Optimisation Topologique (OT)

L’OT est une technique utilisée pour la fabrication de pièces industrielles dont on cherche à optimiser la forme

avec le plus souvent, une motivation économique. Comme pour la FWI, elle repose sur une fonction coût dont

on étudie les variations après avoir introduit un défaut dans le domaine (la pièce) d’étude. Si la FWI donne

des informations sur les paramètres physiques du milieu étudié, l’OT donne des informations sur la localisation

des défauts. Ces deux méthodes sont donc différentes même si leur mise en œuvre fait appel aux mêmes objets

mathématiques, à savoir la résolution du problème direct et de son problème adjoint. Il existe de nombreuses

références sur le sujet, citons par exemple A. Schumacher qui a été le pionnier sur le sujet [16, 17]. M. Masmoudi et

ses collaborateurs ont obtenu de nombreux résultats d’inversion en appliquant cette méthode [18]. Plus récemment,

des traveaux ont adapté cette approche pour des problèmes d’ondes acoustiques [19] et élastiques [8].

1.3.1 Le problème physique

Soit Ω^true un solide élastique délimité dans R^d (d=2 ou 3) par le bord S et caractérisé par le module de

cisaillement µ, le coefficient de poisson ν; et la masse volumique ρ et contenant un défaut B^true délimité par la

surface fermée Γtrue. Parallèlement, on définit le solide de référence Ω sans défaut, tel que Ωtrue = Ω\Btrue.

La détection du défaut repose sur l’accès à des données collectées à la surface S sous la forme d’une mesure

(potentiellement bruitée) uobs sur une portion de la surface S_obs ⊂ S. Lors de l’application d’une traction p en

régime harmonique sur S avec une pulsationω, le champ élastodynamique utrue satisfait l’équation d’ondes et les

conditions aux limites suivantes :

∇.(C:∇utrue) =−ρω2utrue (ξ∈Ωtrue),

ttrue=p(ξ∈S_N),

ttrue=0(ξ∈Γtrue),

utrue=0(ξ∈SD),

(1.20)

oùξdésigne le vecteur position.SN (excitation du milieu) etSDreprésentent des parties deSoù sont imposées

des conditions de Neumann et de Dirichlet. Le vecteur traction t^true ≡σ^true. n= (C: ∇u^true).nest associé au

champ de déplacementutrue et à la normalenà travers le tenseurC du quatrième ordre donné par :

C= 2µ

υ

1−2υ^I2⊗I₂+I^sym₄

, (1.21)

tel que I2 et I^sym₄ symbolisent respectivement les tenseurs d’identité d’ordres 2 et 4. La trace de utrue sur S est

supposée être disponible sur la région de mesureSobs⊂SN. Dans ce qui suit, ces mesures seront notées par uobs,

La variable uε désigne le champ direct pour la même excitationpdonnée et une cavité d’essai Bε de contour

Γε. En conséquence, la solution directeuεest définie dansΩε, à travers les équations :

∇.(C:∇uε) =−ρω2uε(ξ∈Ω_ε),

tε=p(ξ∈S_N),

tε= 0 (ξ∈Γε),

uε= 0 (ξ∈SD),

(1.22)

oùt^ε est le vecteur traction associé àu^ε.

1.3.2 La fonction coût

On introduit la fonction coût qui mesure l’écart entre Ωtrue et un domaine test Ωtest. Cette fonction coût est

définie pour un problème d’OT, du même sens physique que celle définie en (1.5) pour la FWI :

J(Ωε;p) =¹

2

Z

s

obs

(uε−uobs(ξ))W(ξ)(u^ε−u^obs(ξ))dΓξ. (1.23)

La quantité W(ξ) est la matrice pondération symétrique et positive. Elle porte le même sens physique que

la matrice de covariance définie à travers l’équation (1.5). En général, (1.23) peut être considérée comme un cas

particulier de la classe des fonctions coût s’écrivant de la façon suivante :

J(Ωε;p) =

Z

S

obs

ϕ(u^ε(ξ), ξ)dΓξ, (1.24)

oùϕmesure typiquement un écart au sens des moindres carrés :

ϕ(w, ξ) =¹

2^(w(ξ)−uobs(ξ))W(ξ)(w(ξ)−u^obs(ξ)). (1.25)

1.3.3 Etude de la sensibilité de la fonction coût

La résolution du problème inverse par minimisation deJ fait habituellement appel à une procédure itérative dont

le résultat est susceptible de dépendre fortement du choix des conditions initiales (nombre d’obstacles, emplacements

et formes initiales). Ce choix va être facilité par le calcul du gradient topologique de la fonction J, un concept

initialement introduit dans le contexte de l’Optimisation Topologique de structures. Soit un défaut test infinitésimal

Bε=x0+εBcentré enx0 et caractérisé par la forme du domaine unitaireB ⊂_Rd, oùε >0se réfère à la taille du

défaut. Ce paramètre adimensionnel est supposé petit. Ce défaut est inclus dans un milieu solideΩε= Ω\Bε, la

dérivée topologiqueT(x⁰, ω)deJ est définie à travers le développement asymptotique :

J(Ωε;p) =J(Ω;p) +η(ε)| B | T(x⁰, ω) + O(ε³), (1.26)

où| B | est la mesure du volume de B et η(ε)est une fonction strictement positive qui dépend de la forme de la

cavité de telle sorte que lim

ε→0η(ε) = 0.

Le comportement asymptotique va déterminer un des résultats importants de cette analyse. On notera qu’en

général, la valeur deT dépend de la forme deB. Afin d’évaluerT(x⁰), il esta priori nécessaire de calculerJ(Ωε;p)

et donc de résoudre le problème (1.22) dans lequelBtrue est remplacé parBε(x0).

1.3.4 La méthode adjointe

Dans ce paragraphe, nous présenterons la formulation de la dérivée topologique élastodynamique pour un système

borné à l’aide de la méthode adjointe définie dans [8]. Nous montrerons que l’application de cette méthode à

l’équation adjointe conduit à une formule compacte et élégante de l’expression du gradient topologique. La solution

de (1.22) notéeu^ε(le champ de déplacement élastodynamique du milieuΩ^ε) peut être décomposée sous la forme :

u^ε=u+ ˜uε, (1.27)

oùuest la réponse du problème direct dans le milieu de référence sainΩdonnée par :

∇.(C:∇u) =−ρω²u(ξ∈Ω),

t=p(ξ∈S_N),

u= 0 (ξ∈S_N),

tandis que_u˜ε est le champ de déplacement diffracté par la présence du défaut infinitésimal d’essai Bε(x0), donné

par le système suivant :

∇.(C:∇u˜ε) =−ρω2˜uε(ξ∈Ω_ε),

˜_tε= 0 (ξ∈S_N),

˜

uε= 0 (ξ∈SD),

˜_tε=−σ.n(ξ∈Γε).

(1.29)

La dérivée topologique peut être retrouvée via le passage aux limites suivantes :

T(x⁰;ω) = lim

ε→0

1

η(ε)| B |

Z

s

obs

<(^∂ϕ

∂u^{(u(ξ), ξ).u˜}

ε(ξ))dΓξ. (1.30)

L’analyse asymptotique de (1.30) permet de montrer que la dérivée topologiqueT(x⁰;ω)de J(Ωε;p)pour un

trou de type Neumann est donnée par [8] :

T(x⁰, ω) =Re[σ(v) :^∗ A:σ(u)−ρω²v.u](x⁰, ω), (1.31)

où σ^∗ et v correspondent respectivement aux champs de contraintes et de déplacements du problème adjoint. Le

terme Aijkl est quant à lui le tenseur de polarisation dépendant de la nature et de la forme du défaut. Dans le

cas où le défaut est de type Dirichlet, cette formulation avec le tenseur de polarisation ne sera plus valide et il

faudra reprendre les calculs depuis le début. En revanche, si le défaut correspond à une inclusion sphérique de type

Neumann le tenseurAijkl s’écrira :

Aijkl= ¹

2µ

I_ijkl− ^υ

1 +υ^δijδkl

− ¹

|β |

Z

ζ

U_i^kl( ¯ξ)n_j( ¯ξ)dϑ_ξ¯, (1.32)

avecvla solution du problème adjoint régit par l’équation suivante :

∇.(C:∇v) =−ρω²v(ξ∈Ω),

∗

t=p^∗ (ξ∈S_N),

v= 0 (ξ∈S_N),

oùp^∗ est le résidu (source de problème adjoint) donné par :

∗

p= ^∂ϕ

∂u^{(u(ξ), ξ) =u}−uobs, ξ∈Γ^obs⊂SN. (1.34)

1.4 Interprétation physique des gradients de la FWI et de l’OT : points

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