Les projections

Pour chaque SBIM, on associe à sa maille support une projection vers le modèle pré-calculé du même matériau. Chaque projection est représentée par un tenseur d’ordre 2, une fois variant et une fois contravariant (il se représente comme une matrice 2D). Ce tenseur agit donc sur un tenseur d’ordre 1

(un vecteur) représentant les coordonnées d’un point du fantôme patient pour donner un autre tenseur d’ordre 1 représentant les coordonnées de la projection de ce point dans le fantôme homogène. Nous

allons maintenant présenter les repères de coordonnées mis en correspondance par les tenseurs de projection. Nous regarderons ensuite la forme que prennent ces tenseurs de projection, puis leur calcul sur la maille support du SBIM.

1.1. Les repères de coordonnées

Afin de mettre en place les tenseurs de projection, il est nécessaire d’associer un repère de

coordonnées à chacune des trois parties mises en correspondance par ces tenseurs, à savoir le fantôme hétérogène, le faisceau et les fantômes homogènes utilisés dans les modèles pré-calculés.

Dans notre étude, le fantôme hétérogène utilisé est composé de parallélépipède rectangle. Nous définissons donc le repère comme le repère orthonormé direct dont l’origine est le centre du fantôme et les axes correspondent aux directions des plans supports des parallélépipèdes rectangles. Cette définition va nous permettre de simplifier un certain nombre d’écritures et de calculs

(constantes nulles, valeurs d’intérêts correspondant aux projections sur ces axes) sans pour autant

réduire la capacité de généraliser ces calculs sur des modèles plus complexe. Le repère cartésien est considéré comme le repère de référence. C’est-à-dire que dans la suite de ce mémoire, s’il n’y a pas de précision spéciale, les vecteurs sont exprimés dans ce repère.

Le repère orthonormé direct _{, que l’on appelle} , est associé à un faisceau

élémentaire. L’origine est le centre (au moins symbolique) de l’origine du faisceau, c’est-à-dire est le centre de la section de sortie de l’accélérateur. L’axe correspond à l’axe principal du

déplacement des photons primaires, c’est-à-dire l’axe de propagation du faisceau. Les faisceaux utilisés ayant une section carrée, les axes et sont orientés parallèlement aux bords de la section de ces faisceaux. Le repère est considéré comme un repère relatif. Dans le processus de projection

que nous souhaitons modéliser, il permet de passer d’un point absolu du fantôme patient à un point

positionné géométriquement par rapport au faisceau, mais sans avoir pris en compte à ce stade la nature des matériaux et les hétérogénéités.

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Le repère orthonormé direct _{, que l’on appelle} associé au modèle homogène est quasiment le même du repère en considérant qu’il n’y a pas de vide entre la sortie (symbolique) de

l’accélérateur et le milieu homogène. L’origine de ce repère est donc à la fois le centre-origine du

faisceau et le centre de la section d’entrée du faisceau dans le matériau homogène. Le milieu étant

anisotrope puisque homogène, le choix de définir le repère en utilisant les axes liés au faisceau (selon la définition de ) a pour seul objectif et conséquence de simplifier les écritures sans perte de la capacité de généralisation. Dans le processus de projection que nous souhaitons modéliser, le

« passage » de à permet de se contenter de prendre en compte les hétérogénéités sans avoir à

gérer la géométrie du fantôme patient (qui a déjà été fait dans le passage de à ).

1.2. Le point origine du faisceau RCMI exprimé en coordonnée

sphérique

Le faisceau RCMI est représenté par des faisceaux élémentaires mis côte à côte selon deux directions, illustré par la Figure 42. Le centre origine du faisceau RCMI est et les faisceaux élémentaires sont indexés par . Les indices de (resp. ) sont compris entre 1 et (resp. ). Classiquement en

clinique, = =10.

Figure 42 Faisceau RCMI Le centre-origine du faisceau élémentaire est alors défini par :

,

où est la longueur de côté du faisceau élémentaire (par défaut, la valeur classique dans la littérature est 1cm).

Figure 43 Coordonnée sphérique

Dans le cadre de notre étude, nous considérons que est placé sur une sphère de rayon fixe, centrée sur le point centre du fantôme patient et enveloppant ce fantôme hétérogène, illustré sur la Figure 43. peut alors être caractérisé par ses coordonnées sphériques : les angles (longitude) et (colatitude). Soit le rayon de la sphère (choisi donc de sorte que le fantôme patient soit totalement à

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« n’apparaisse » spontanément à l’intérieur du patient), les coordonnées de

exprimées dans le repère sont alors :

Donc le centre du faisceau élémentaire indicé par est défini :

1.3. Formulation d’une projection

Figure 44 Schéma de projection

La Figure 44 présente un cas simple de faisceau et les deux repères d’intérêt pour nous : le repère

fantôme et le repère faisceau . Tout point dans le repère fantôme peut avoir ses coordonnées

exprimées dans le repère faisceau grâce à une fonction de changement de repère sous forme d’un tenseur d’ordre 2 (matrice) de dimension 4×4:

=

Soit un point ayant les coordonnées dans le repère fantôme , ses coordonnées dans le repère faisceau peuvent être déduites par la relation tensorielle : . Cet opérateur

s’appelle un produit tensoriel contracté 1 fois, qui est équivalent à un produit matriciel dans ce cas

présent.

L’orientation du faisceau est caractérisée par le triplet orthonormé de vecteurs . Les trois

premières colonnes du tenseur peuvent être déduites des coordonnées de ces vecteurs exprimés dans selon :

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Mais le repère étant orthonormé, les neuf valeurs ne sont pas indépendantes. En fait trois paramètres

suffisent à caractériser l’ensemble des triplets possibles. Il suffit de décrire une succession de rotations

appliquées à un triplet initial (celui de ). Il existe plusieurs façons de décrire ces rotations en 3D. Les angles d'Euler sont les plus souvent utilisés et nous en avons pris une variante (nommée Tait- Bryan z-y-x). Ce choix facilite davantage l’optimisation de l’orientation du faisceau que nous allons expliquer dans la troisième partie de ce mémoire.

Dans la variante choisie, la succession de rotations en défini par : - une rotation par autour de l'axe ,

- une rotation par autour du nouvel axe (parfois aussi noté ) - une rotation par autour du nouvel axe (parfois aussi noté ).

Les coordonnées du triplet sont alors directement dépendantes de ces trois angles, et pour la partie du tenseur qui nous intéresse nous obtenons :

Les angles sont bornés :

Pour finir le changement de repère, il reste à prendre en compte le point d’origine du nouveau repère, ce qui représente une simple translation à partir du repère de référence. Cette translation intervient dans la définition de la dernière colonne du tenseur et dans l’écriture RCMI directe on obtient :

Grâce à trois angles d’Euler et le centre-origine du faisceau, nous savons passer du repère au repère grâce à ce tenseur de projection .

Si, de la même façon, on considère un tenseur d’ordre 2 pour passer du repère au repère , en

considérant la particularité de ce dernier par rapport à et le parcours du faisceau, il suffit d’ajuster par un offset la composante en ce qui correspond à un tenseur de la forme :

Le coefficient traduit les hétérogénéités du milieu, y compris la zone de « vide » entre l’origine de faisceau et le corps du patient. On peut donc également considérer directement le tenseur de passage

de à , noté . Alors :

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On note . Nous allons voir plus en détail comment calculer cette composante par les règles de propagation axiale.