Par probl`emes statiques, nous entendons probl`emes `a l’´equilibre, par opposition aux probl`emes qui d´ependent du temps, ´evoqu´es `a la prochaine section.
Commen¸cons par un mod`ele ´el´ementaire, celui du fil pesant. Soit donc un fil de longueur unit´e, fix´e en ses deux extr´emit´es. Le but est ici de calculer des d´eplacements verticaux, dont on suppose qu’ils sont ”petits”, lorsqu’il est soumis `a la gravit´e. On noteρ :x7→ρ(x) la densit´e lin´eique de masse, etu:x7→u(x) le d´eplacement transversal. D’apr`es les ´equations de l’´elasticit´e lin´eaire, on sait queu v´erifie
−u00(x) =f(x) sur ]0,1[, avec f(x) =ρ(x)g. (1.1) Comme les extr´emit´es du fil sont fix´ees, il est clair que le d´eplacement vertical est nul en celles-ci, ce que l’on exprime sous la forme
u(0) =u(1) = 0. (1.2)
Enfin, le fait que l’´energie ´elastique de d´eformation soit born´ee peut-ˆetre exprim´e sous la forme Z 1
0
u0(x)2dx <∞. (1.3)
On parle ici de mod`ele monodimensionnel ou demod`ele 1D, puisque les ´equations (1.1)-(1.2) et l’in´equation (1.3) ne d´ependent que de la variable x. Le domaine de calcul est dans ce cas l’intervalleouvert]0,1[, et on rappelle que l’ensemble{0,1} constitue safronti`ere.
0 1
u(x) f(x)
Fig. 1.1 – Mod`eles 1D : fil ou poutre
On peut introduire un second mod`ele 1D : celui de lapoutre, appuy´ee en ses extr´emit´es. Le but est encore une fois de d´eterminer des ”petits” d´eplacements verticaux, lorsqu’elle est soumise
`
a une charge transversale, ´egale `a f(x)δx, o`u f est la densit´e de force par unit´e de longueur.
D’apr`es les ´equations de l’´elasticit´e lin´eaire, on retrouve que le mod`ele est constitu´e par le mˆeme ensemble d’´equations et d’in´equations (1.1)-(1.3) que pr´ec´edemment.
Remarque 1.1.1 L’´equation (1.1) peut ˆetre ´ecrite de fa¸con ´equivalente
−d2u
dx2(x) =f(x) pour x∈]0,1[.
On peut ´egalement concevoir des mod`eles, provenant de probl`emes statiques pos´es en di-mension sup´erieure.
Commen¸cons par celui de la membrane ´elastique `a l’´equilibre, dont la fronti`ere est fix´ee.
Encore une fois, on suppose que l’on veut d´eterminer des ”petits” d´eplacements verticaux, lorsque cette membrane est soumise `a une force verticale. Soit D le domaine ouvert occup´e par la membrane au repos, que l’on suppose ˆetre inclus dans le plan Oxy (la membrane est donc horizontale au repos.) Cette fois, le d´eplacement vertical, toujours not´e u, d´epend de deux
variables, `a savoir x ety, pour (x, y) parcourant le domaine de calcul D. Les forces agissant sur la membrane sont de la forme τ f(x, y)δS, avec f la densit´e de force par unit´e de surface, et τ la tension de la membrane. D’apr`es les ´equations de l’´elasticit´e lin´eaire, u v´erifie
−c(τ)2 ∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2
(x, y) =f(x, y) pour (x, y)∈D. (1.4) Ci-dessus, c(τ) est un nombre strictement positif, d´ependant deτ.
Comme la fronti`ere du domaine,∂D, est fix´ee, on ´ecrit
u(x, y) = 0, pour (x, y)∈∂D. (1.5)
Enfin, le fait que l’´energie ´elastique de d´eformation soit born´ee (ainsi que l’in´egalit´e dite de Korn) permettent d’´ecrire
Z
D
c(τ)2 ∂u
∂x 2
+ ∂u
∂y 2!
(x, y)dxdy <∞. (1.6)
On parle ici demod`ele bidimensionnel ou demod`ele 2D, puisque les ´equations (1.4)-(1.5)
y D
z
x u(x,y)
Fig.1.2 – Mod`ele 2D : membrane ´elastique et l’in´equation (1.6) d´ependent du couple de variables (x, y).
Pour finir, rappelons le mod`ele associ´e `a lacavit´e ´electrostatique, incluse dansR3. Le but est de d´eterminer le potentiel ´electrostatique autour d’un syst`eme de conducteurs parfaits disjoints, C1,· · ·, CI, eux-mˆemes ´etant entour´es d’un conducteur parfait C0. Soit C le domaine de calcul ouvertinclus dans R3, constitu´e de la partie int´erieure `a ce dernier conducteur parfait, et priv´e de ¯C1,· · ·,C¯I. Ici,Cest la cavit´e ´electrostatique. On note∂C1,· · ·, ∂CIles fronti`eres respectives de C1,· · ·, CI, ainsi que ∂intC0 la fronti`ere interne de C0 : par construction (cf. Figure 1.3), la fronti`ere ∂C de notre cavit´e ´electrostatique est form´ee par l’union
∂C =∂C1∪ · · · ∪∂CI∪∂intC0.
Si on consid`ere que sur la fronti`ere ∂intC0, on se trouve `a l’´equipotentielle nulle, le potentiel
´electrostatique est d´etermin´e par la donn´ee de :
– ρ la densit´e de charge ´electrique par unit´e de volume ;
– Vk la valeur de l’´equipotentielle sur la fronti`ere ∂Ck, pourkvariant de 1 `a I.
On appelleu le potentiel ´electrostatique `a calculer, c’est-`a-dire u(x, y, z), pour (x, y, z) parcou-rant C. D’apr`es les ´equations de Maxwell, et plus pr´ecis´ement la relation de Coulomb, on sait que
−0 ∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 +∂2u
∂z2
(x, y, z) =ρ(x, y, z) pour (x, y, z)∈C. (1.7)
Ci-dessus, 0 est la permittivit´e ´electrique du vide.
La fronti`ere de chaque conducteur parfait ´etant ´equipotentielle, on ´ecrit
u(x, y, z) =Vk, (x, y, z)∈∂Ck, 1≤k≤I, etV(x, y, z) = 0, (x, y, z)∈∂intC0. (1.8) Enfin, le fait que l’´energie ´electrostatique soit born´ee signifie que
Z On parle ici demod`ele tridimensionnel ou demod`ele 3D, puisque les ´equations (1.7)-(1.8) et l’in´equation (1.9) d´ependent du triplet de variables (x, y, z).
Fig. 1.3 – Mod`ele 3D : cavit´e avec quatre conducteurs internes (I = 4)
Pour conclure cette section, nous proposons le r´ecapitulatif ci-dessous, qui met en ´evidence un certain nombre de similitudes entre ces diff´erents mod`eles statiques.
Remarque 1.1.2 Bien ´evidemment, il existe beaucoup de mod`eles statiques, qui peuvent ˆetre compl`etement diff´erents, par leur nature, de ceux pr´esent´es ici ! De fait, l’”unit´e” entre tous ces mod`eles permettra une mod´elisation homog`ene, comme on le verra au chapitre 2...
Commen¸cons par quelques d´efinitions, utilis´ees fr´equemment par la suite.
D´efinition 1.1.1 On utilise le terme de condition aux limites pour qualifier les ´equations v´erifi´ees par les inconnues du probl`eme sur la fronti`ere du domaine de calcul.
D´efinition 1.1.2 On appelle Laplacien dans Rd (d≥1) l’op´erateur scalaire d´efini par
∆du=
D´efinition 1.1.3 On appelle gradient dans Rd (d≥1) l’op´erateur vectoriel d´efini par
∇~du=
Pour r´ecapituler :
– Probl`emes pos´es dans des domaines (ouverts born´es) Ωd de Rd,d= 1,2,3, par rapport `a la variablex= (x1,· · ·, xd) :
1. d= 1 : fil, poutre ; 2. d= 2 : membrane ; 3. d= 3 : cavit´e.
– L’op´erateur est identique, pour tous les probl`emes. Il est compos´e de : (I) `a l’int´erieur, le Laplacien dansRd;
(F) sur la fronti`ere, une condition aux limites du typeu= 0 (ou u=constante).
De plus, mˆeme propri´et´e pour l’int´egrale du gradient, born´ee pour tous les probl`emes.
Z
Ωd
∇~du
2(x)dx<∞.
– Probl`emes lin´eaires : si les probl`emes avec les donn´eesf1 etf2 admettent pour solution u1 etu2, alors le probl`eme avec pour donn´eeα1f1+α2f2 admet pour solutionα1u1+α2u2.