Modèle optimisation et formulation mathématique

Rappelons-nous qu’un plan de traitement est composé de plusieurs faisceaux RCMI positionnés de

façons différentes et que chaque faisceau dispose d’une modulation d’intensité associée. On cherche à

trouver un plan de traitement optimal qui remplit les objectifs cliniques préalablement définis par le médecin. Idéalement, le système de planification devrait réaliser l’optimisation sur l’ensemble des paramètres de traitement : la balistique et la modulation. Néanmoins à cause du temps de calcul limité

en clinique, seule la modulation d’intensité de chacun des faisceaux est automatisée. À ce jour,

l’optimisation sur la balistique du traitement est toujours utilisateur-dépendant et doit généralement être faite manuellement. Il y a parfois une automatisation possible de cette optimisation mais alors

sous la forme d’une sélection de faisceaux parmi un panel très contraint.

Dans le cadre de la thèse, nous proposons une méthode d’optimisation qui optimise non seulement la modulation d’intensité, mais aussi la balistique du traitement. L’optimisation sur les deux propriétés se fait en séquentiel ou simultanément. Cette méthode est itérative et déterministe. Elle part d’un plan issu d’un protocole ou résultant de l’expérience du physicien, qui est considéré comme une bonne solution a priori. L’objectif sera d’améliorer cette solution potentielle.

Le premier avantage majeur de la méthode est d’être continue en les paramètres avec par défaut tous

les degrés de liberté possible. Ainsi, contrairement aux méthodes proposées dans la littérature, on explore par défaut un espace de solutions qui permet d’envisager tous les faisceaux possibles pour la

balistique. En d’autres termes, on est capable de placer des faisceaux non-coplanaires et non iso- centriques. Le second avantage est que l’on peut envisager de limiter la variation de certains paramètres de façon à respecter des contraintes de valeurs (certains angles impossibles pour l’appareil

clinique), voire à forcer un paramètres à rester constant. Ceci nous permet de spécifier les paramètres à optimiser en toute liberté. Cette double capacité permet à la méthode d’être exploitable pour n’importe quel appareillage, y compris comme nous le verrons plus tard pour des accélérateurs hélicoïdaux ou le Cyberknife.

Nous allons voir dans la section 1.1 la formulation de la fonction d’objectif. Ensuite, les paramètres

d’optimisation pour réaliser cette méthode seront présentés dans la section 1.2 et 1.3.

1.1 Objectifs d’optimisation

Dans le cadre de cette thèse, les objectifs d’optimisation sont fondés sur des critères physiques de dose: irradier le volume cible conformément à la prescription tout en maintenant la dose aux OARs en dessous du niveau de tolérance et aussi faible que possible. Ce choix est fait dans le cadre de la

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faisabilité de dérivation, sachant que les critères biologiques pourraient être aussi utilisés s’ils sont dérivables (comme l’EUD par exemple).

Les critères de dose : ils comprennent une prescription de dose pour le volume cible et une dose nulle pour les OAR. Ces prescriptions sont accompagnées par les contraintes de dose qui s’expriment sous la forme de doses minimales ( ) et maximales ( ) acceptables pour le volume cible et de doses

maximales tolérées pour les OARs.

Ces multiples critères nous permettent de définir un problème d'optimisation multi-objectifs. Pour optimiser cette fonction, une des démarches courantes consiste à définir une combinaison linéaire de

tous les critères. Pour cela, on doit attribuer un facteur de priorité à chacun d’entre eux. Ces facteurs de

priorité sont divisés par le nombre de points contenus dans chaque structure. Ceci a pour but d’éviter

l’effet dominant de la structure de plus grand volume dans la fonction objectif.

Sous sa forme quadratique, basée uniquement sur la prescription et des contraintes de dose, la fonction

objectif utilisée peut s’écrire :

Où :

est la dose prescrite à la cible,

est la dose de tolérance pour l’OAR,

représente la dose déposée dans le ème voxel du volume cible, représente la dose déposée dans le èmevoxel de l’OAR,

et représentent respectivement les facteurs de priorité attribués à la contrainte cible et à la

contrainte OAR,

et représentent respectivement les nombre de voxels du volume cible et de l’OAR.

L’objectif est de minimiser cette fonction . En effet, pour un plan de traitement donné, la valeur de

quantifie la proximité de la distribution de dose calculée avec la distribution de dose désirée définie par un ensemble d’objectifs dosimétriques donnés. Il s’agit par conséquent, d’un indicateur chiffré

représentant la qualité d’un plan de traitement, à partir de critères dosimétriques.

1.2 La modulation d’intensité du faisceau

Dans le cadre de cette thèse, on utilise un faisceau RCMI composé de faisceaux élémentaires

de section carrée mis côte à côte selon deux directions. Chaque faisceau élémentaire possède une

fluence uniforme (ce qui revient aussi à parler d’intensité uniforme), illustré sur la Figure 58.

L’ensemble de ces fluences uniformes constitue un vecteur de fluence, noté , pour le faisceau

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Figure 58 La carte de fluence d’un faisceau RCMI

Rappelons-nous que, pour un faisceau RCMI donné, le faisceau élémentaire est indexé par Donc, la fluence du faisceau élémentaire est désignée par ou 8_.

Définir la modulation d’intensité, c’est trouver, pour une balistique définie, le vecteur de fluence qui

minimise la fonction présentée dans la section 1.1.

1.3 Balistique du traitement

Dans le cadre de la thèse, on considère qu’une balistique de traitement est composée de plusieurs faisceaux RCMI qui sont positionnés dans l’espace trois dimensions. Les grandeurs caractéristiques du

faisceau RCMI sont ici indicées par . Chaque faisceau RCMI est caractérisé dans l’espace par la position de son origine et par son orientation représentée par ( ; ; ).

Compte tenu que les interactions du faisceau avec l’air sont négligées (assimilé à du vide), le déplacement du point d’origine selon l’axe du faisceau ne modifie pas le dépôt de dose final9. Nous limitons donc les déplacements de sur une sphère de rayon qui est suffisamment large pour envelopper entièrement le fantôme hétérogène. Ceci nous permet de réduire le paramétrage du

déplacement de sur la sphère à deux degré de liberté : (longitude) et (colatitude). et

sont indépendants. est compris entre 0 et et est compris entre 0 et . Le déplacement du faisceau élémentaire dépend de son , il peut être déduit facilement par une simple

translation de selon l’axe et du faisceau.

L’orientation du faisceau est caractérisée par les angles d'Euler de la variante Tait-Bryan ( ):

, et , qui définissent totalement le triplet ( ; ; ) du faisceau. Les trois angles sont

indépendants. Dans un premier temps, on considère qu’ils sont compris entre – et (Deuxième

partie, Chapitre IV, section 1.3).

Définir une balistique, c’est trouver les paramètres de l’origine ( ; ) et de l’orientation ( ; ;

) de chaque faisceau RCMI indicées par , dans le but de minimiser la fonction présentée dans la section 1.1. Ces cinq paramètres sont regroupés dans le vecteur paramètre .