Chapitre IV Contribution Doséclair
2 Propagation axiale
2.1 Tenseur de la maille support
Chaque SBIM est associé à un tenseur de projection. Ce tenseur permet de projeter tous les points de la maille support du SBIM dans son modèle homogène. Ce tenseur de projection est propagé axialement dans les mailles support du fantôme. Dit autrement, pour un SBIM donné, son tenseur de projection peut être entièrement calculé à partir du tenseur de projection du SBIM qui le « précède géométriquement ». Comme la détermination des tenseurs à l’entrée du faisceau dans le fantôme – donc des « tenseurs initiaux » – peut également être établi simplement, nous pouvons donc
évaluer par un calcul de proche en proche l’ensemble des tenseurs. L’objet de cette section est justement d’établir les « règles » de propagation permettant la systématisation de cette action par un
algorithme pour calculer ces tenseurs.
Pendant la propagation, l’orientation et l’origine du faisceau sont fixes, donc, la « partie » correspondant à la projection de à (i.e. ne change pas. En revanche, nous allons nous
focaliser sur l’ajustement de la composante qui correspond au passage de à en gérant
justement les hétérogénéités.
De façon générique, pour un point , on chercher à connaitre sa projection dans le repère pour évaluer la dose qui est pré-calculée dans le modèle en milieu homogène associé au SBIM considéré.
Sa coordonnée selon l’axe , varie de proche en proche en fonction du parcours du faisceau
dans le fantôme hétérogène. L’interprétation à lui donner est qu’elle nous indique à quelle profondeur dans le modèle homogène nous allons chercher la dose. Cette profondeur s’appelle la profondeur
radiologique. Par définition, pour un point d’un fantôme hétérogène, sa profondeur radiologique, relativement à un matériau donné est la profondeur où la fluence aurait été autant atténuée dans un fantôme homogène de ce matériau.
Pour rappel, le principe sous-jacent exploité par la méthode Doséclair, est de considérer que si
localement le milieu et le flux sont homogènes (sur un volume de l’ordre de grandeur des noyaux de
diffusion), même si le fantôme global est hétérogène, la dose localement peut être déduite de la dose en milieu homogène en prenant la partie soumise à la même fluence. C’est ce principe que traduit
l’utilisation de la profondeur radiologique. Rappelons aussi que lorsque le volume n’est pas assez
grand localement, cela se traduit par la co-influence de plusieurs SBIM qui sont alors combinés par une somme pondérée selon des mécanismes déjà décrits dans le précédent chapitre.
Nous introduisons maintenant plusieurs concepts et notations pour pouvoir organiser les calculs :
Afin de simplifier les écritures, nous allons considérer que par rapport à un SBIM considéré
noté , le SBIM noté correspond au SBIM qui « le précède géométriquement » et
que le SBIM noté correspond au SBIM qui « le suit géométriquement »4. Cette
4 Cette notation ne gère pas les découpages ou regroupements de SBIM. On peut toujours considérer que si
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notation sera utilisée en exposant des fonctions pour les associer aux bons SBIM. Ainsi si on reprend la Figure 32 et que le SBIM est le SBIM 3 (poumon en bas), alors le SBIM
est le SBIM 1 et le SBIM est le SBIM 5.
Nous notons le barycentre de la section d’entrée du SBIM dans sa maille support et
le barycentre de la section de sortie du SBIM de sa maille support. Par définition des SBIM qui précèdent et suivent géométriquement, on a
et
. 5
La notion de profondeur radiologique d’un SBIM , noté , qui est la profondeur
radiologique du barycentre de la section d’entrée du SBIM dans le modèle homogène du
milieu de sa maille support :
.
La notion de profondeur de SBIM
qui correspond à la différence de profondeur
radiologique entre le barycentre de la section d’entrée du SBIM
(i.e. la profondeur radiologique du SBIM) et la profondeur radiologique du barycentre de la section de sortie du SBIM
:
. Comme la maille support est homogène, cette différente de profondeur est strictement géométrique et peut aussi être évaluée dans si
nécessaire par la simple différence d’altitude
.
Prenons l’exemple de la Figure 98 de l’annexe A, où il n’y a qu’un SBIM par maille et un découpage
très simple. Si on considère en référence pour notre calcul le second SBIM, alors le SBIM d’entrée est et le SBIM de sorti est . Si on considère que chaque maille est un milieu différent, il faut tenir compte de ces changements de milieu dans le calcul de la projection. La profondeur radiologique du SBIM joue un rôle très important.
Si on regarde la projection du SBIM , elle doit projeter un point du fantôme hétérogène vers un point du modèle homogène correspondant où la fluence a subi la même atténuation, de façon à assurer la continuité de la fluence aux interfaces dans le fantôme hétérogène.
Considérons ce qui se passe à l’interface qui sépare les SBIM et . La fluence à l’entrée du
fantôme est . Rappelons-nous que la fluence primaire est atténuée exponentiellement avec la distance parcourue dans le milieu. Si le milieu possède un coefficient d’atténuation linéique , la fluence à la profondeur est donnée par : .
En tenant compte de cette notation et en considérant que est le coefficient d’atténuation linéique du milieu de la maille support au SBIM , alors la fluence au barycentre de la section de sortie du SBIM vaut :
La fluence au barycentre de la section d’entrée du SBIM est:
Comme il s’agit du même point, grâce à l’hypothèse de la continuité de la fluence aux interfaces :
partie, Chapitre III, Section 3]), alors ils sont indicés en , , etc. De la même façon on pourrait intégrer pour un SBIM issus de regroupement des et également. D’un point de vue informatique, dans le simulateur, ces choses sont gérées mais pour la démonstration mathématique afin d’établir les formules, cette complexification des notations et des situations est inutile.
5 Pour faire écho à la note précédente, on pourrait en cas de découpage avoir plusieurs sections de sortie et
66 On en déduit facilement que :
La profondeur radiologique du SBIM « successeur » peut donc être calculée à partir du SBIM courant
selon :
De ce fait, nous pouvons en déduire la formule récursive de la composante du tenseur de projection du SBIM successeur suivant :
+ +
est la distance parcourue depuis le point d’origine du faisceau selon la direction pour
atteindre la profondeur (géométrique) du barycentre d’entrée du SBIM
. Cette formule nous permet de pouvoir propager le tenseur de projection du SBIM
au SBIM
.
Une validation de cohérence simple à évaluer consiste à considérer le cas trivial : = . Par conséquent, nous avons égalité entre et , qui implique que le tenseur de projection du SBIM est propagé tel quel au SBIM suivant sans aucune modification. Ceci est logique puisqu’il
n’y a pas d’hétérogénéité et que si les deux mailles étaient réunies en une seule maille support, les
deux SBIM seraient également réunis en un seul, avec un tenseur unique valide sur toute la grande maille support.
Le détail de ces calculs est présenté en Annexe A.
2.2 Simulation et résultat
Toutes les évaluations présentées dans ce chapitre se baseront sur un même fantôme muni d’un maillage régulier de 45 cubes (3×3×5 = 45) de 4 cm de côté, représenté sur la Figure 45. Les doses sont calculées dans des voxels de 2 mm de côté. Le fantôme test comptera donc 60×60×100 = 45×(4×5)3 = 360000 voxels.
Le faisceau utilisé dans ces simulations est mono énergétique de 5 MeV, il a une fluence homogène sur toute sa section de forme carrée, dont la surface est de 1×1cm2.
La qualité des résultats de notre méthode est évaluée par comparaison aux résultats obtenus par le code Monte Carlo Penelope (Salvat, et al., 2006).
Ces comparaisons se feront par l’affichage de la différence de dose en chaque point, et/ou par
l’affichage de l’index delta (Blanpain, et al., 2009) outil équivalent au classique index gamma (Low, et
al., 1998), mais plus rapide à calculer que ce dernier et plus robuste à certains artéfacts de calculs surtout dans les zones de très fort gradient. Les tolérances en position et en dose retenues pour l’index delta sont respectivement de 2 mm et de 2%. Le détail de calcul de l’index delta est présenté en Annexe F.
Nous étudions d'abord le cas d'un faisceau envoyé en plein cœur du fantôme avec 5 couches composées de différents matériaux, illustré par la Figure 45. Sur ce test, on s’intéresse particulièrement
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à la dose déposée sur l’axe du faisceau pour vérifier la validité des tenseurs de projection dans les
mailles support.
Sur la Figure 46, la courbe de dose est constituée d’une succession de plateaux décroissants, correspondant aux différentes mailles. Pour bien illustrer les principes de pondération, nous avons établi deux types de lois.
Tout d’abord une loi binaire où le SBIM à une influence de 1 dans sa maille support et 0
ailleurs. On voit que la distribution de dose obtenue au cœur de ces mailles est très précise. Dit autrement, les mailles supports sont projetées aux bonnes profondeurs dans leurs modèles homogènes. Par contre, les résultats sont très imprécis près des interfaces, les modifications lentes des flux électroniques, d’un matériau à l’autre, n’étant pas prises en compte avec cette loi de pondération.
Ensuite les fonctions de pondération adaptées que nous avons détaillées dans la section 5 du
chapitre précédent. Grâce à elles, les variations de dose autour des interfaces sont précisément retrouvées.
Cette précision est confirmée par l’évaluation réalisée via l’index delta et affichée sur la Figure 47. On voit que l’erreur est très acceptable, puisque pour tout point, delta est compris entre −1 et 1 (et même
entre -0.6 et 0.7).
Figure 45 Un faisceau traversant les cinq couches du fantôme test
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Figure 47 Évaluation de la dose sur l’axe du faisceau via l’index delta