Positionnement du problème

Dans cette section, l’objectif est de décrire de façon générale et simplifiée le problème physique de la figure 1.1.

Considérons tout d’abord un milieu non dissipatifΩε(sans échange d’énergie ou de matière avec l’environnement)

contenant un objet ε dont les caractéristiques physiques et mécaniques diffèrent de celles du milieu environnant.

Sur le bord Γm de Ωε, considérons un système d’émission et de réception placé en Sm. Il est tout à fait possible

d’envisager une surface de mesure dédiée à l’émission différente de celle consacrée à la réception des ondes. Dans ce

travail, on se restreint au cas particulier où les zones d’émission et de réception sont partagées. Dans un premier

temps, appelé phase d’émission, la sonde placée enS_mexcite le milieu grâce à un signal connu généré par le système

d’émission. Le champ induit est diffracté par l’inhomogénéité ε. Dans un second temps, la réponse du milieu est

mesurée par le système de réception placé enSm. Finalement, la troisième et ultime phase, est celle de la résolution

du problème inverse à partir des données enregistrées.

De cette brève description, il faut retenir que les deux premières étapes sont communes à tous les problèmes

inverses puisqu’il s’agit des étapes d’apprentissage. En revanche, la troisième étape dépend de la méthode que l’on

souhaite utiliser. Nous pouvons recenser à ce titre, une triple classification des méthodes de résolution de problèmes

inverses : les méthodes de décomposition, les méthodes d’échantillonnage et les méthodes itératives d’imagerie

quantitative.

Concernant les méthodes de décomposition, nous pouvons citer celle de la Décomposition de l’Opérateur de

Retournement Temporel, ou méthode DORT ainsi que celle de l’algorithme MUSIC (MUltiple SIgnal Classification)

[1]. La méthode DORT a été décrite pour la première fois par les physiciens C. Prada et M. Fink dans [2]. Elle est

issue de l’étude du phénomène de retournement temporel menée par M. Fink et ses collègues au début des années

Figure 1.1 – Inspection ultrasonore du milieu Ω_ε délimité par la surface Γ_m avec la sonde placée en S_m. (a) :

émission et propagation. (b) : diffraction par le défautε, propagation et mesure.

1990 [3, 4, 5]. Le principe est de déterminer les invariants de l’opérateur de retournement temporel qui s’inspire

notamment du procédé d’algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières ouSingular Value Decomposition

(SVD) de la matrice de transfert K. La matrice de transfert K relie la réponse d’un milieu enregistrée par un

réseau à une émission du même réseau. L’algorithme MUSIC est un outil de traitement du signal proche de la

méthode DORT qui permet d’analyser individuellement les fréquences d’un signal multi-harmonique. Dans les deux

approches, les valeurs propres significatives indiquent le nombre de diffuseurs dans le milieu sondé, tandis que les

vecteurs propres associés aux valeurs propres sont affectés à la diffusion simple par les inclusions. La diffusion est

dite simple lorsque l’onde incidente ne subit qu’une seule réflexion par le diffuseur du milieu avant de revenir vers

le(s) capteur(s). On parle aussi d’onde balistique. Par la suite, ces remarques peuvent être exploitées pour localiser

les inclusions contenues dans le milieu inspecté. Toutefois, dans la méthode DORT, on fait appel aux valeurs propres

les plus prononcées, tandis que dans l’algorithme MUSIC, on utilise une fonctionnelle faisant intervenir les valeurs

propres les moins significatives. Les deux méthodes se révèlent performantes dans des milieux dilués1contenant des

inclusions petites devant la longueur d’onde.

1. Nous entendons par un milieu dilué une situation dans laquelle la plus petite distance entre deux diffuseurs est un multiple de la

longueur d’onde.

Dans la catégorie des méthodes d’échantillonnage introduites par D. Colton et A. Kirsch [6], la méthode Linear

Sampling Method (méthode d’échantillonnage linéaire) est en général introduite dans le domaine fréquentiel. C’est

le cas notamment pour l’équation de Helmholtz. La méthode d’échantillonnage linéaire cherche à trouver la forme

d’un objet à partir de mesures d’ondes diffractées par ce dernier. Elle se révèle rapide (une seule itération peu

coûteuse). De plus, elle n’a a priori pas besoin d’informations sur l’objet sondé. En revanche, son caractère peu

précis est un handicap lorsque des phénomènes de multi-diffusion rentrent en jeu.

Pour terminer, la catégorie à laquelle nous nous réfèrerons dans le cadre de ce chapitre et de façon plus globale

dans cette thèse, est la classe des méthodes itératives d’imagerie quantitative. Pour le reste de ce chapitre, notre

attention se focalisera sur la méthodeFull Waveform Inversion (FWI) et la méthode d’Optimisation Topologique

(OT). Les méthodes itératives sont plus précises que les méthodes de décomposition ou d’échantillonnage et

per-mettent d’obtenir des informations quantitatives du milieu sondé au prix d’un temps de calcul plus élevé. Le but de

la FWI est de reconstruire les paramètres continus du milieu d’intérêt comme la célérité ou la densité, tandis que

l’OT s’oriente vers la localisation et l’estimation de la forme des inhomogéniétés dans le milieu inspecté. Malgré la

différence conceptuelle des deux méthodes, la stratégie de résolution de ces deux problèmes inverses est la même à

l’exception de quelques subtilités que nous mettrons en lumière.

L’organisation de ce chapitre se présente de la façon suivante. Dans un premier temps, nous commencerons par

décrire les outils théoriques sous-jacents à la résolution des problèmes inverses de type FWI et OT. Dans un second

temps, nous présenterons le cadre mathématique de chaque méthode tout en restant le plus général possible. Pour

cela, nous baserons les définitions sur la référence [7] où est décrite la théorie au sujet de la FWI, et sur la référence

[8] pour ce qui est de l’OT. A ce titre, nous respecterons les notations propres à chaque publication tout en veillant

à signifier le sens de chaque variable lors de la présentation des formalismes mathématiques. L’originalité de ce

chapitre réside dans un troisième temps où nous mettrons en évidence comment deux méthodesa priori distinctes

convergent vers des résultats similaires sous certaines conditions.