Propagation des ondes dans des milieux solides

Problème tridimensionnel : déformations et contraintes

Un solide est qualifié d’élastique lorsqu’il se déforme sous l’effet d’une sollicitation quelconque et qu’il reprend sa

forme initiale à l’arrêt de cette sollicitation. L’hypothèse de petites perturbations pour laquelle le solide s’écarte peu

de sa configuration de référence induit un champ de déplacement et un champ de déformation petits. Cette hypothèse

permet de linéariser le problème de propagation d’ondes dans des milieux continus autour de la configuration au

repos, c’est-à-dire libre de contraintes. Les composantes du tenseur des déformations sont alors exprimées en fonction

des composantes du champ de déplacement par la relation suivante :

εij =¹

2^(ui,j+uj,i). (2.20)

Lorsqu’un solide est déformé, des contraintes apparaissent afin de ramener le solide dans son état au repos. En

général, la loi de comportement d’un matériau se présente comme une relation entre le tenseur des contraintes et le

tenseur des déformations exprimable de la façon suivante :

σ_ij=C_ijkl ε_kl, (2.21)

où le termeCijklreprésente les composantes du tenseur d’élasticité (tenseur d’ordre 4). Les tenseurs des déformations

et des contraintes étant symétriques, le tenseur d’élasticité vérifie les égalités suivantes :

Compte tenu de ces égalités et de l’expression des composantes du tenseur des déformations, la loi de

compor-tement (2.21) peut être mise sous la forme :

σij =Cijkl^∂uk

∂x_l^. (2.23)

.

Le tenseur d’élasticité, compte tenu des égalités (2.22), comporte au maximum 21 composantes indépendantes.

Si les propriétés physiques du milieu d’intérêt sont équivalentes dans toutes les directions de l’espace, la matrice

d’élasticité est indépendante du repère choisi et le matériau est dit isotrope. Pour un tel matériau les coefficients

du tenseur d’élasticité vérifient la relation suivante :

Cijkl=λδijδkl+µ(δikδjl+δilδjk), (2.24)

oùλet µ sont appelés les coefficients de Lamé. Le tenseur des contraintes peut alors être exprimé en fonction du

tenseur des déformations par la relation :

σ=λTrεI+ 2µε. (2.25)

Découplage de l’équation de propagation

Dans les solides homogènes et isotropes, le déplacement élastique uest solution de l’équation du mouvement

donnée par le principe fondamental de la dynamique :

ρ^∂

2u

∂2t ^=divσ+F, (2.26)

où ρ est la masse volumique du solide et F = (f₁, f₂, f₃) est une force volumique. La résolution analytique du

problème d’élasticité (2.26) postulea priori une forme particulière pour la solution, puis la vérification de toutes

les équations. Si la solution supposée vérifie bien les équations du problème (2.26), le théorème d’unicité pour un

problème régulier assure que la solution supposée est bien la solution du problème. De plus, si la résolution du

problème part du champ de déplacement ui(x, t), le tenseur des déformations est calculé à partir de (2.20), et

le tenseur des contraintes par la loi de comportement (2.25). Le problème (2.26) est achevé par la vérification des

conditions aux limites (de types déplacement et effort normaux) et les conditions initiales. Sachant que la divergence

du tenseur des contraintes a pour expression :

div σ= (λ+µ)grad(divu) +µ∆u, (2.27)

l’équation de propagation (2.26) en l’abscence de source,i.e.F= 0, peut être mise sous la forme :

ρ^∂

2u

∂t2 = (λ+µ)grad(divu) +µ∆u. (2.28)

Sachant que le laplacien d’un vecteur se décompose de la manière suivante :

∆A=grad(divA)−rot(rot A), (2.29)

l’équation du mouvement (2.26) peut alors être mise sous la forme :

ρ^∂

2u

∂t2 = (λ+ 2µ)grad(div u)−µrot(rot u), (2.30)

Cette équation décrit la propagation de deux types d’ondes se propageant à des vitesses différentes : les ondes

longitudinales et transverses. La divergence représente une variation de volume, un mouvement de compression ou

de traction, alors que le rotationnel représente une déformation sans variation de volume, donc un cisaillement. Le

champ de déplacement est recherché en faisant usage de la décomposition de Helmholtz :

u=u_L+u_T. (2.31)

Les deux composantes u_L et u_T sont respectivement les composantes longitudinales et transverses du champ

de déplacement. Puisqu’elles sont respectivement à rotationnel et à divergence nulle, elles dérivent respectivement

d’un potentiel scalaireϕet d’un potentiel vecteurψ comme le traduisent les équations suivantes :

uT =rotψ. (2.33)

Ainsi, l’équation du mouvement (2.30) peut se mettre sous la forme :

ρ^∂

2uL

∂t2 +ρ^∂

2uT

∂t2 = (λ+ 2µ)grad(divuL)−µrot(rot uT). (2.34)

L’application, d’une part, du rotationel, et d’autre part, de la divergence à cette équation, conduit aux deux

équations de propagation suivantes :

∂2u_L

∂t2 −c²_L grad(divu_L) =0, (2.35)

∂2uT

∂t2 +c²_T rot(rot uT) =0, (2.36)

où les célérités des ondes longitudinalescL et transversescT sont définies par les relations :

c_L=

s

λ+ 2µ

ρ ^, (2.37)

cT =

rµ

ρ^. (2.38)

Les propriétés des champs uL et uT permettent ensuite d’écrire :

grad(div uL) = ∆uL, (2.39)

rot(rot u_T) =−∆u_T, (2.40)

conduisant alors aux équations d’Alembert pour les déplacementsu_L et u_T :

∂2uL

∂2uT

∂t2 −c²_T ∆uT =0. (2.42)

En utilisant la définition des champs u_L et u_T en fonction des potentiels ϕ et ψ, ces dernières équations

vectorielles peuvent également être remplacées par les équations :

∂²ϕ

∂t2 −c²_L ∆ϕ= 0, (2.43)

∂2ψ

∂t2 −c²_T ∆ψ=0. (2.44)

L’équation de propagation vectorielle à trois inconnues (les trois composantes du champ de déplacement u)

(2.26) a été remplacée par une équation scalaire à une inconnue (le potentiel ϕ) et une équation vectorielle à trois

inconnues (les trois composantes du potentielψ). Ces équations sont appelées équations de Navier. Elles traduisent

les équations d’équilibre pour le champ des déplacements dans un milieu continu tridimensionnel. Dans certaines

situations le problème de propagation d’ondes tridimensionnel décrit dans ce paragraphe peut être considérablement

simplifié. Le prochain paragraphe vise à mettre en lumière ce type de situation.

Problème plan en élasticité

Les essais expérimentaux réalisés dans cette étude sont en 3D. Leurs simulations numériques requièrent un temps

de calcul important et des ressources en mémoire conséquentes. Toutefois, le problème de propagation d’ondes étudié

dans ce travail est invariant dans la directionx₃ et les sollicitations sont essentiellement dans le plan(O,x₁,x₂).

Il est donc plus judicieux de simplifier le problème de propagation d’ondes en un problème d’élasticité plane.

Les équations de la théorie d’élasticité se simplifient considérablement dans le cas particulièrement fréquent où

tous les vecteurs contraintes sont parallèles à un même plan. Ce cas se rencontre dans deux types de problèmes

nettement distincts : le problème de contraintes planes et le problème de déformations planes. Dans cette section,

notre attention se focalisera sur le problème de déformations planes. La déformation plane est pertinente lorsque le

modèle 2D peut être considéré comme une coupe à travers un système long dans la direction hors plan. Dans un

grand nombre de situations, on peut supposer les déformations planes avec le champ de déplacement suivant :

u1=f(x1, x2), u2=g(x1, x2), u3= 0. (2.45)

On en déduit que le tenseur des déformations est donné par la forme suivante :

ε(x) =













ε11 ε12 0

ε12 ε22 0

0 0 0













=













∂u

1

(x

1

,x

2

)

∂x

₁

1

2(^∂u

1

(x

1

,x

2

)

∂x

₁

+^∂u

2

(x

1

,x

2

)

∂x

₂

) 0

1

2(^∂u

1

(x

₁

,x

₂

)

∂x

1

+^∂u

2

(x

₁

,x

₂

)

∂x

2

) ^∂u

2

(x

₁

,x

₂

)

∂x

2

0

0 0 0













. (2.46)

On constate bien que les déformations sont données exclusivement dans le plan orthogonal à x3. Il suffit de

connaître les déformations dans une section droite pour les connaître en tout point du domaine étudié. Par

l’inter-médiaire de la loi de comportement, il est possible de définir les composantes du tenseur des contraintes :

σ(x) =













σ11 σ12 0

σ12 σ22 0

0 0 σ33













, (2.47)

avec les relations suivantes :

ε11= (σ11−ν(σ22+σ33))/E,

ε₂₂= (σ₂₂−ν(σ₁₁+σ₃₃))/E,

ε12= ((1 +ν)σ12)/E.

(2.48)

La contrainte normale σ33 dans la directionx3 n’est pas nulle car elle est liée aux autres contraintes normales

par la relation :

En reportant dans (2.48-a) et (2.48-b), il vient :

ε₁₁= ((1−ν²)σ₁₁−ν(1 +ν)σ₂₂)/E,

ε22= ((1−ν²)σ22−ν(1 +ν)σ11)/E,

ε12= ((1 +ν)σ12)/E.

(2.50)

Le champ de contraintes est donc, comme les champs de déplacement et de déformation, indépendant dex₃. On

ne pourra donc être dans un état de déformations planes que si l’ensemble du problème est invariant pour toute

translation parallèle à l’axex3. Ceci impose particulièrement que le système sollicité soit de longueur infinie dans la

directionx3(situation irréelle). Par approximation, les inclusions utilisées dans la démarche expérimentale ont une

grande longueur dans la direction perpendiculaire au plan(O,x1,x2)et sont donc en état de déformations planes.

Dans le document Imagerie topologique ultrasonore des milieux périodiques (Page 64-70)