Dérivée covariante seconde d’un vecteur

Considérons un vecteurV de composantes covariantesv_i. Les quantités données par (5.71), à savoir :

∇jv_i =∂_jv_i−v_lΓ_j^l_i (5.98) sont les composantes covariantes de la dérivée covariante du vecteurV. Calculons la dérivée covariante seconde de ce vecteur, par rapport à une coordonnée curviligne y^k.

Appliquons la règle de formation de la dérivée covariante d’un tenseur aux com-posantes covariantes∇^jvi, il vient :

∇k(∇jv_i) = ∂_k(∇jv_i)−Γ_i^r_k(∇jv_r)−Γ_j^r_k(∇rv_i) (5.99) Substituant l’expression (5.98) dans la relation précédente, on obtient :

∇^k(∇^jvi) = ∂kjvi−(∂kΓ_j^l_i)vl−Γ_j^l_i∂kvl

−Γ_i^r_k∂jvr+ Γ_i^r_kΓ_j^l_rvl−Γ_j^r_k∂rvi+ Γ_j^r_kΓ_r^l_ivl (5.100)

5.3 Différentielle absolue

5.3.1 Différentielle absolue d’un vecteur

Composantes contravariantes - La formule (5.68) donne l’expression des com-posantes covariantes de la différentielle absolue d’un vecteur. Si dul sont les compo-santes covariantes d’un vecteur dU, ses compocompo-santes contravariantes sont données par : du^k =g^kldu_l. Effectuons ce calcul dans l’autre sens ; partons de l’expression à priori de du^k et montrons que l’on retrouve l’expression (5.68) des composantes co-variantes. Pour cela, effectuons la multiplication contractée de la dérivée covariante d’un vecteur ∇ju^k par la différentielle dy^k; on obtient la somme suivante :

du^k=∇^ju^kdy^j = (∂ju^k+uⁱΓ_i^k_j)dy^j (5.101) qui est appelée la différentielle absolue de la composante contravariante u^k du vecteur U.

Les différentielles dy^j étant les composantes contravariantes d’un vecteur quel-conque dMet les quantités∇^ju^k, les composantes d’un tenseur d’ordre deux, les pro-duits contractés du^k sont donc les composantes contravariantes d’un tenseur d’ordre un. Ce dernier est la différentielle absolue du vecteur U et son expression sur un repère naturel(M,e_i) est :

dU=du^ke_k = (∂ju^k+uⁱΓ_i^k_j)dy^je_k (5.102)

Propriétés de la différentielle absolue - L’expression (5.102) fait apparaître la différentielle ordinaire de la composante u^k, soit :

∂ju^kdy^j =du^k (5.103)

ainsi que la différentielle de_i; on a en effet selon la relation (5.14) :

Γ_i^k_jdy^je_k =dei (5.104)

La différentielle absolue peut donc s’écrire :

dU=du^kek+u^kdek (5.105)

Le premier terme du^ke_k représente la différentielle classique d’un vecteur dans un repère fixe. Le second termeu^kdekrésulte de la variation des repères lorsqu’on passe d’un point à un autre et du mode de comparaison, par translation, entre vecteurs.

Contraction - La différentiation absolue est permutable avec la contraction des indices. Pour le montrer, considérons l’exemple du tenseur u^r_st pour lequel on a la propriété (5.96) de permutation de la dérivation covariante et de la contraction, à savoir :

δ^t_r(∇^ku^r_st) =∇^k(δ^t_ru^r_st) (5.106) Ces quantités sont les dérivées covariantes des composantes u^r_st=δ_r^tu^r_st; la mul-tiplication contractée de ces quantités par dy^k donne les différentielles absolues des composantesu^r_sr, soit :

δ_r^t(du^r_st) =d(δ_r^tu^r_st) (5.107) ce qui montre quela différentiation absolue est permutable avec la contrac-tion des indices.

La dérivée covariante d’un produit contracté nous a donné la relation (5.97), à savoir :

∇r(u^ij_k v_mi) = (∇ru^ij_k)v_mi +u^ij_k (∇rv_mi) (5.108) La multiplication contractée de ces quantités par dy^r donne les différentielles absolues des composantes u^ij_k vmi, soit :

d(u^ij_k vmi) = (du^ij_k)vmi+u^ij_k (dvmi) (5.109) ce qui montre que la formule de différentiation absolue du produit tensoriel s’étend à un produit contracté.

Composantes covariantes -La règle de différentiation absolue (5.105) est valable quelque soit le système donné de coordonnées curvilignes. En particulier, l’expression du vecteur U sur la base réciproque eⁱ s’écrit :

U =uke^k (5.110) où les quantités uk sont les composantes contravariantes de U dans cette base.

Par suite, la relation (5.105) donne pour expression de la différentielle absolue :

dU=duke^k+ujde^j (5.111)

Compte tenu de l’expression de la différentielle de^kdonnée par (5.51), à savoir :

de^j =−w_k^je^k (5.112)

On obtient pour la différentielle absolue du vecteur U :

dU= (duk−ujw_k^j)e^k (5.113) Les quantités duk = (duk−ujw_k^j) constituent les composantes covariantes, par rapport à la base e_i, de la différentielle absolue du vecteur U. On retrouve la for-mule (5.68) en développant la différentielle du^k et en introduisant les symboles de Christoffel à la place des w_k^j.

5.3.2 Dérivée absolue le long d’une courbe

La notion de différentielle absolue du^k de la composante d’un vecteur conduit à dé-finir la dérivée absolue d’un vecteur le long d’une courbe. Considérons pour cela une courbe Γ(t), de paramètre t, de l’espace

ε

n et un champ de vecteurs quelconque U défini en chaque point de

ε

n. Pour une variation élémentaire dt du paramètre t, on passe, le long de la courbe Γ(t), d’un point M à un point M^′ infiniment voisin.

La notion de dérivée d’un vecteur le long d’une courbe se généralise en introdui-sant le tenseur suivant :

Du^k

dt = du^k

dt + Γ_r^k_su^rdy^s

dt (5.114)

Cette dérivée est appelée la dérivée absolue de la composante u^k le long de la courbe Γ(t).

Pour un système de coordonnées cartésiennes, tous les symboles de Christoffel sont nuls et la dérivée absolue coïncide avec la dérivée ordinaire. On a les mêmes propriétés pour les dérivées absolues que pour les différentielles absolues.

Exemple : Vecteur accélération - Considérons le cas d’un point mobile M, fonction du temps t dans l’espace ponctuel

ε

n. Les coordonnées curvilignes de ce point sont des fonctions du temps yⁱ(t). Par rapport à un repère fixe auquel on rapporte

ε

n, le vecteur dM/dt peut être considéré comme vecteur vitesse de M, soit : v = dM/dt dont les composantes contravariantes, par rapport au repère naturel(M,e_i), sont :

vⁱ = dyⁱ

dt (5.115)

L’accélération est, pour un système de coordonnées cartésiennes, égale à la déri-vée du vecteur prise le long de la courbe suivie par le point mobile. On prendra alors, pour un système de coordonnées curvilignes, l’accélération égale, par définition, à la dérivée absolue du vecteur vprise le long de la trajectoire.

Par suite, les composantes contravariantes a^k de l’accélération asont : a^k = Dv^k

dt = dv^k

dt + Γ_r^k_sv^rdy^s

dt (5.116)

Remplaçons v^k par dy^k/dt, on obtient l’expression des composantes contrava-riantes dea sous la forme :

a^k= d²y^k

dt² + Γ_r^k_sdy^r dt

dy^s

dt (5.117)

Sia^k = 0, la courbe parcourue par un mobile est une droite et l’on retrouve alors l’équation des géodésiques.

5.3.3 Différentielle absolue d’un tenseur

Différentielle absolue des composantes d’un tenseur - Effectuons le produit contracté de la dérivée covariante ∇^ku^r_st par la différentielle dy^k; on obtient les composantes mixtes, notées du^r_st, d’un tenseur d’ordre trois, soit :

du^r_st =∇^ku^r_stdy^k (5.118) Ces composantes du^r_st sont appelées les différentielles absolues des composantes u^r_st du tenseur U.

Remplaçons les dérivées covariantes des composantes par leur expression (5.94) ; on obtient :

du^r_st= (∂ku^r_st+uⁱ_stΓ_k^r_i−u^r_itΓ_kⁱ_s−u^r_siΓ_kⁱ_t)dy^k (5.119) Remarquons que la notation du^r_st serait plus précise si elle était notée (du)^r_st puisque les indices désignent à présent les composantes d’un nouveau tenseur diffé-rent du tenseur u^r_st.

Différentielle absolue d’un tenseur - Le tenseur ayant pour composantes les quantités du^r_st est appelé la différentielle absolue du tenseur U et est noté dU. Ce tenseur, d’ordre trois, se décompose sur une base sous la forme :

dU=du^r_ste_r ⊗ e^s ⊗ e^t (5.120) Par suite de la linéarité de la dérivée covariante d’un tenseur, on a les propriétés suivantes pour la différentielle absolue :

d(U+V) =dU+dV ; d(λU) = λdU (5.121) Différentielle absolue d’un produit tensoriel -Considérons le produit tensoriel W=U ⊗ V de composantes mixtes w^r_st=u^r_svt. La propriété (5.93) de la dérivée covariante des composantes d’un tenseur donne également pour la différentiation absolue des composantes :

d(u^r_svt) =vtdu^r_s+u^r_sdvt (5.122) Les quantités d(u^r_svt)sont les composantes mixtes d’un tenseur d’ordre trois ; ce tenseur est la différentielle absolue d(U ⊗ V)qui s’écrit :

d(U ⊗ V) = (du^r_s)vte_r ⊗ e^s ⊗ e^t+u^r_s(dvt)e_r ⊗ e^s ⊗ e^t (5.123) Cette dernière relation fait apparaître la somme de produits tensoriels suivants :

d(U ⊗ V) = (du^r_se_r ⊗ e^s) ⊗ (vte^t) + (u^r_se_r ⊗ e^s) ⊗ (dvte^t) (5.124) On obtient finalement la règle suivante donnant la différentielle absolue du pro-duit tensoriel :

d(U ⊗ V) = dU ⊗ V+U ⊗ dV (5.125)

Cette formule se généralise aisément pour des produits tensoriels quelconques ainsi que pour des sommes de produits tensoriels.

Considérons un tenseur d’ordre deux tel que U=u^ij(e_i ⊗ e_j); il peut être écrit comme la somme des produits tensoriels suivants :

U= (u^ije_i) ⊗ e_j (5.126)

Compte tenu des relations (5.125) et (5.121), la différentielle absolue de ce tenseur s’écrit :

dU= (du^ije_i) ⊗ e_j+ (u^ije_i) ⊗ dej (5.127) Utilisant la règle (5.105) de différentiation absolue des vecteurs, on obtient :

dU =d(u^ije_i ⊗ e_j) =du^ije_i ⊗ e_j+u^ijde_i ⊗ e_j+u^ije_i ⊗ de_j (5.128) La formule précédente se généralise pour des tenseurs d’ordre quelconque en remar-quant que tout tenseur peut s’écrire comme une somme de produits tensoriels et en itérant la formule (5.105) pour des produits tensoriels formés par un nombre quelconque de tenseurs.

5.3.4 Théorème de Ricci

La différentiation des composantes du tenseur fondamentalg_ij =e_i·e_j, nous donne : dgij =e_i · dej +dei · e_j =e_i · w_j^ke_k+w_i^ke_k · e_j (5.129) d’où l’identité :

dg_ij =g_ikw^k_j +g_jkw_i^k (5.130) Explicitant les composantesw^k_j en fonction des symboles de Christoffel, il vient : dgij =∂hgijdy^h =gikΓ_j^k_hdy^h+gjkΓ_i^k_hdy^h (5.131) Identifiant les coefficients des différentielles dy^h, on obtient :

∂hgij =gikΓ_j^k_h+gjkΓ_i^k_h (5.132) Les relations (5.132) constituent les identités de Ricci. Formons la différentielle absolue des composantes gij en utilisant la formule (5.118) et (5.119), soit :

dg_ij =dg_ij −w^k_j g_ik−w^k_i g_jk (5.133) La comparaison de cette dernière relation avec la formule (5.130) montre que l’on a :

dgij = 0 (5.134)

La différentielle absolue des composantes du tenseur fondamental est nulle : c’est le théorème de Ricci.

5.3.5 Symboles de Christoffel contractés

On va utiliser le théorème de Ricci pour calculer l’expression des symboles de Chris-toffel contractés Γ_iⁱ_k en fonction des gij. Dans ce but, utilisons la formule générale donnant les composantes covariantes de la dérivée covariante du tenseur d’ordre deux gij et écrivons que cette dérivée est nulle selon le théorème de Ricci :

∇^kgij =∂kgij −Γ_i^l_kglj −Γ_j^l_kgil = 0 (5.135) Effectuons la multiplication contractée de cette expression par g^ij, il vient en utilisant les relationsg^ijg_jl=δ^l_i :

g^ij∂kgij −Γ_i^l_kδ_i^l−Γ_j^l_kδ^j_l = 0 (5.136) d’où la relation :

g^ij∂_kg_ij −Γ_iⁱ_k−Γ_j^j_k = 0 (5.137) Les quantités Γ_iⁱ_k etΓ_j^j_k représentant les mêmes sommes, par rapport aux indices muets i ouj, la relation précédente nous donne :

g^ij∂kgij = 2 Γ_iⁱ_k (5.138) Soit g le déterminant des quantités gij. La dérivation du déterminant nous donne :

∂kg =g gij∂kgij (5.139)

Les relations (5.138) et (5.139) nous donnent alors l’expression des symboles contractés de Christoffel sous la forme :

Γ_iⁱ_k = 1

2g ∂_kg = 1

p|g|∂_kp

|g| (5.140)

5.4 Opérateurs différentiels

5.4.1 Vecteur gradient

Considérons un champ de scalaire défini en chaque point d’un espace ponctuel

ε

n

par une fonction F(y¹, y², ..., yⁿ) des coordonnées curvilignes yⁱ.

Dérivées partielles - On va montrer que les dérivées partielles ∂kF d’un champ de scalaires sont les composantes covariantes d’un vecteur. Pour cela, considérons un autre système de coordonnées curvilignes (y^′j)de

ε

n où ce même champ de scalaires s’écrit : F(y¹, y², ..., yⁿ) = F^′(y^′1, y^′2, ..., y^′n). La dérivation partielle d’une fonction composée nous donne :

∂ F

∂ y^j = ∂ F^′

∂ y^′i

∂ y^′i

∂ y^j (5.141)

Les relations (4.43) et (4.44) montrent que les quantités ∂jF se transforment comme les vecteurs de base(e_i)du repère naturel de

ε

n. Les dérivées∂jF sont donc des quantités covariantes qui, pour j = 1,2, ..., n, constituent les composantes d’un tenseur d’ordre un.

Définition du vecteur gradient - Ce tenseur d’ordre un est appelé le vecteur gradient deF. On note ce vecteurgradF et sa décomposition sur la base réciproque est donnée par :

gradF =∂kF e^k (5.142)

Les composantes covariantes du vecteur gradient sont notées gradkF, soit :

gradkF =∂kF (5.143)

Ses composantes contravariantes gradⁱF sur la base (ei) sont données par :

gradⁱF =g^ik∂kF (5.144)

5.4.2 Rotationnel d’un champ de vecteurs

Soit un champ de vecteurs V de composantes covariantes v_i. La dérivée covariante du vecteur V a pour composantes covariantes les quantités données par la relation (5.71), à savoir :

∇^jvi =∂jvi−vkΓ_j^k_i (5.145) Échangeant les indices de cette dernière relation et remarquant que les symboles de Christoffel sont symétriques par rapport à leurs indices inférieurs, on obtient :

∇iv_j =∂_iv_j −v_kΓ_j^k_i (5.146) Retranchons membre à membre les relations (5.145) et (5.146), il vient :

∇^jvi− ∇ⁱvj =∂jvi−∂ivj (5.147) Les quantités figurant dans cette dernière relation représentent donc les compo-santes d’un nouveau tenseur appelé tenseur rotationnel du vecteur V. C’est un tenseur antisymétrique que l’on note rot V et l’on a :

rot V = (∇^jvi − ∇ⁱvj)e_i⊗e_j = (rot V)ije_i⊗e_j (5.148) Vecteur rotationnel -On a vu, au chapitre III, que parmi lesn² composantes d’un tenseur antisymétrique d’ordre n, celui-ci possède n(n−1)/2 composantes strictes.

Pour un espace à trois dimensions, et seulement dans ce cas, le nombres de compo-santes strictes est égal à la dimension de l’espace.

Dans le cas d’un espace euclidien

ε

³ rapporté à un système de coordonnées orthonormées, le vecteur formé à partir des composantes strictes du tenseur rot V, et ayant pour composantes :

(rot V)₁ =∂₂v₃−∂₃v₂ ; (rot V)₂ =∂₃v₁−∂₁v₃ ; (rot V)₃ =∂₁v₂−∂₂v₁ (5.149) constitue le vecteur rotationnel classique. C’est un exemple de vecteur adjoint d’un tenseur.

5.4.3 Divergence d’un champ de vecteurs

Soit un champ de vecteur V dont la dérivée covariante est ∇^kvⁱ. Par contraction du tenseur ∇kvⁱ, on obtient un scalaire∇ivⁱ appelé divergencedu vecteur V. On note la divergence :

div V=∇ⁱvⁱ (5.150) L’expression développée de la dérivée covariante :

∇^kvⁱ =∂kvⁱ+v^jΓ_kⁱ_j (5.151)

donne pour expression de la divergence :

div V=∂_ivⁱ+v^jΓ_iⁱ_j (5.152) L’expression du symbole de Christoffel contracté Γ_iⁱ_j, donnée par la relation (5.140), permet d’écrire la divergence sous la forme :

div V=∂ivⁱ+ vⁱ p|g|∂i

p|g| (5.153)

Cette dernière expression peut être transformée en utilisant la relation suivante entre deux quantités différentiables a et b :

1

ad(b a) =db+ b

ada (5.154)

et en posant : a =p

|g|, b=vⁱ; on obtient : div V= 1

p|g|∂i(vⁱp

|g|) (5.155)

Pour un système de coordonnées orthonormées, g = 1, on retrouve l’expression classique de la divergence : div V=∂ivⁱ.

5.4.4 Laplacien d’un champ de scalaires

On appelle laplacien d’un champ de scalaire défini par une fonction F(y¹, y², ..., yⁿ) à valeurs scalaires, l’expression :

∆F =div gradF (5.156) L’expression du laplacien s’obtient à partir de la définition (5.150) de la diver-gence et des composantes contravariantes du gradient g^ik∂kF, on a :

∆F =∇ⁱ(g^ik∂kF) (5.157)

La propriété de permutation de la dérivée covariante avec le changement de variance par multiplication par g^ij et sommation, nous donne :

∆F =g^ik∇ⁱ(∂kF) (5.158)

Les quantités∇ⁱ(∂kF)sont les composantes covariantes de la dérivée covariante du vecteur gradF ; elles sont données par la relation (5.71), soit :

∇i(∂_kF) = ∂_ikF −Γ_i^l_k∂_lF (5.159) d’où l’expression du laplacien :

∆F =g^ik(∂ikF −Γ_i^l_k∂lF) (5.160) On obtient également une expression du laplacien en reportant les composantes contravariantes degradF dans la relation (5.155), soit :

∆F = 1

p|g|∂i(p

|g|g^ik∂kF) (5.161) Pour un système de coordonnées orthonormées,g^ik =δ^ik, on retrouve l’expression classique du laplacien : ∆F =∂_kkF.

5.5 Exercices résolus

Exercice 5.1

On considère deux systèmes de coordonnées curvilignes tels que :

¯

uⁱ = ¯uⁱ(u¹, u², ..., uⁿ) ; u^j =u^j(¯u¹,u¯², ...,u¯ⁿ) 1. Soient Γ_k^j_i et Γ¯hm

l les symboles de Christoffel relatifs respectivement aux coordonnées uⁱ etu¯^k. Démontrer qu’on a la relation suivante :

2.

Γ_k^j_i =∂iu¯^l∂mu^j∂ku¯^hΓ¯hm

l+∂lu^j∂kiu¯^l

3. Dans le cas où les coordonnées u¯ⁱ sont rectilignes, démontrer que la formule précédente se réduit à :

Γ_k^j_i =∂lu^j∂kiu¯^l

Solutions

1. La démonstration de la formule de transformation des symboles de Christoffel aboutit à l’équation (5.47) :

Γ_k^j_i =A^′l_i A^j_mA^′h_k Γ^′_h^m_l+A^j_l∂kA^′l_i

Remplaçant les quantités A etA^′ par les expressions (4.45), soit : (a) A^′k_i =∂iu¯^k ; (b) Aⁱ_k =∂kuⁱ

On obtient l’expression demandée :

Γ_k^j_i =∂_iu¯^l∂_mu^j∂_ku¯^hΓ¯_h^m_l+∂_lu^j∂_kiu¯^l

2. Si les coordonnées u¯ⁱ sont rectilignes - c’est le cas des coordonnées carté-siennes, par exemple - on a : de_i = 0 et tous les symboles de Christoffel Γ¯hm

sont nuls. On obtient alors la formule simplifiée : l

Γ_k^j_i =∂lu^j∂kiu¯^l

Exercice 5.2

On considère dans un plan, un système de coordonnées cartésiennes, x¹,x², et un système de coordonnées curvilignesu¹,u² définies par :x¹ =u¹cosu²;x² =u¹sinu² (coordonnées polaires). Les composantes covariantesgij du tenseur métrique ont été calculées au cours de l’exercice (4.2), soit :

g11 = 1 ; g12 =g21= 0 ; g22= (u¹)²

1. Déterminer les composantes contravriantes g^ij du tenseur métrique.

2. Rappeler les formules permettant le calcul des symboles de Christoffel de première et seconde espèces à partir des gij

3. Calculer ces symboles pour les coordonnées polaires en utilisant ces formules.

4. Calculer les symboles de Christoffel de deuxième espèce à partir de la formule établie dans l’exercice (5.1) :Γ_k^j_i =∂lu^j∂kiu¯^l avec u¯^l =x^l.

Solutions

1. Pour des coordonnées orthogonales, on a : gⁱⁱ= 1/gii, d’où : g¹¹= 1 ; g¹²=g²¹= 0 ; g²² = 1/(u¹)²

2. Les symboles de Christoffel de première espèce sont donnés par la formule (5.38) :

Γkji = 1

2(∂kgij +∂igjk−∂jgki)

Les symboles de deuxième espèce sont liées aux précédents, selon (5.39), par : Γ_kⁱ_j =g^ilΓklj = 1

2g^il(∂kgjl+∂jglk−∂lgkj)

3. Les dérivées partielles ∂kgij sont nulles pour i 6= j et i = j = 1. Il reste à calculer :

∂1g22=∂1(u¹)² = 2u¹ ; ∂2g22=∂2(u¹)² = 0 Les symboles de première espèce Γkji non nuls sont tels que :

k, i, j = 1,2,2 ; i, j, k = 1,2,2 ; j, k, i= 1,2,2 d’où :

Γ122 =u¹ ; Γ221 =u¹ ; Γ212=−u¹ Les symboles de deuxième espèce sont :

Γ₁¹₁ = 0 Γ₁¹₂ = 0 ; Γ₂¹₁ = 0 ; Γ₂¹₂ =−u¹ Γ₁²₁ = 0 Γ₁²₂ = 1/u¹ ; Γ₂²₁ = 1/u¹ ; Γ₂²₂ = 0

4. Le calcul direct des symboles de Christoffel de deuxième espèce nécessite l’expression des coordonnées uⁱ en fonction des x^j. On a :

u¹ =p

(x¹)²+ (x²)² ; u² =arctan(x²/x¹)

Le calcul des dérivées premières partielles des fonctionsuⁱ(x¹, x²)nous donne :

∂1u¹ =x¹/u¹ ; ∂2u¹ =x²/u¹ ; ∂1u² =−x²/(u¹)² ; ∂2u² =x¹/(u¹)² Le calcul des dérivées premières partielles des fonctionsx^j(u¹, u²)nous donne :

∂11x¹ = 0 ∂12x¹ =−sinu² ; ∂22x¹ =−u¹cosu²

∂₁₁x² = 0 ∂₁₂x² =cosu² ; ∂₂₂x² =−u¹sinu²

L’utilisation de la formule Γ_k^j_i = ∂_lu^j∂_kix^l permet de retrouver les valeurs calculées précédemment. On a, par exemple :

Γ₁¹₁ = ∂1u¹∂11x¹+∂2u¹∂11x² = 0

Γ₂¹₂ = ∂1u¹∂22x¹+∂2u¹∂22x² =−u¹ ; etc.

Exercice 5.3

Les composantes covariantes du tenseur métrique, en coordonnées sphériques r, θ, ϕ, sont :

g11= 1 ; g22=r² ; g33 =r²sin²θ ; gij = 0 si i 6= j Les coordonnées sphériques sont définies par :

x=rsinθcosϕ ; x=rsinθsinϕ ; z =rcosθ

1. Calculer les symboles de Christoffel de première espèce en coordonnées sphé-riques.

2. Calculer ceux de deuxième espèce.

Solutions

1. Les symboles de première espèce sont donnés par (5.38), soit : Γkji = 1

2(∂kgij +∂igjk−∂jgki)

Notons les coordonnées u¹ = r, u² = θ, u³ = ϕ; les dérivées partielles non nulles sont les suivantes :

∂1g22 = 2r ; ∂1g33= 2rsin²θ ; ∂2g33= 2r²cosθsinθ

L’application de la formule (5.38) nous donne neuf symboles de Christoffel non nuls, à savoir :

Γ₂₁₂=−r ; Γ₃₂₃ =−r²sinθcosθ ; Γ₃₁₃ =−rsin²θ

Γ₁₂₂=Γ₂₂₁ =r ; Γ₁₃₃= Γ₃₃₁ =rsin²θ ; Γ₃₃₂ = Γ₂₃₃ =r²cosθsinθ 2. La relation (5.39) : Γ_kⁱ_j =g^ilΓ_klj, permet la détermination des symboles de

Christoffel de deuxième espèce ; on obtient neuf symboles non nuls :

Γ₂¹₂ =−r ; Γ₂²₁ = Γ₁²₂ = 1/r ; Γ₃³₁ = Γ₁³₃ = 1/r

Γ₃¹₃ =−rsin²θ ; Γ₃²₃ =−sinθcosθ ; Γ₂³₃ = Γ₃³₂ =cotanθ

Exercice 5.4

Lorsque la matrice du tenseur est symétrique est diagonale (g_ij = 0 si i 6= j), montrer que pour des indices donnés (c’est-à-dire pour des symboles où la présence de deux indices identiques n’indique pas de sommation), on a pour les symboles de Christoffel de seconde espèce :

1. Γ_iⁱ_j = Γ_jⁱ_i = (1/2)∂jln|gii|

2. Γ_jⁱ_j =−(1/2g_ii)∂_ig_jj ; avec i 6= j 3. Tous les autres symboles Γ_jⁱ_k sont nuls.

Solutions

3. Lorsque tous les termes gij sont nuls pour i 6= j, alors toutes les dérivées de ces gij sont nulles et l’on a :

Γ_i^j_j =g^jpΓipk =g^jjΓijk = g^jj

2 (∂igjk+∂kgij +∂jgik) = 0

Exercice 5.5

En utilisant les résultats de l’exercice (5.4), calculer les symboles de Christoffel de seconde espèce en coordonnées sphériques u¹, u², u³.

Solutions

Les composantes covariantes du tenseur fondamental en coordonnées sphériques u¹, u², u³ sont :

g11= 1 ; g22= (u¹)² ; g33 = (u¹)²sin²u² ; gij = 0 si i 6= j

On est donc bien dans le cas d’une matrice diagonale du tenseur métrique. Uti-lisant les formules de l’exercice (5.4), soit :

Γ_iⁱ_j = Γ_jⁱ_i = (1/2)∂_jln|g_ii|

on obtient les valeurs des symboles de Christoffel non nuls :

Γ₂²₁ = Γ₁²₂ = (1/2)∂1ln(u¹)² = 1

u¹ ; Γ₃³₁ = Γ₁³₃ = 1

u¹ ; Γ₃³₂ = Γ₂³₃ =cotanu² La formule suivante : Γ_jⁱ_j = −(1/2gii)∂igjj, nous donne les valeurs non nulles suivantes :

Γ₂¹₂ =−(1/2)∂1(u¹)² =−u¹ ; Γ₃¹₃ =−u¹sin²u² ; Γ₃²₃ =−sinu²cosu² On obtient neuf symboles de Christoffel de seconde espèce non nuls ; les 18 autres sont nuls.

Exercice 5.6

Une particule se déplace le long d’une trajectoire définie en coordonnées sphé-riques r, θ, ϕ.

Déterminer les composantes contravariantesa^k de l’accélération ade cette particule pour les trajectoires suivantes.

1. La trajectoire est définie par : r =c,θ =ω t,ϕ =π/4;t est le temps.

2. La trajectoire est définie par : r=c, θ=π/4, ϕ =ω t. Calculer la norme de l’accélération et montrer qu’on retrouve la formule classique :||a||=r ω².

Solutions

1. Déterminons les valeurs des symboles de Christoffel le long de la trajectoire ; on a, pour r=c,θ =ω t,ϕ =π/4:

Γ₂²₁ = Γ₁²₂ = 1 u¹ = 1

c ; Γ₃³₁ = Γ₁³₃ = 1 u¹ = 1

c ; Γ₃³₂ = Γ₂³₃ =cotanω t Γ₂¹₂ =−u¹ =−c ; Γ₃¹₃ =−csin²ω t ; Γ₃²₃ =−sinω tcosω t

Les composantes contravariantes de l’accélération sont les suivantes :

a¹ = d²u¹

On retrouve l’expression classique de l’accélération d’une particule effectuant une trajectoire circulaire à vitesse constante.

2. Symboles de Christoffel le long de la trajectoire :

Γ₂²₁ = Γ₁²₂ = 1

Les composantes contravariantes de l’accélération sont les suivantes :

a¹ = d²u¹

Les composantes covariantes du tenseur fondamental le long de la trajectoire sont :

Calculer l’expression de la divergence en coordonnées sphériques r, θ, ϕ :

1. Pour un champ de vecteurs A de composantes contravariantes Aⁱ dans le repère naturel.

2. Pour le même champ de vecteurs A de composantes Ar, Aθ, Aϕ dans un repère naturel dont les vecteurs de base ont été normés.

Solutions

La divergence d’un champ de vecteurs est donnée par la formule (5.153) : divA=∂iAⁱ+ Aⁱ

p|g|∂i

p|g| Notons r =x¹, θ =x², ϕ =x²; on a : g = (x¹)⁴sin²x². 1. Reportons dans la formule de la divergence, il vient :

divA=∂₁A¹+∂₂A² +∂₃A³+ 2

x¹ A¹+A²cotanx² 2. Les vecteurs de la base naturelle ont pour norme :

||e1 = 1 ; ||e2||=r ; ||e3||=rsinθ

Sur une base orthonormée, les composantes covariantes et contravariantes sont identiques. On a alors les relations :

Ar =A¹ ; Aθ =r A² ; Aϕ =rsinθ A³

L’expression précédente de la divergence nous donne, en remplaçant les va-riables et les composantes par leur écriture traditionnelle :

divA = ∂ Ar

On retrouve l’expression classique de la divergence en coordonnées sphériques dont les vecteurs de la base naturelle ont été normés.

Exercice 5.8

1. Partant de l’expression (5.38) : Γkji = 1

2(∂kgij +∂igjk−∂jgki), démontrer la relation :

∂kgij = Γjik+ Γkji

2. En utilisant le résultat précédent, démontrer la relation :

∂mg^lj =−g^liΓ_m^j_i−g^jkΓ_m^l_k

Solutions

1. La relation (5.38) nous donne :

Γjik+ Γkji= 1

2(∂jgik+∂kgji−∂igjk) + 1

2(∂kgij +∂igjk−∂jgki) =∂kgji

2. La relation (1.102) s’écrit :

gikg^kj =δ_i^j ,d’øù ∂m(gikg^kj) =∂m(δ_i^j) = 0 D’autre part, on a :

∂_m(g_ikg^kj) =g_ik∂_mg^kj+g^kj∂_mg_ik = 0 , soit g_ik∂_mg^kj =−g^kj∂_mg_ik

Multipliant par g^il et sommant, il vient :

g^ilgik∂mg^kj =−g^ilg^kj∂mgik

Utilisant de nouveau la relation (1.102) ainsi que la relation obtenue à la question (1), on obtient :

δ_kⁱ ∂mg^kj =−g^ilg^kj(Γikm+ Γmik) soit ∂mg^lj =−g^liΓ_m^j_i−g^jkΓ_m^l_k

Exercice 5.9

Démontrer que les dérivées covariantes des composantes des tenseurs suivants sont nulles :

1. Tenseur de Kronecker : δ_i^k

2. Tenseur fondamental, à partir de ses composantes covariantesgij, en utilisant les résultats de l’exercice (5.8).

3. Faire de même à partir des composantes contravariantes g^ik. 4. Déduire des résultats précédents, le théorème de Ricci :

Dg_ij =Dg^ij = 0

Solutions

1. Les composantes de la dérivée covariante du tenseur δ_i^k sont données, selon la formule générale (5.88), par :

∇^kδ^r_s =∂kδ^r_s+δ_sⁱΓ_k^r_i−δ_i^rΓ_kⁱ_s = 0 + Γ_k^r_s−Γ_k^r_s = 0 2. Pour le tenseur fondamental gij, on a :

∇^kδ^r_s =∂kδ^r_s+δ_sⁱΓ_k^r_i−δ_i^rΓ_kⁱ_s = 0 + Γ_k^r_s−Γ_k^r_s = 0 2. Pour le tenseur fondamental gij, on a :

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