3.6.1
Mod`ele isotherme
3.6.1.1 Chaˆıne de Markov-Monte Carlo (MCMC)
Le mod`ele direct permet d’effectuer un jeu avec les param`etres libres H et r1/2 de
fa¸con manuelle, rτ ´etant fixe, afin de voir le comportement du mod`ele ainsi que la rela-
tion entre les deux param`etres. Cependant, pour trouver les param`etres optimums, j’ai
dˆu d´evelopper des mod`eles inverses qui explorent une grande quantit´e de param`etres
et ce de fa¸con syst´ematique.
Deux approches ont ´et´e d´evelopp´ees, la premi`ere m´ethode fut de cr´eer un algorithme par la m´ethode dite de Chaˆıne de Markov-Monte Carlo (Markov Chain Monte-Carlo, MCMC) [Metropolis et al. (1953); Hastings (1970); Press et al. (2007)] qui effectue un double tirage al´eatoire sur un double ensemble de param`etres H [1, 50] (km) et
r1/2[60, 150] (km). Le programme re¸coit en entr´ee les param`etres n´ecessaires au mo-
d`ele direct (§3.5.2.2.1) ainsi que le flux r´eel obtenu par l’analyse des images du satellite SDO `a la latitude consid´er´ee.
A chaque couple de param`etres (H, r1/2) le mod`ele calcule le flux correspondant, le
compare au flux r´eel (chapitre 4) en d´eterminant le χ2 par la m´ethode non-lin´eaire des
moindres-carr´es. Les deux param`etres sont sauvegard´es dans une chaˆıne de Markov et
remplac´es par ceux dont le χ2 sera plus faible, permettant ainsi une convergence vers
le meilleur r´esultat. Il y a un double crit`ere de sortie qui est soit le nombre d’it´era- tions (≥ 107) ou une valeur de χ2 satisfaisante (χ2 <1.5). Lorsque l’une de ces deux
contraintes et atteinte, le mod`ele s’arrˆete, g´en`ere un fichier avec l’extension .txt conte- nant en entˆete : l’angle trigonom´etrique ainsi que la latitude correspondante, l’´echelle
de hauteur H ainsi que le rayon de demi-occultation r1/2 ainsi que le flux normalis´e
pour chaque position de V´enus (ou de la plan`ete usit´ee).
Ce programme n’a pas ´et´e retenu du fait de l’important temps de calcul (≥20H) pour effectuer une simulation. J’ai donc d´evelopp´e une autre m´ethode fournissant une grande pr´ecision des r´esultats avec une plus grande rapidit´e de calcul.
3.6.1.2 Couplage algorithme g´en´etique – algorithme MCMC
La seconde approche pour le mod`ele inverse est le couplage entre un algorithme g´en´etique et un algorithme MCMC. La Fig. 3.9 repr´esente la combinaison de ces deux mod`eles. On peut y voir les ´etapes successives pour obtenir les param`etres optimums r´esultants du meilleur fit des donn´ees r´eelles. Le dernier encadr´e, symbolis´e par l’´eti- quette ”Best result” contient l’ensemble des chaˆınes de convergence et donc la dispersion du mod`ele.
Le mod`ele g´en´etique [Holland (1975); Goldberg (1989); Davis (1991); Beasley et al. (1993a,b); Michalewicz (1994)] permet d’explorer un grand nombre de possibilit´es. Le code permet d’explorer une grille ´etendue de param`etres de fa¸con syst´ematique et non al´eatoire comme le montre la Fig. 3.10.
Le mod`ele g´en´etique d´evelopp´e ici se constitue de trois g´en´erations successives (Fig. 3.9, Fig. 3.10). Dans notre cas d’´etude, les g´en´erations sont compos´ees de deux
tableaux un pour chaque param`etre libre, H et r1/2. La premi`ere g´en´eration explore
une map de param`etres tr`es importante (de 1 `a 50 km pour H, et de 60 `a 185 km
pour le r1/2) avec un pas de 2 km sur H et de 5 km pour r1/2 (Grille noire Fig. 3.10).
Chaque couple (H, r1/2) correspond `a un gˆene, le mod`ele calcul le flux correspondant
`a chaque gˆene avant d’effectuer une ´etape de croisement entre tous les couples (H,
r1/2). `A chaque H sera attribu´e les r1/2 afin de d´eterminer quel gˆene (couple H, r1/2)
sera s´electionn´e (pr´esentant le χ2 le plus lors de la comparaison de la courbe de flux
synth´etique et la courbe de flux des donn´ees r´eelles). Le couple s´electionn´e est (Hgen1,
r1/2gen1) pour la premi`ere g´en´eration.
La seconde g´en´eration (grille bleue Fig. 3.10) est initialis´ee avec les param`etres
(Hgen1 ≠ 4 km, r1/2gen1 ≠ 10 km), les tableaux sont ensuite construits avec un pas de
1 km pour H et un pas de 2.5 km pour r1/2. Le mod`ele proc`ede ensuite de la mˆeme
fa¸con afin de d´eterminer (Hgen2, r1/2gen2).
La troisi`eme g´en´eration est ensuite initialis´ee avec le r´esultat pr´ec´edent (Hgen2 ≠
2 km, r1/2gen2 ≠ 5 km) avec un pas de 0.2 km pour H ainsi qu’un pas de 1.5 km pour
r1/2. Ce qui am`ene aux param`etres (Hgen3, r1/2gen3).
Afin d’explorer toutes les solutions possibles, un mod`ele de MCMC a ´et´e ajout´e comme quatri`eme g´en´eration en prenant en param`etres d’entr´ee le couple de param`etres obtenus par le mod`ele g´en´etique de troisi`eme g´en´eration. La carte de param`etres ex-
plor´ee par le MCMC est (Hgen3 ± 1 km, r1/2gen3 ± 3 km). Comme pour le MCMC de
la premi`ere approche, il y a des conditions de sortie, le χ2 < 1.2 ou < χ2
gen3 ou si le
nombre d’it´erations maximum est atteint (2500).
Cette imbrication permet une tr`es grande rapidit´e de calcul (≥ 1H `a ≥1H20 pour une simulation) et une grande pr´ecision sur les param`etres. De ce fait, j’ai ajout´e une boucle dans le mod`ele pour effectuer plusieurs simulations successives (10) afin d’effectuer une ´etude statistique sur la convergence du mod`ele. Le fichier de sortie de
ce code donne l’´echelle de hauteur H le rayon de demi-occultation r1/2 et le χ2. Le
mod`ele direct permet de cr´eer la courbe de flux n´ecessaire `a la cr´eation des images il n’´etait donc pas n´ecessaire de g´en´erer le fichier de sortie comportant la position et le flux correspondant `a chaque simulation.
Figure 3.9 – Repr´esentation des ´etapes successives du mod`ele inverse isotherme. Un mod`ele g´en´etique (3 g´en´erations) est coupl´e avec un Markov Chain Monte Carlo.
Mod`ele `a trois couches Baum et Code
zmin (km) zmax (km) H (km)
135 160 4.8
116 135 3.0
70 116 4.8
Table 3.2 – Altitudes des trois couches (zmin, zmax) d´etermin´ees sur la Fig. 3.11
ainsi que leur ´echelle de hauteur H respectives.
3.6.2
Mod`ele isotherme `a trois couches
Dans le soucis d’identifier le plus simple mod`ele capable de reproduire les caract´e- ristiques observ´es de l’aur´eole, on a consid´er´e tout d’abord les trois domaines d’´echelle de hauteur atmosph´erique H qui peuvent ˆetre identifi´es dans le profil vertical de SOIR `a +49¶
de latitude. Si on fait l’hypoth`ese que les petites fluctuations sont n´egligeables, une approximation `a trois couches devient alors fortement int´eressante dans notre but. Chaque couche sera caract´eris´ee par ses valeurs de Hi et r1/2i o`u i=(1,2,3), et sa contri-
bution sera calcul´ee ind´ependamment de celle des autres couches. La seule diff´erence par rapport `a un mod`ele Baum et Code `a une seule couche, est constitu´ee par les limites verticales d’int´egration, qui seront repr´esent´ees par les altitudes minimale et maximale de chaque couche qu’on peux lire `a partir du profil vertical de la Fig. 3.11 et qui sont ´egalement ins´er´ees dans la Table 3.2.
Le mod`ele correspond donc `a la somme de trois couches, dont l’extension verticale et les valeurs de Hi sont fixes. Les param`etres libres sont les 3 valeurs de ∆ri. Avec
Figure 3.10 – Map de l’espace des param`etres H et r1/2 explor´e par le mod`ele g´en´etique. La grille noire repr´esente la premi`ere g´en´eration, la grille bleue est la seconde g´en´eration et la grille rouge est la troisi`eme g´en´eration.
Figure 3.11 – Profil vertical de densit´e mol´eculaire mesur´ee par SOIR `a la latitude +49.33¶
. Trois couches principales sont pr´esentes au-dessus des nuages (ici rτ ≥
86 km). La pente d’un fit lin´eaire sur les trois segments principaux am`ene `a trois ´echelles de hauteur, H1 = 4.8 km pour les altitudes sous 116 km, H2 = 3.0 km (116 `a 135 km), et H3= 4.8 km (135 `a 160 km)
une simple extension de l’approche B&C on pourra ajuster ces valeurs pour reproduire la courbe observ´ee.
3.6.3
Mod`ele multicouche ”onion peeling ” (non isotherme)
Le mod`ele multicouche est le dernier mod`ele d´evelopp´e au cours de ma th`ese. Il per- met d’avoir acc`es au profil vertical de densit´e ainsi qu’`a l’altitude du τ = 1 pour chaque latitude. Ce qui permettra l’obtention de deux cartes de temp´erature (ingress / egress) avec une courbe d’altitude des nuages (τ = 1).
Le mod`ele inverse proc`ede en plusieurs ´etapes :
La premi`ere ´etape est celle de la cr´eation de l’atmosph`ere. Le mod`ele prend en en- tr´ee un profil vertical de r´ef´erence (comme le profil de SOIR, Fig. 3.12a) ou, en l’absence de celui-ci, g´en`ere lui-mˆeme un profil vertical de densit´e (Eq. 3.24 ; mais dans ce cas, l’initialisation s’effectue pour une atmosph`ere isotherme). L’angle de r´efraction θ est ensuite calcul´e grˆace `a l’indice de r´efraction n(r) = 1 + ν(r). L’altitude τ = 1 pour
le profil vertical est ensuite d´etermin´ee via une double boucle d’exploration de rτ. La
premi`ere boucle calcule le flux pour un pas de rτ de 1 km dans l’intervalle [50, 120 km].
L’altitude poss´edant le χ2 le plus bas sert `a initialiser la seconde boucle qui va proc´eder
`a l’exploration pour un pas de 0.1 km dans l’intervalle [rτ1 ± 1 km].
La seconde ´etape consiste `a d´eplacer en densit´e et de fa¸con rigide le profil vertical de r´ef´erence. La Fig. 3.12b repr´esente cette variation du profil g´en´er´ee par le mod`ele. Cette ´etape est it´erative (≥ 5000 it´erations) pour chaque profil vertical de densit´e, l’altitude rτ pour τ = 1 est d´eduite avec la mˆeme m´ethode expliqu´ee pr´ec´edemment, la
premi`ere boucle est initialis´ee grˆace `a la valeur du rτ obtenue pour le profil de r´ef´erence
et varie sur un intervalle [rτ1± 6 km] la seconde est effectu´ee de la mˆeme fa¸con. Si le rτ1
est inf´erieur `a 55 km le mod`ele refait une exploration du rτ1 comme la premi`ere ´etape.
La troisi`eme ´etape — qui sera r´ep´et´ee plusieurs fois afin d’obtenir les param`etres optimums — consiste `a modifier le profil vertical de densit´e par des fluctuations suc- cessives. Le mod`ele prend le profil de l’´etape 2 comme initialisation, le premier point
ν0 est d´ecal´e de ν0 = ν0 ± 25% le point suivant est alors g´en´er´e en prenant la va-
leur du d´ecalage pr´ec´edent ajout´ee `a une variation al´eatoire de ±10% de la valeur du point. Cette m´ethode est ensuite appliqu´ee `a l’ensemble des points (comme le montre la Fig. 3.12c) la courbe est ensuite liss´ee pour limiter les fortes fluctuations successives induites par des valeurs al´eatoires aux extrˆemes de l’intervalle de donn´ee. Les points sont obtenus de fa¸con al´eatoire avec une d´ependance au point pr´ec´edent. Le tirage n’est alors pas totalement libre, mais poss`ede une contrainte de rigidit´e. `A chaque profil est calcul´e une altitude de τ = 1 obtenue par l’intrication de la double boucle ainsi qu’une valeur de χ2 finale. Pour la premi`ere it´eration, le χ2 est alors compar´e au χ2 de l’´etape
pr´ec´edente, si la valeur est inf´erieure, elle est prise comme r´ef´erence et les param`etres
sont sauvegard´es dans une chaˆıne de Markov. Ensuite, chaque valeur de χ2 de chaque
profil sera compar´ee `a celle enregistr´ee et si ce dernier est plus faible alors l’ensemble des param`etres est enregistr´e dans une chaˆıne de Markov et sert de comparaison aux it´erations suivantes. Deux conditions ont ´et´e ´etablies pour sortir des boucles de l’´etape 3, la premi`ere est un χ2 <1.2 la seconde est le nombre d’it´erations2
.
Dans sa premi`ere version, le code ne comptait qu’une boucle pour l’´etape 3 comp- tant de 600000 it´erations, le temps de calcul n´ecessaire au mod`ele pour obtenir des param`etres optimums ´etait de 5 `a 7 jours selon la latitude (le nombre de points de la courbe de lumi`ere varie en fonction de la latitude). Apr`es une refonte du code, modi- fiant l’´etape 3 comme expliqu´ee ci-avant, avec une boucle r´ep´etitive allant de 6 steps `a 10 au maximum lorsque le χ2 est toujours trop ´elev´e, et une optimisation de la m´emoire
et de la m´ethode de calcul, le temps de calcul n´ecessaire pour l’obtention d’un r´esultat
pour une latitude est d’environ 14 heures3
.