Produit scalaire

1.4.1 Exemple de produits scalaires

1 : Triplets de nombres - Considérons l’exemple des vecteurs constitués par ds triplets de nombres. Soit la base de E3 formée des vecteurs e₁ = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1)et deux vecteurs quelconques de cet espace vectoriel décompo-sés sur cette base :x=xⁱei ety=yⁱei.

Par définition, le produit scalaire des vecteursxetyest le nombre, notéx·y, donné par :

x·y=x¹y¹+x²y²+x³y³=xⁱyⁱ (1.42)

On vérifie aisément que le produit scalaire ainsi défini possède les propriétés sui-vantes :

1) x · y = y · x; 2) (x+y) · z = x · z+y · z; 3) (λx) · y = λ(x · y); 4) Pour tout vecteur donnéx, si l’on ax·y= 0pour tout vecteurydeE3, alorsx=0.

2 : Polynômes - Considérons l’espace vectoriel des polynômes Pa(x) de degré deux. On peut définir, par exemple, un produit scalaire des polynômes entre eux par l’intégrale suivante :

Pa(x)·Pb(x) =

Z

−1

Pa(x)Pb(x)dx (1.43) On vérifie aisément qu’un tel produit scalaire possède également les propriétés préc´dentes.

1.4.2 Définition du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques est défini de manière générale à partir de ses propriétés.

On appelle produit scalaire une loi de composition qui, à tout couple, de vecteurs x,y d’un espace vectoriel En, associe un nombre réel, souvent noté x·y, et vérifie les axiomes suivants :

PS1 - Commutativité : x·y=y·x

PS2 - Distributivité par rapport à l’addition vectorielle : (x+y)·z=x·z+y·z PS3 - Associativité avec la multiplication par un scalaire : (λx)·y=λ(x·y) PS4 - Si x·y= 0, quelque soit y, alors x=0

Un espace vectoriel sur lequel on a défini un produit scalaire est appelé un espace vectoriel pré-euclidien.

1.4.3 Expression générale du produit scalaire

Considérons un espace vectoriel pré-euclidienEnrapporté à une base quelconque (ei). Les vecteurs de E_n s’écrivent sur cette base : x =xⁱe_i, y = y^je_j. Le produit scalaire, compte tenu des propriétés PS2 et PS3, s’écrit :

x·y= (xⁱe_i)·(y^je_j) =xⁱy^j(ei·e_j) =g_ijxⁱy^j (1.44) avec gij = e_i · e_j. On obtient donc l’expression générale du produit scalaire sous la forme :

x·y=gijxⁱy^j (1.45)

La donnée des g_ij correspond à la définition même du produit sca-laire particulier que l’on se donne sur un espace vectoriel. Ces quantités ne

peuvent cependant pas être entièrement arbitraires car, réciproquement, l’expression (1.45) du produit scalaire de deux vecteurs doit vérifier les propriétés PS1 à PS4.

Pour satisfaire la propriété de commutativité (PS1), on doit avoir :

x·y=g_ijxⁱy^j =y·x=g_jiy^jxⁱ (1.46) d’òu : gij =gji.

D’autre part, la propriété PS4 nécessite que sig_ijxⁱy^j = 0 pour tousy^j, alors on doit avoir : xⁱ = 0. Or, l’égalité gijxⁱy^j = 0 est vérifiée, pour des valeurs arbitraires de y^j, seulement si l’on a : gijxⁱ = 0. Ce système de n équations à n inconnues ne devant admettre par hypothèse que la solution xⁱ = 0, il faut et il suffit pour cela que le déterminant, noté g, du système soit différent de zéro ; on doit donc avoir :

g =d´et[gij]6= 0 (1.47)

1.4.4 Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs xet y, non nuls, d’un espace pré-euclidien sont dits orthogonaux entre eux lorsque leur produit scalaire est nul, soit :

x·y= 0 (1.48)

Un système de n vecteurs x_i, tous orthogonaux entre eux, constitue un système orthogonal.

Si l’on choisit des vecteurs orthogonaux linéairement indépendants en nombre égal à la dimension de l’espace vectoriel, ce système de vecteurs constitue une base de cet espace. Cette base est appelée une base orthogonale. Nous allons montrer qu’il est toujours possible de déterminer une base orthogonale d’un espace vectoriel pré-euclidien.

Remarque -Dans un espace pré-euclidien, des vecteurs orthogonaux peuvent être linéairement dépendants. Considérons par exemple des vecteursx=xⁱeiety=y^jej

d’un espace vectoriel à deux dimensions et définissons leur produit scalaire par :

x·y=x¹y¹−x²y² (1.49)

Si l’on considère, par exemple, les deux vecteurs x=e₁+e₂ ety=α(e1+e₂), qui sont linéairement dépendants, on obtient x·y= 0. Pour un tel produit scalaire, les vecteurs y=α(e1+e₂)sont tels que y·y= 0.

1.4.5 Bases orthogonales d’un espace vectoriel pré-euclidien

La méthode dite d’orthogonalisation de Schmidt permet le calcul effectif d’une base orthogonale pour tout espace vectoriel pré-euclidien En.

Pour cela, considérons un ensemble denvecteurs linéairement indépendants(x1,x₂, ...,x_n)

deEn et supposons que l’on ait, pour chaque vecteur : x_i·x_i 6= 0. Cherchonsn vec-teurs e_i orthogonaux entre eux.

Partons dee₁ =x₁ et cherchons e₂ orthogonal à e₁, sous la forme :

e₂ =λ1e₁+x₂ (1.50)

Le coefficient λ1 se calcule en écrivant la relation d’orthogonalité :

e₁ · e₂ =x₁ · (λ1x₁+x₂) = 0 (1.51) On en déduit : λ₁ =−(x1 · x₂)/(x1)². Le paramètre λ₁ étant déterminé, on ob-tient le vecteure₂qui est orthogonal àe₁et non nul puisque le système(e1,x₂, ...,x_n) est linéairement indépendant.

Le vecteur suivante₃ est cherché sous la forme :

e₃ =µ1e₁+µ2e₂+x₃ (1.52) Les deux relations d’orthogonalité :e₁·e₂ = 0ete₂·e₃ = 0, permettent le calcul des coefficients µ1 etµ2. On obtient :

µ1 =−(e1·x₃)/(e1)²;µ2 =−(e2·x₃)/(e2)² (1.53) ce qui détermine le vecteure₂orthogonal àe₁ ete₂, et non nul puisque le système (e1,e₂,x₃, ...,x_n)est indépendant. En continuant le même type de calcul, on obtient de proche en proche un système de vecteurs(e1,e₂, ...,e_n)orthogonaux entre eux et dont aucun n’est nul.

Dans le cas où certains vecteurs seraient tels quex_i · x_i = 0, on remplace x_i par x^′_i =x_i+λx_j en choisissant un vecteurx_j de telle sorte que l’on obtiennex^′_i ·x^′_i 6= 0.

On en déduit donc que tout espace vectoriel pré-euclidien admet des bases or-thogonales.

Produit scalaire sur une base orthogonale - Lorsque les vecteurs de base (e1,e2, ...,en)d’un espace vectoriel sont orthogonaux, les quantités :

gij =e_i · e_j (1.54)

sont nulles si i6=j. Le produit scalaire de deux vecteurs xety, décomposés sur cette base, se réduit alors à :

x · y=g11x¹y¹+g22x²y²+...+gnnxⁿyⁿ (1.55) De manière générale, les quantités gij peuvent être positives ou négatives.

1.4.6 Norme d’un vecteur

Le produit scalaire d’un vecteur x peut permettre de définir la notion de norme d’un vecteur. On a pour le carré de la norme :

x · x=gijxⁱx^j = (norme x)² =kxk² (1.56) Les nombres gij définissent en quelque sorte une "mesure" des vecteurs ; on dit qu’ils constituent la métrique de l’espace vectoriel.

Exemple - En géométrie classique, la norme représente la longueur d’un vecteur (Fig. 1.1). Considérons un plan et des vecteurs de base e₁ = (1,0) et e₂ = (0,1), avec gij =δij. Soit un vecteur A =x¹e₁+x²e₂; on a :

kAk= (A · A)^1/2 = [(x¹)²+ (x²)²]^1/2 (1.57)

Figure1.1 – Norme d’un vecteur

Signature d’un espace vectoriel - Dans l’espace de la géométrie classique, la norme est un nombre qui est toujours strictement positif et qui ne devient nul que si le vecteur est égal à zéro. Par contre l’expression (1.56) de la norme d’un vecteur, peut être éventuellement négative pour des nombres g11, g12, ..., gnn quelconques. On peut donc distinguer deux genres d’espaces vectoriels pré-euclidiens selon que la norme est positive ou non.

Considérons une base orthogonale (e_i) d’un espace pré-euclidien En, ce qui est tou-jours possible. Le carré de la norme d’un vecteur s’écrit alors, en faisanty=xdans l’expression (1.55) :

(norme x)² =x · x=g11(x¹)² +g22(x²)²+, ...,+gnn(xⁿ)² (1.58) Les nombresgij pouvant être négatifs ou positifs, la norme d’un vecteur comporte une série de signe + et -, la valeur zéro étant interdite par suite de la relation (1.47) : g =d´et[gij]6= 0.

Le nombre de signes + et de signes - constitue une caractéristique d’un espace vectoriel donné E_n; elle est appeléela signature de l’espace vectoriel E_n. Cette signature est une propriété intrinsèque de l’espace En; elle ne dépend donc pas de la base considérée.