Propagation acoustique non lin´ eaire et cou- cou-rant acoustiquecou-rant acoustique

2.5.1 Coefficient de non lin´earit´e

L’´etude de la propagation non lin´eaire a ´et´e formul´ee analytique-ment ( [152] - [160]). De nombreux travaux ont ensuite ´et´e r´ealis´es [112], [111], [156]. Un champ de recherche est particuli`erement actif de nos jours, c’est l’imagerie m´edicale ( [161]- [167]). Une synth`ese des diff´erents travaux est r´ealis´ee par Saint Ellier [168]. Les effets non lin´eaires de la propagation acoustique sont pr´esents dans la premi`ere partie de ce manuscrit, portant sur l’´etude de l’´ecoulement isotherme ´

etudi´e par Moudjed [96]. Moudjed a trouv´e un tr`es bon accord entre ses simulations num´eriques et ses r´esultats sans prise en compte des effets non-lin´eaires. Les non-linearit´es seront prise en compte dans ce manuscrit dans le cas isotherme avec une forte puissance acoustique (P=5.6W) en champ proche. Une modalisation 2D permettra alors de visualiser l’´ecoulement induit en tenant compte des non-lin´earit´es.

Dans la seconde partie de cette ´etude, o`u l’on consid`ere un fluide bi-naire, les effets non lin´eaires seront n´eglig´es. Le formalisme suivant est mis en place, afin d’ˆetre en mesure de quantifier l’importance de la non lin´earit´e par le nombre de Goldberg. L’´equation de continuit´e (´eq. 2.1) et l’´equation de la quantit´e de mouvement (´eq. 2.2) ne peuvent plus ˆ

etre simplifi´ees comme pr´ec´edemment (´eq. 2.17) pour les perturbations de la pression acoustique. L’´equation de continuit´e (´eq. 2.1), ne s’´ecrit plus comme pr´ec´edemment (´eq. 2.11). L’´equation d’Euler (´eq.2.12) ne peut plus ˆetre simplifi´ee sous la forme (´eq. 2.17) pour les perturba-tions de la pression acoustique consid´er´ee ici. Les relations suivantes sont alors utilis´ees :

∂ρ ∂t ^{= −} ∂ ∂x_i^{(ρvi) (2.34)} ∂vi ∂t ^{+ vi} ∂vi ∂x_i ^{= −} 1 ρ ∂pac ∂x_i ^(2.35)

L’expression 2.13 o`u sont d´efinis les coefficients A_(s0,ρ0) et B_(s0,ρ0) est utilis´ee. La non-lin´earit´e est caract´eris´ee par le rapport ^B(s0,ρ0)

A_(s0,ρ0) [113]. Dans le cas d’un liquide o`u le milieu est consid´er´e lin´eaire, on peut exprimer la c´el´erit´e du son selon :

c₀² = ¹

χρ₀

Le coefficient β est le param`etre de non-lin´earit´e, il s’´ecrit :

β = 1 + ^B(s0,ρ0)

2A_(s0,ρ0) ^(2.36)

Pour l’eau, on obtient β = 3.5 (le rapport ^B(s0,ρ0)

A_(s0,ρ0) = 5 pour l’eau). Une ´etude des lois de comportement est d´etaill´ee par Jacob [112].

2.5.2 Distance de discontinuit´e et nombre de Goldberg La vitesse de propagation des ondes d´epend de la densit´e, chaque zone de compression se propage avec une vitesse (c+v) diff´erente de celle des autres zones. Cela provoque une d´eformation de l’onde de plus en plus importante lors de son avanc´ee, il se forme une discon-tinuit´e. On appelle cette distance (source acoustique-discontinuit´e) la distance de discontinuit´e not´ee L_D. C’est la distance de formation de l’onde de choc. A cette distance, le processus n’est plus isentropique. La dissipation visqueuse ainsi que la conduction thermique deviennent plus importants que les effets non-lin´eaires. On exprime la distance de discontinuit´e de la fa¸con suivante :

L_D = ¹

k₀βM_ac ^(2.37)

Elle est invers´ement proportionnelle au nombre de Mach acoustique, `

a la fr´equence et au param`etre de non-lin´earit´e. Le mod`ele de propaga-tion non-lin´eaire poss`ede un domaine de validit´e restreint `a la distance de discontinuit´e (0 ≤ z ≤ L_D). On rappelle le nombre de Mach acous-tique :

M_ac = ^vac

c0

(2.38) On note v_ac la vitesse de l’onde acoustique et c₀ la c´el´erit´e du son dans le fluide. Le nombre de Goldberg d´efinit l’´evaluation de l’importance relative des effets non lin´eaires sur les effets visqueux. Ainsi, en partant des ´equations de continuit´e 2.1, de Navier-Stockes 2.2 et de l’´equation de l’´energie, on peut formuler une expression du nombre de Goldberg [114], [115], [116] :

G = ¹

Les deux coefficients qui apparaissent sont le coefficient d’att´enuation acoustique a_ac dont l’expression (ainsi que l’ordre de grandeur dans le probl`eme) est d´etaill´ee en annexe (annexe C.1). Le coefficient L<sub>D</sub> cor-respond `a la distance de discontinuit´e. Le nombre de Goldberg est le rapport des termes non lin´eaires aux termes dissipatifs. La valeur critique du nombre de Goldberg est donn´ee par Fenlon [194] :

G = 4.5 (2.40) Au-del`a de cette valeur, les effets non lin´eaires pr´edominent. Le calcul d´etaill´e du nombre de Goldberg avec les param`etres de notre ´

etude est effectu´e en annexe (annexe C.3). Le calcul montre que les effets non lin´eaires ne sont pas n´egligeables (tout au long de cette ´

etude) avec G=45 en isotherme (partie II) et G=20 pour les m´elanges binaires (partie III). Dans cette ´etude, malgr´e un nombre de Goldberg G plus ´elev´e que le crit`ere de Fenlon, de tr`es bons accords sont trouv´es [96] en utilisant l’hypoth`ese de la propagation acoustique lin´eaire (cas G=45 partie II), on ne prend pas en compte l’acoustique non-lin´eaire (g´en´erations d’harmoniques). De plus, le nombre de Goldberg (1D) ne prend pas en compte la g´eom´etrie spatiale de la source. En champ proche 2D, on consid´erera l’influence de la non-lin´earit´e dans le cas de forte puissance acoustique (P=5.6W).

2.5.3 Equation de KZK

On consid`ere l’´equation de continuit´e 2.1, l’´equation de la quantit´e de mouvement 2.2 ainsi que l’´equation d’´evolution de l’´energie. A partir de ce syst`eme d’´equations, on obtient l’´equation de KZK (Khokhlov -Zabolotskaya - Kuznetsov) :

La d´emonstration est faite par Kuznetsov [154] et Aanonsen [157]. Ce mod`ele de propagation acoustique est bas´e sur l’approximation pa-rabolique. Il prend en compte, en plus, les effets non-lin´eaires. On note

p_ac, la pression acoustique (en Pa), τ = t − ^z_c un temps retard´e en seconde, c₀, la c´el´erit´e du son (en m.s⁻¹), ρ, la masse volumique du fluide ( en kg.m⁻³), α_ac, le coefficient d’att´enuation en amplitude en

m⁻¹ et β le coefficient de non-lin´earit´e 2.36. Une r´esolution num´erique de l’´equation 2.41 est r´ealis´ee avec la m´ethode des diff´erences finies im-plicit amont et de Crank-Nicolson en Fortran [174] et en Matlab [175]. L’´equation KZK est obtenue en consid´erant une source tr`es directive, le champ acoustique ultrasonore peut ˆetre assimil´e `a un faisceau parall`ele confin´e et quasi plan sur une distance suffisamment longue depuis la source (faisceau d’ondes planes collimat´ees).