∇~du
2(x)dx<∞.
– Probl`emes lin´eaires : si les probl`emes avec les donn´eesf1 etf2 admettent pour solution u1 etu2, alors le probl`eme avec pour donn´eeα1f1+α2f2 admet pour solutionα1u1+α2u2.
1.2 Probl` emes instationnaires ´ el´ ementaires
Contrairement aux probl`emes de la section pr´ec´edente, nous nous int´eressons ici `a des mod`eles d´ependant non seulement de la variable spatiale x, mais aussi du temps t. N´eanmoins, et pour
´eviter toute confusion, nous conservons la terminologie mod`eles 1D, 2D, 3D, par r´ef´erence `a la variable d’espace uniquement.
Commen¸cons par un mod`ele 1D instationnaire, celui de lacorde vibrante. Soit donc une corde de longueur unit´e, fix´ee en ses deux extr´emit´es. Pour simplifier, nous n´egligeons la gravit´e, et nous supposons que la densit´e lin´eique de masse ρ est constante. Le but est encore une fois de calculer des ”petits” d´eplacements verticaux, `a partir d’une configuration initiale, connue `a l’instantt= 0. On noteu : (x, t)7→u(x, t) le d´eplacement transversal. D’apr`es les ´equations de l’´elasticit´e lin´eaire, on sait queu v´erifie
∂2u
∂t2 −c(τ)2∂2u
∂x2 = 0 pourx ∈]0,1[ et t >0. (1.10) (Ci-dessus, si τ est la tension de la corde, on a c(τ) = (τ /ρ)1/2.)
Comme les extr´emit´es du fil sont fix´ees, il est clair que le d´eplacement vertical est toujours nul en celles-ci, ce que l’on exprime sous la forme de conditions aux limites
u(0, t) =u(1, t) = 0 pourt >0. (1.11) Le but ´etant de d´eterminer les d´eplacements verticaux de la corde `a partir d’une configuration initiale, celle-ci est donc connue : c’est une donn´ee. Pour cela, comme c’est une d´eriv´ee seconde en temps qui intervient dans le mod`ele, nous avons besoin de connaˆıtre `a la fois sa position, ainsi que la d´eriv´ee partielle par rapport au temps2
u(x,0) =u0(x) et ∂u
∂t(x,0) =u1(x) pourx∈]0,1[. (1.12) La donn´ee dans l’´equation (1.12) est le couple (u0, u1) : on parle deconditions initiales.
Enfin, le fait que l’´energie soit born´ee peut-ˆetre exprim´e sous la forme Z 1
0
∂u
∂t 2
+c(τ)2 ∂u
∂x 2!
(x, t)dx <∞ pour t >0. (1.13)
2Pour une justification intuitive, nous renvoyons le lecteur `a la derni`ere section.
Le domaine de calcul est ici ´egal `a ]0,1[×]0,+∞[ : c’est un ouvert de R2, par rapport au couple de variables (x, t). On peut aussi choisir de calculer la solution entre un instant initial t = 0 et un instant final T >0, auquel cas il convient de remplacer la condition ”pour t > 0”
par ”pourt∈]0, T[” dans (1.10)-(1.13). Dans ce cas, le domaine de calcul est ´egal `a ]0,1[×]0, T[.
Remarque 1.2.1 Il convient de bien diff´erencier ”condition `a un instant donn´e”, de ”condition aux limites en temps”. Pour s’en convaincre, supposons que l’instant finalT soit ´egal `a un dans le mod`ele de la corde vibrante, de solutionuc. On l’a mis en ´equations sous la forme (1.10)-(1.13) pour (x, t) variant dans ]0,1[×]0,1[. Quelles valeurs de uc connaˆıt-on a priori?
uc(0, t), uc(1, t) pour t∈]0,1[ (cf. (1.11)),et uc(x,0) pour x∈]0,1[ (cf. (1.12)).
Par contre, x7→uc(x,1) est `a d´eterminer !
Si on reprend le mod`ele 2D statique de la membrane ´elastique (1.4)-(1.6), de solution um, il est
´egalement pos´e dans le domaine ]0,1[×]0,1[, avec cette fois les variables (x, y). Quelles valeurs de um connaˆıt-on a priori? Celles impos´ees sur la fronti`ere du domaine par (1.5), c’est-`a-dire
um(0, y), um(1, y) pour y∈]0,1[,et um(x,0), um(x,1) pour x∈]0,1[.
Ainsi, x7→um(x,1) est connue !
Il y a donc l`a une diff´erence fondamentale, due `a la nature des op´erateurs associ´es `a chaque mod`ele (adimensionnalis´e) :
−∂2um
∂x2
−↓ ∂2um
∂y2 vs. −∂2uc
∂x2
+↓ ∂2uc
∂t2 .
Pour le mod`ele 2D instationnaire, reprenons celui de la membrane. Il s’agit de d´eterminer des ”petits” d´eplacements verticaux, lorsque cette membrane est soumise `a une force verticale qui d´epend du temps ; soit f(x, y, t) la densit´e de force par unit´e de surface. Le d´eplacement vertical est toujours not´e u, et est lui aussi fonction de (x, y, t). Le couple (x, y) parcourt D et t est soit positif (t > 0), soit compris entre z´ero et T (t ∈]0, T[), o`u l’instant final T est fix´e.
D’apr`es les ´equations de l’´elasticit´e lin´eaire, u v´erifie ∂2u
∂t2 −c(τ)2∆2u
(x, y, t) =f(x, y, t) pour (x, y)∈Dett >0. (1.14) Comme la fronti`ere ∂D est fix´ee, on ´ecrit
u(x, y, t) = 0, pour (x, y)∈∂D ett >0. (1.15) Les conditions initiales s’´ecrivent cette fois
u(x, y,0) =u0(x, y) et ∂u
∂t(x, y,0) =u1(x, y) pour (x, y)∈D. (1.16) Enfin, on exprime le fait que l’´energie soit born´ee par la relation
Z
D
∂u
∂t 2
+c(τ)2
∇~2u
2!
(x, y, t)dxdy <∞ pourt >0. (1.17) Pour un mod`ele 3D instationnaire, int´eressons `a l’acoustiqued’une salleS. Il s’agit de calcu-ler la propagation du son engendr´ee par des hauts-parleurs, c’est-`a-dire lesvariations de pression de l’air ambiant par rapport `a une pression de r´ef´erencePref. Pr´ecis´ement, c’est le d´eplacement de la membrane des hauts-parleurs, qui va g´en´erer ces variations.
Fig.1.4 – Mod`ele 3D instationnaire : acoustique avec quatre hauts-parleurs
On note ainsipla variation de pression par rapport `a la pression de r´ef´erence, qui est ”petite”
par nature (nos tympans ne le supporteraient pas, dans le cas contraire !). C’est une fonction de quatre variables, (x, y, z, t) ; le couple (x, y, z) parcourt S et t est soit positif, soit dans ]0, T[, o`u T est fix´e. Le d´eplacementf des membranes d´epend lui aussi des quatre variables, le triplet (x, y, z) parcourant dans ce cas la surface des membranes, appel´ee HP dans la suite.
Les ´equations v´erifi´ees par psont successivement ∂2p
∂t2 −c2∆3p
(x, y, z, t) = 0 pour (x, y, z)∈S ett >0. (1.18) (Pas de forces volumiques dans la salle ;c est la vitesse du son dans l’air.)
Pour ce qui concerne les conditions aux limites, elles sont de deux types. Sur les membranes, le flux de pression, not´e∂p/∂n, est suppos´e proportionnel au d´eplacement f. Et, aux parois de la salle, ∂S\HP, la pression est ´egale `a Pref, soit une variation nulle.
( p(x, y, z, t) = 0, pour (x, y, z)∈∂S\HP
∂p
∂n(x, y, z, t) =αf, pour (x, y, z)∈HP ett >0. (1.19) L’air ´etant au repos `a l’instant initial, les conditions initiales s’´ecrivent cette fois
p(x, y, z,0) = 0 et ∂p
∂t(x, y, z,0) = 0 pour (x, y, z)∈D. (1.20) Enfin, l’´energie acoustique est born´ee, ce qui s’´ecrit
Z
S
∂p
∂t 2
+c2
∇~3p
2!
(x, y, z, t)dxdy <∞ pour t >0. (1.21) Quels sont les points communs entre ces trois mod`eles instationnaires ?
– Probl`emes pos´es dans des domaines Ωd×]0, T[ de Rd+1, d = 1,2,3, par rapport aux va-riables (x, t) :
1. d= 1 : corde ; 2. d= 2 : membrane ; 3. d= 3 : acoustique.
– L’op´erateur int´erieur est identique, pour tous les probl`emes :
∂2u
∂t2 −c2∆du.
– Les conditions aux limites pr´esent´ees sont de deux types :
une condition sur la valeur de l’inconnue `a la fronti`ere, id est u=· · ·; une condition sur le flux de l’inconnue `a travers la fronti`ere, id est ∂u
∂n =· · ·.
– Les conditions initiales sont toujours au nombre deux, pour l’op´erateur int´erieur pr´esent´e ci-dessus : l’une suru, et l’autre sur∂tu, `a un instant donn´e.
– Enfin, mˆeme propri´et´e pour l’´energie, born´ee pour tous les probl`emes (voir la section 1.3 pour un r´esultat plus pr´ecis), pour toutt :
Z
Ωd
∂u
∂t 2
+c2 ∇~du
2!
(x, t)dx<∞. – Probl`emes lin´eairespar rapport aux donn´ees f,u0 etu1.
Pour ´elargir la perspective, pr´esentons bri`evement un autre type de mod`ele 3D instationnaire, lui aussi bas´e sur le Laplacien : l’´equation de la chaleur. Cette fois, on souhaite chauffer la salleS! Il s’agit de calculer les variations de temp´erature de l’air ambiant par rapport `a une temp´erature de r´ef´erence Tref. Plus pr´ecis´ement, supposons que ces variations soient le fait d’une source volumique de chaleur w. On noteθla variation de temp´erature, ”petite” (variation de quelques dizaines de degr´es au plus, essentiellement au voisinage de la source).
Les ´equations v´erifi´ees parθ sont successivement ∂θ
∂t −∆3θ
(x, y, z, t) =w(x, y, z, t) pour (x, y, z)∈S ett >0. (1.22) Pour ce qui concerne les conditions aux limites, elles sont d’un seul type, si on suppose que les murs, sol et plafond restent `a la temp´erature de r´ef´erence3
θ(x, y, z, t) = 0, pour (x, y, z)∈∂S ett >0. (1.23) Si la temp´erature est ´egale `aTref `a l’instant initial, la condition initiale s’´ecrit4
θ(x, y, z,0) = 0 pour (x, y, z)∈S. (1.24) Enfin, l’´energie thermique est born´ee (voir la section 1.3 pour un r´esultat plus pr´ecis), ce qui s’´ecrit
Z
S
θ2(x, y, z, t)dxdydz+ Z t
0
Z
S
∇~3θ
2(x, y, z, s)dxdydzds <∞ pour t >0. (1.25) Remarque 1.2.2 On imagine ais´ement le mˆeme type de probl`eme dans une section 2D, pour arriver cette fois `a une ´equation de la chaleur 2D.