_pf[o] 0 20

Dans le document Caractérisation des performances d'un télescope sous-marin à neutrinos pour la détection de cascades contenues dans le cadre du projet ANTARES (Page 114-118)