Déplacement associé à un cycle

Le développement d’une courbe et l’utilisation d’une métrique euclidienne de rac-cordement permettent de mettre en évidence diverses propriétés géométriques des espaces de Riemann. Étudions auparavant des exemples de transport parallèle le long d’une courbe.

Déplacement le long d’un petit cercle d’une sphère -On a une représentation concrète d’un espace de raccordement le long d’une courbe C en projetant orthogo-nalement les points d’une surface de Riemann sur la développable S circonscrite à la surface le long de la courbe C. Dans ce cas, les métriques des deux surfaces sont osculatrices en chaque point deC et d’autre part, la métrique de S est euclidienne.

Par suite, la surfaceS déroulée sur un plan, donne un espace euclidien de raccorde-ment le long de la courbe C.

Figure6.2.

On a vu qu’une surface sphérique à deux dimensions constitue un espace de Rie-mann. Considérons sur une sphère de rayonR, un petit cercleCde pôle P. Soitαle demi-angle au sommet du cône qui a pour sommet le centre O de la sphère et pour base le petit cercle C (Fig. 6.2).

Dans le cas de la sphère considérée, le développement du cercle C sur un plan s’obtient en développant la développable circonscrite à la sphère le long du cercle.

Cette développable est un cône dont les génératrices ont pour longueur Rtanα. La surface du cône, déroulé sur un plan, fournit un espace euclidien (Fig. 6.3).

Le développement de la courbeC donne un arc de cercle, de centreQet de rayon R; la longueur de cet arc de cercle est celle du petit cercle de la sphère, à savoir 2πRsinα. On voit que le point de départ m dans l’espace euclidien ne coïncide pas

Figure6.3.

avec le point d’arrivée m^′, après avoir parcouru le cycle formé dans le cas présent par le cercle C.

Si Φdésigne l’angle m^′Qm, on a :

(Rtanα) (2π−Φ) = 2π Rsinα (6.69) D’autre part, l’aire limitée sur la sphère par le petit cercle, est en coordonnées sphériques :

Z

0

Z

0

R²sinθdθdϕ = 2π R²(1−cosα) (6.70) On obtient la relation suivante entre l’aireS déterminée par le cycle, ici la courbe C, et le carré du rayon de courbure de la surface considérée, ici la sphère de rayon R :

Φ =S/R² (6.71)

Attachons à chaque point M du cercle deux axes rectangulaires, Mx tangent au cercle dans le sens du parcours choisi, My tangent à la méridienne passant par M. Ces axes occupent les positions représentées sur la figure 6.2. Effectuons un transport parallèle des vecteurs portés par ces axes. Dans l’espace euclidien de rac-cordement, ces axes ont les positionsmxetmyau début du parcours, et les positions m^′x^′ etm^′y^′ en fin de parcours du cercle (Fig 6.3). Pour retrouver la position initiale, il faut, dans l’espace euclidien, effectuer un déplacement associé formé par :

1. d’une part une translation qui amène m^′ en m et qui a pour grandeur :

2Rtanαsin(Φ/2) (6.72)

2. d’autre part, une rotation qui amène le repère x^′m^′y^′ à être parallèle au repère xmy. C’est précisément une rotation de l’angle Φ, effectuée dans le sens de parcours du cycle. Cette rotation est égale au produit de l’aire S limitée par le cycle par la courbure totaleK = (1/R²) de la sphère.

Déplacement le long d’un triangle sphérique - Retrouvons par un calcul de géométrie sphérique les mêmes propriétés que ci-dessus mais pour un cycle différent.

Figure6.4.

Considérons un triangle sphérique M0M1M2 formé par les intersections de trois géodésiques. Appelons a0, a1, a2, les valeurs des angles respectifs des tangentes aux géodésiques aux pointsM0, M1, M2. Soit un vecteur vqui au pointM0 fait un angle α avec la tangente en ce point à la géodésique allant de M0 à M1 (Fig. 6.4).

Réalisons un transport parallèle du vecteur v le long de M₀M₁. Appelons v₁ le vecteur v lorsqu’il est transporté parallèlement au point M1; les vecteurs v et v₁ sont équipollents par rapport à la géodésique M0M1. En M1, le vecteur v1 fait avec la tangenteM₁M₂ un angle égal à β= (π−a₁ −α).

Transportons parallèlement le vecteur v1 le long de la géodésique M1M2; on obtient le vecteur v₂ équipollent à v₁ au point M₂. Puis on effectue un transport parallèle de v₂ le long de M2M0 et l’on obtient v₃ au point M0. Finalement, après un transport parallèle selon ce circuit fermé, le vecteur initialva tourné d’un angle ǫ tel que :

ǫ=a0 +a1 +a2−π (6.73)

L’angle ǫ est appelé excès sphérique du triangle. cette quantité, nulle pour un triangle plan, est positive pour un triangle sphérique. On démontre que l’aire du

triangle sphérique, pour une sphère de rayon R, est égale à R²ǫ. On retrouve l’ex-pression (6.71) donnant la relation entre l’angle de rotation du vecteur transporté et l’aire de la surface délimitée par le circuit parcouru.

Déplacement associé - La propriété de rotation d’un vecteur transporté pa-rallèlement le long d’un cycle se généralise pour une surface quelconque.

De manière générale, si l’on considère dans un espace de Riemann, un cycle par-tant d’un point M0, on va développer ce cycle dans l’espace euclidien en partant de m0 et du repère(m0,e_i), on obtient, après avoir transporté parallèlement le repère le long du cycle, une position finalem^′₀ et un repère(m^′₀,e^′_i). Pour retrouver la position initiale, dans l’espace euclidien, il faudra effectuer un certain déplacement qui amène le point m^′₀ en m0 et le repère (m^′₀,e^′_i) en (m0,e_i). Ce déplacement est dit associé au cycle considéré.

Figure6.5.

Le déplacement associé à un cycle peut être déterminé d’une façon équivalente en considérant deux chemins différents le long de ce cycle. Considérons un cycle M0C M1C^′M0 (Fig 6.5) d’un espace de Riemann et partons du point intermédiaire M1 pour aller vers M0 selon deux chemins différents M1C M0 etM1C^′M0. Le dé-veloppement de ces deux chemins sur l’espace euclidien de raccordement donne des repères dont les positions finales, enM0, sont distinctes. Le déplacement qui amène ces deux repères à coïncider est identique au déplacement associé au cycle.