Champ de vitesses

On s’int´eresse uniquement `a des configurations chauff´ees par le haut dans toute la suite du manuscrit. On choisit le m´elange eau-´ethanol (Moses 70/30) qui permet d’obtenir des nombres de Rayleigh ´elev´es pour l’optimum de s´eparation. On fait alors varier Ra de 4000 `a 10⁵. On repr´esente le champ de vitesses (fig. 7.11) correspondant au cas (A=175,Ra=4000) ´etudi´e (fig. 7.6). On trouve alors un ´ecoulement monocellulaire. Les valeurs des champs de vitesses sont report´ees dans le tableau 7.5. On rappelle que les vitesses obtenues ici sont

adimen-2. La cavit´e de taille adimensionelle 1*10 est compos´ee de 20 millions d’´el´ements.

Le maillage est de l’ordre du milli`eme de millim`etre. On a donc un maillage beaucoup plus discr´etis´e que dans la seconde partie (en isotherme) ou le maillage ´etait de l’ordre du millim`etre. Les longueurs de cavit´e sont du mˆeme ordre, n´eanmoins les hauteurs et profondeurs de cavit´es diff`erent d’un facteur 10 (Lx=Ly=10h).

Ceci permet de g´en´erer un maillage adimensionnel de l’ordre de 5.10⁻⁷. Une fois ramen´e `a la taille dimensionelle de la cavit´e, on multiplie par la hauteur H=17mm, ce qui correspond `a un maillage dimensionn´e de 8, 5.10⁻⁶m

Figure 7.11 – u(A=175,Le=55.5,Pr = 15, R_a= 4000,ψ = 0.007)

sionn´ees (tableau 6.1). On observe un ´ecart de 1% sur les champs de vitesses. Pour un nombre de Rayleigh Ra = 1 ∗ 10⁵ (annexe E.5), on trouve un profil avec des petites recirculations du champ de vitesses trouv´ees aussi analytiquement. On pr´esente ci-dessous le champ de vitesses et les coupes de u(y) (fig. 7.12) ainsi que la fonction de cou-rant (fig. 7.13) correspondant au cas 7.9. On retrouve, tout comme

Figure 7.12 – Vitesse longitudinale V_z (A=1070,Le=55.5,P_r = 15, ψ = 0.007,R_a = 10⁵)

Figure 7.13 – Champ de vitesse et fonction de courant φ(y, z) (A=1070,Le=55.5,P_r = 15, ψ = 0.007,R_a = 105)

le champ de vitesses d´etermin´e analytiquement (E.5.3), des recircu-lations qui occupent 16% des parties sup´erieures et inf´erieures de la

Figure 7.14 – Coupe transversale de la vitesse adimensionnelle u(A=1070,Le=55.5,P_r= 15,ψ = 0.007, R_a = 105)

cavit´e. On rel`eve dans un tableau la vitesse d’´ecoulement maximale de l’´ecoulement principal u_max et la vitesse de l’´ecoulement retour maxi-male u_retour,max qui caract´erise les recirculations. On compare alors les vitesses pr´edites sous Maple et celles retrouv´ees sous Comsol (pour l’´ecoulement principal tableau 7.5 et l’´ecoulement retour tableau 7.6).

configuration Ra A COMSOL |u| num. Maple |u| analy. ´ecart chauff´e en haut 4000 175 fig 7.11 0.0958 E.5.3 0.0950 1% chauff´e en haut 100 000 1070 fig 7.12 0.203 E.5.3 0.228 11% Table 7.5 – Comparaison entre la pr´ediction analytique et le r´esultat num´erique : vitesse maximale de l’´ecoulement principal, |u| = f (Le = 55.5, P_r = 15, ψ = 0.007,  = 0.5, A = 1070, Ra = 105)

configuration Ra A COMSOL u COMSOL Maple u Maple ´ecart chauff´e par le haut 105 1070 fig 7.12 0.0650 6.3.2 0.0500 25% Table 7.6 – Repr´esentation de l’´ecoulement retour |u_retour|=f(Le = 55.5,P_r = 15,ψ = 0.007, = 0.5,A = 1070, Ra = 105)

Dans la mod´elisation num´erique, on consid`ere une cavit´e ferm´ee, ce qui modifie le champ de vitesse au niveau des parois verticales de la cavit´e. Cela explique les diff´erences importantes sur les valeurs de

u_retour. Par contre, pour le calcul de m, sous COMSOL on s’affranchit des parois verticales de la cavit´e en prenant la pente de la courbe C(y) `

a z fix´e qui est une droite dans la partie centrale de la cavit´e.

On a vu en 2D diff´erents mod`eles de dimension (1*10) en adimen-sionnel qui correspondent `a (h*10h) en dimensionnel. Si l’on revient en dimensionnel, on peut ´etablir pour chaque cas consid´er´e, la taille r´eelle de la cavit´e compte tenu de la valeur du nombre de Rayleigh. On peut ´egalement d´eterminer la vitesse d’´ecoulement en (m/s) ainsi que la force acoustique et la puissance correspondante en utilisant le tableau 6.1 .

La valeur de A utilis´ee sous Maple est constante et correspond `a une moyenne de A sur la surface o`u on injecte le faisceau. On a calcul´e la va-leur moyenne de A qui maximise la s´eparation dans des configurations sp´ecifiques (Le,Pr,ψ,Ra,) dans le chapitre pr´ec´edent, sous Maple. Ces pr´edictions (champ de fraction massique et champ de vitesses) ont ´et´e retrouv´ees par voie num´erique. Une ´etude d´etaill´ee des autres m´elanges ´

etudi´es est r´ealis´ee en annexe E.3. On trouve un tr`es bon accord sur le gradient de fraction massique m (2%) et sur la vitesse principale de l’´ecoulement (11%). Les recirculations sont ´egalement retrouv´ees sous Comsol avec un ´ecart maximal dans le cas explicit´e ici (25%). Les autres configurations, qui mettent en jeu des couples (A,Ra) plus faibles, permettent de trouver un tr`es bon accord sur la s´eparation et

´

egalement sur le champ de vitesses. Elles sont ´etudi´ees en annexe E.3. On va retenir une configuration chauff´ee par le haut dans la suite. En effet, il existe une d´ependance cubique du nombre de Rayleigh en fonction de la hauteur de la cavit´e. Pour augmenter la hauteur de la cavit´e, on doit donc travailler avec des nombres de Rayleigh ´

elev´es (fig. 7.12). Au dessus d’un certain nombre de Rayleigh (ici

Ra > 7000 pour le m´elange 70/30 ( Moses fig. 6.2) la s´eparation di-minue . On doit donc r´ealiser un compromis entre hauteur de cavit´e et la s´eparation maximale obtenue. Les configurations chauff´ees par le haut permettent de prendre des nombres de Rayleigh beaucoup plus ´

elev´es que celles chauff´ees par le bas. Dans cette situation, le strea-ming est indispensable pour r´ealiser la s´eparation des esp`eces. Quand la cellule est chauff´ee par le haut et ψ > 0, le constituant le plus lourd migre vers la paroi froide soit la paroi du bas. On a donc une confi-guration stable avec des iso-C parall`eles aux parois horizontales. Pour obtenir une s´eparation des constituants, il faut donc soumettre le fluide `

a une source acoustique convenablement plac´ee sur une des parois ver-ticales de la cavit´e afin d’induire un ´ecoulement monocellulaire au sein de celle-ci. Dans la suite , un mod`ele 3D est r´ealis´e afin de faire une comparaison entre les mod`eles 2D/3D. On retrouve bien les couples (A,Ra) obtenus analytiquement qui maximisent m. Les isoconcentra-tions tendent `a devenir horizontales quand on augmente les couples (A,Ra) (fig. 7.9). Cela est dˆu `a l’augmentation du param`etre A pour optimiser la s´eparation lorsque le Rayleigh augmente.

7.2 Mod`ele A constant en 3D : iso-C et champ de