6.5 Déplacement le long d’une courbe
6.5.1 Développement d’une courbe
Soit une courbe quelconque C d’un espace de Riemann Rn définie par une re-présentation paramétrique ui(t). Un point M0 de la courbe est pris comme origine et correspond à la valeur t= 0 du paramètre t.
Nous nous proposons de faire correspondre, à chaque point M de la courbe C, un pointmet un repère (m,ei)de l’espace euclidien
ε
n. Pour cela, considérons dans l’espace euclidien un point m0 de départ auquel nous attachons un repère cartésien (m0,e0i), déterminé en grandeur et en forme, mais pas en orientation, par les valeurs numériques des gij de l’espace de Riemann au point M0; on a donc :e0i · e0j = (gij)0 (6.57) D’autre part, les pointsmde l’espace euclidien et les vecteurs des repères naturels (m,ei) vérifient les relations différentielles :
dm=duiei ; dei = (Γilk)M dukel (6.58) où les(Γilk)M sont les valeurs des symboles de Christoffel calculés à partir desgij
de la métrique riemannienne au point M de la courbeC. Ce sont donc des fonctions qui dépendent du seul paramètre t.
Les fonctions inconnues m(t) et ek(t) peuvent être obtenues par intégration du système différentiel (6.58) avec les conditions initiales précédentes pour t = 0. On obtient alors une courbe, définie par m(t), qui est appelée le développement de la courbe C sur l’espace euclidien. On noteraΓ le développement de la courbe C.
Métrique euclidienne de raccordement -Plus précisément, on va montrer qu’il existe dans l’espace euclidien
ε
n une métrique telle que que ses coefficients γij et leurs dérivées premières, pris le long de la courbe m(t), ont les mêmes valeurs nu-mériques que les coefficients gij et leurs dérivées premières, aux points homologues de la courbe C dans l’espace de Riemann.Cela siginifie qu’il existe une métrique euclidienne osculatrice à la métrique don-née le long de la courbeC. On dira que cette métrique euclidienne osculatrice consti-tue la métrique euclidienne de raccordement le long de la courbeC.
Détermination d’une métrique euclidienne de raccordement - Soit une courbe C d’un espace de RiemannRn telle que :
u2 =u3 =...=un= 0 (6.59)
ce qui ne restreint pas la généralité puisque l’on peut toujours faire un change-ment des coordonnées de Rn. Les variations de la coordonnée u1(t) dépendent du paramètre t.
Utilisons la convention suivante sur les indices : ceux notés par des lettres grecques prendront les valeurs 2 à n, tandis que ceux notés par des lettres latines prendront les valeurs 1 à n. Dans ces conditions, le développement Γ de la courbe C est une courbe de l’espace euclidien déterminée par les relations différentielles suivantes :
(a) dm=du1e1 ; (b) dei = (Γ1ki)uα=0du1ek (6.60) Cherchons à présent un système de coordonnéesui de l’espace euclidien qui donne une métrique euclidienne osculatrice à la métrique riemannienne simultanément en tous les points deC. Pour cela, à tout pointP de coordonnéesui, situé au voisinage d’un point M de C, faisons correspondre un point pau voisinage de m dans
ε
n en posant :mp =uβeβ+ (1/2) (Γβiγ)uα=0uβuγei+φi(uβ)ei (6.61) où les fonctions φi(uβ) sont du troisième ordre par rapport aux variables uβ. On obtient ainsi un système de coordonnées curvilignes ui, dans
ε
n, qui permet de localiser chaque point p au voisinage de la courbe C. Pour un tel système de coordonnées ui, le repère naturel au pointm(uα = 0) est parfaitement défini par les vecteurs donnés par les relations (6.60) et (6.61), à savoir :∂p
On obtient ainsi un repère naturel identique à celui qui a été obtenu précédem-ment par intégration du système différentiel (6.58) lors du développeprécédem-ment de la courbe C. La métrique de
ε
n, dans le système de coordonnées ui, admet donc pour coefficients γij au point m les produits scalaires ei · ej.Montrons que les coefficients γij sont égaux, en tout point de la courbe Γ, aux coefficientsgij de la métrique riemannienne. Pour cela, utilisons la relation (6.60)(b) dans l’expression de la différentielle du produit scalaireei · ej, soit :
d(ei · ej) =ei · dej+ej · dei = (Γilk)M(el · ej)duk+ (Γjlk)M(el · ei)duk (6.63)
De leur coté, les coefficients gij de la métrique riemannienne sont liés aux sym-boles de Christoffel par la relation (5.26), à savoir :
dgij =wij +wji = (Γkij + Γkji)duk (6.64) Ces coefficients vérifient donc les relations différentielles :
dgij = (Γilk)Mgjlduk+ (Γjlk)Mgilduk (6.65) La comparaison des relations (6.63) et (6.65) montrent que les quantités(ei·ej) et gij vérifient respectivement un même système différentiel en tout point M de la courbeC. Puisqu’on a, au pointM0, selon (6.57), des conditions initiales identiques, à savoir :e0i · e0j = (gij)0, on obtient en tout pointM deC :
ei · ej =gij (6.66)
Les métriques euclidiennes et riemannienne sont donc tangentes en tous les points de la courbeC. Montrons qu’elles sont également osculatrices le long de cette courbe.
Pour cela, il suffit de démontrer que les valeurs numériques (Γjlk)M sont également les valeurs des symboles de Christoffel sur la courbeΓ pour la métrique euclidienne.
Les symboles de Christoffel sont les coefficients des vecteurs ek dans la décom-position du vecteur
∂2p
∂ ui∂ u1
. Or, d’après les relations (6.60)(b) et (6.62) on a pour la coordonnée u1 : et pour les autres coordonnées, on obtient d’après la relation (1.88) :
∂2p
∂ uβ∂ uγ
uα=0
= (Γβkγ)uα=0ek (6.68) La métrique euclidienne est donc osculatrice le long de la courbe C et constitue une métrique euclidienne de raccordement le long de cette courbe.
Espace euclidien de raccordement - De même que pour les métriques eucli-diennes tangentes ou osculatrices auxquelles on a associé un espace euclidien tangent ou osculateur, on peut associer à la métrique euclidienne de raccordement unespace euclidien de raccordement.
Grâce à la détermination, en chaque point m, d’un repère cartésien, on a en réalité développé sur l’espace euclidien non seulement la courbe donnée mais encore toute la région infiniment petite de l’espace de Riemann qui entoure cette courbe.
La relation (1.88) définit les coordonnées curvilignes de cet espace euclidien de raccordement.