Matrices diagonalisables









0.5000 0.1267 0.0417 0.0083 0.1267 1.0417 0.0083 0.0014 0.0417 0.0083 0.2514 0.0002 0.0083 0.0014 0.0002 0.0100







 ,

pour laquelle tous les disques de Gerschgorin sont disjoints :

λ₁= 1.0702 dans le disque de centre (1.0417,0.) de rayon 0.1364 λ₂= 0.4786 dans le disque de centre (0.5000,0.) de rayon 0.1767 λ₃ = 0.2444 dans le disque de centre (0.2514,0.) de rayon 0.0502 λ₄ = 0.0099 dans le disque de centre (0.0100,0.) de rayon 0.0099

.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6

Fig.A.5 – Le spectre deA

A.4 Matrices diagonalisables

On se place dans un espace vectoriel sur C. Les mˆemes r´esultats restent valables dans un espace vectoriel surR, sous r´eserve que l’on remplace partout

– complexe par r´eelle (A∈R^n×n), – hermitienne par sym´etrique (A^T =A), – normale par normale (A^TA=AA^T),

– unitaire par orthogonale (OO^T =O^TO=In).

Les r´esultats s’appliquent donc en particulier aux matrices issues de la discr´etisation par diff´erences finies du Laplacien (voir le chapitre 2).

D´efinition A.4.1 Une matriceA∈C^n×n est dite hermitienne lorsque A^∗ =A.

Une matrice A∈C^n×n est dite normale lorsque A^∗A=AA^∗. Une matrice U ∈C^n×n est diteunitaire lorsque U U^∗ =U^∗U =I_n.

Proposition A.4.1 Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont r´eelles.

Preuve : En effet, pour un couple vecteur-valeur propres (u, λ), on a la suite d’´egalit´es, λ(u, u) = (u, Au)^A

∗=A

= (Au, u) = (λu, u) =λ(u, u).

On en d´eduit queλ∈R.

Proposition A.4.2 Les vecteurs propres d’une matrice hermitienne correspondant `a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Preuve : En effet, pour deux couples vecteur-valeur propres (u, λ) et (v, µ), on peut ´ecrire, (Au, v) = (λu, v) =λ(u, v) ^λ=λ= λ(u, v)

(Au, v)^A∗= (u, Av) = (u, µv) =^=A µ(u, v) )

=⇒(λ−µ)(u, v) = 0 =⇒(u, v) = 0 si λ6=µ.

Proposition A.4.3 Toute matrice hermitienne est diagonalisable. Qui plus est, on peut choisir ses vecteurs propres de sorte qu’ils forment une base orthonormale.

En d’autres termes, il existe Q unitaire et D diagonale telles que A=QDQ^∗. Cette propri´et´e d´ecoule d’un r´esultat plus g´en´eral

Proposition A.4.4 [Forme de Schur] Soit A∈C^n×n il existe une matrice unitaire Qtelle que T = Q^∗AQ soit une matrice triangulaire sup´erieure avec pour ´el´ements diagonaux les valeurs propres de la matrice A.

Preuve :La d´emontration est effectu´ee par r´ecurrence : la propri´et´e est ´evidente `a l’ordren= 1.

Supposons la vraie jusqu’`a l’ordre n−1 inclus. SoitA ∈C<sup>n×n</sup> et λune valeur propre de A, u un vecteur propre associ´e de norme 1 ; d’apr`es le th´eor`eme de la base incompl`ete, il existe une matriceU ∈C^n−1×n−1 unitaire (U^∗U =U U^∗ =I) telle que la matrice [u, U]∈C^n×n soit aussi unitaire, car on peut toujours construire une base orthogonale deCⁿ dontu6= 0 soit le premier vecteur de base.

Ainsi par construction U^∗u= 0 etA[u, U] = [λu, AU], soit encore [u, U]^∗ A[u, U] =

u^∗ U^∗

[λu, A U] =

λ u^∗AU 0 U^∗AU

.

Comme U^∗AU est de rang n−1, on peut lui appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence : il existe Q˜∈C^n−1×n−1 unitaire telle que ˜Q^∗U^∗AUQ˜= ˜T; alors

[u, UQ]˜ ^∗ A [u, UQ] =˜ u^∗

Q˜^∗U^∗

[λu, A UQ] =˜

λ u^∗AUQ˜

0 T˜

=T.

Enfin puisqueQ= [u, UQ] est unitaire, les matrices˜ AetT sont semblables, et poss`edent de ce fait les mˆemes valeurs propres. Plus pr´ecis´ement, siµest une valeur propre deU^∗AU associ´ee au vecteur proprev∈Cⁿ⁻¹ ,µ est aussi une valeur propre deA puisque

U^∗AU v=µv =⇒A(U v) =µ(U v).

On obtient donc la propri´et´e `a l’ordre n avec Q = [u, U], et dans cette ´ecriture les termes diagonaux sont bien les valeurs propres deA.

Les vecteurs colonnes de la matrice Q sont appel´es vecteurs de Schur; ils v´erifient la relation AQ=QT.

Dans le cas o`u la matriceAest hermitienne, la matrice triangulaire sup´erieureT =Q<sup>∗</sup>AQest aussi hermitienne, car elle v´erifie T<sup>∗</sup> =Q<sup>∗</sup>A<sup>∗</sup>Q=Q<sup>∗</sup>AQ. Elle est donc diagonale, `a coefficients r´eels, ce qui d´emontre la Proposition A.4.3.

De plus dans ce cas particulier, la relation AQ = QT avec T diagonale, montre que les vecteurs de Schur sont les vecteurs propres de la matrice hermitienne A. La matrice Q dont les colonnes sont les vecteurs propres de A, est unitaire par construction. On en d´eduit que les vecteurs propres de A forment une base orthogonale de Cⁿ. Ce r´esultat ´etant vrai, que les valeurs propres soient distinctes ou non, constitue donc une extension de la Proposition A.4.2.

Proposition A.4.5 Une matrice A ∈ C^n×n est normale si, et seulement si, elle est diagona-lisable dans une base orthonormale.

Preuve : Supposons d’abord que A soit diagonalisable dans une base orthonormale : il existe Qunitaire etD diagonale telles queA=QDQ^∗. On a alors la suite d’´egalit´es

AA^∗=QDQ^∗QD^∗Q^∗Q

∗Q=In

= QDD^∗Q^{∗ D∗D=DD}= ^∗QD^∗DQ^∗Q

∗Q=In

= QD^∗Q^∗QDQ^∗ =A^∗A.

R´eciproquement, soit A une matrice normale. On ´ecrit A =QT Q^∗, avec Q matrice unitaire et T matrice triangulaire sup´erieure. De l’´egalit´e A^∗A=AA^∗ on tire T^∗T =T T^∗. Mais la matrice T ´etant triangulaire sup´erieure, on peut ´ecrire pour touti

(T T^∗)_i,i =X

j≥i

|T_i,j|² = (T^∗T)_i,i=X

j≤i

|T_j,i|². Pour i= 1 on trouve donc que

(T T^∗)_1,1 =X

j≥1

|T_1,j|² = (T^∗T)_1,1 =|T_1,1|²,

ce qui entraine que tous les coefficients extra-diagonaux T_1,j sont nuls. En appliquant le mˆeme raisonnement `a la ligne i= 2, on trouve

(T T^∗)_2,2=X

j≥2

|T_2,j|² = (T^∗T)_2,2=|T_1,2|²+|T_2,2|²=|T_2,2|²,

puisque T_1,2 = 0. Tous les coefficients extra-diagonaux T_2,j sont nuls... En r´eit´erant ce proc´ed´e, on montre que la matriceT est diagonale.

Remarque A.4.1 Des relations AQ = QD et A^∗Q = QD^∗ on d´eduit que si A est normale, alors les matrices A et A^∗ admettent la mˆeme base de vecteurs propres, qui sont les vecteurs colonnes de la matrice Q.

Il s’agit bien d’une g´en´eralisation des r´esultats concernant les matrices hermitiennes, car la matriceA d´efinie par (ı² =−1)

A=









ı 0 . . . 0 0 ı . .. ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 ı









est diagonalisable (car normale) sans ˆetre hermitienne.

Un exemple moins trivial est fourni par la matrice de permutation P ∈R^n×n de rangn

P =

qui est normale, donc diagonalisable sans mˆeme ˆetre sym´etrique : Q^∗P Q= Λ.

Enfin, toute matrice A diagonalisable n’est pas n´ecessairement normale ! On a vu qu’il faut que la base de vecteurs propres de A soit orthonormale pour avoir cette propri´et´e. L’exercice qui suit prouve qu’il existe des matrices diagonalisables qui ne sont pas normales.

Exercice A.4.1 Soit la matrice

A=

0 −1

2 3

.

Montrer que A est diagonalisable, puis calculer AA^∗ et A^∗A. Conclure.

Compl´etons ce paragraphe par l’´enonc´e de quelques r´esultats utiles sur les matrices hermi-tiennes.

Th´eor`eme A.4.1 (Courant–Fisher) Soit A ∈ C^n×n une matrice hermitienne dont les va-leurs propres (r´eelles) sont rang´ees suivant

λ_n≤λ_n−1 ≤. . .≤λ₂≤λ₁

(x, x) est lequotient de Rayleighde la matriceA. L’ensemble F(A) ={ρA(x), x∈Cⁿ, x6= 0}

est appel´e le champ des valeurs de la matrice A. Le champ des valeurs de A contient le spectre de A et aussi les valeurs du quotient de Rayleigh ρ_A(v) = λ pour tout vecteur propre v :Av=λv.

Pour d´emontrer le premier point du th´eor`eme, on consid`ere le sous–espace engendr´e par les vecteurs propresu_i associ´es auxn−k+ 1 valeurs propresλ_i (k≤i≤n). SoitV ⊂Cⁿ un sous–

espace quelconque de dimension k : W_k =< un, un−1, . . . , u_k >; puisque dimW_k = n−k+ 1, W_k∩V 6= {0}, il existe donc au moins un vecteur commun non nul x ∈ W_k∩V, que l’on ´ecrit x=

n

X

i=k

α_iu_i. Alors

ρ_A(x) = (x, Ax) (x, x) =

n

X

i=k

λ_iα²_i(u_i, u_i)

n

X

i=k

α²_i(u_i, u_i)

≤λ_k.

Par cons´equent m(V) = min

x∈V−{0}ρ_A(x)≤λ_k, et on en d´eduit que le maximum de m(V) sur tous les sous–espaces V de dimension k est plus petit queλ_k. Si on prend en particulier V =<

u₁, u₂,· · ·, u_k>, alors dimV =k etm(V) atteint la valeur maximale λ_k pour x=u_k ∈V. On proc`ede de mˆeme pour le second point du th´eor`eme, en introduisant cette fois V_k =<

u₁, u₂, . . . , u_k > le sous–espace de dimension k. Alors pour tout sous–espace W de dimen-sion n −k + 1, W∩V_k 6= {0} et par le mˆeme raisonnement, on en d´eduit que M(V) =

x∈Wmax−{0}

(x, Ax)

(x, x) ≥λ_k, puis que minW

dim^W=n−k+1

x∈Wmax−{0}

(x, Ax) (x, x) ≥λ_k.

La valeur minimale λ_k est atteinte en prenant pour sous–espace W =< u_n, u_n−1, . . . , u_k > et pour vecteur x=u_k.

Th´eor`eme A.4.2 Soit B=A+E la somme de deux matrices hermitiennes de C^n×n, on range les valeurs propres par ordre croissant :

A : λn≤λn−1≤. . .≤λ2≤λ1

E : ε_n≤ε_n−1≤. . .≤ε₂ ≤ε₁ B : µ_n≤µ_n−1≤. . .≤µ₂ ≤µ₁. Alors pour tout k= 1,2, . . . , n

(i) λ_k+ε_n≤µ_k≤λ_k+ε₁ (ii) |µ_k−λ_k | ≤ kEk.

Preuve : Soit u₁, u₂, . . . , u_n une base orthonorm´ee des vecteurs propres de la matrice A, et µ_k une valeur propre de B : on pose W_k =< u_n, u_n−1, . . . , u_k >, d’apr`es le th´eor`eme de Courant–Fisher

µ_k≤ max

x∈Wk−{0}ρ_B(x)≤ max

x∈Wk−{0}ρ_A(x) + max

x∈Wk−{0}ρ_E(x) soit encore µ_k≤λ_k+ε₁.

Pour la minoration, on ´ecrit A = B−E = B+E⁰ et le r´esultat pr´ec´edent appliqu´e `a la matriceB+E⁰ devientλ_k≤µ_k−ε_n.

Finalement, pour toutk= 1,2, . . . , n,λ_k+εn≤µ_k≤λ_k+ε1, soit encoreεn≤µ_k−λ_k≤ε1. On en d´eduit (ii) puisque pour toute matriceEet toute norme matriciellekEk,|ε_k| ≤ kEk ∀k= 1,2, . . . , n.

Ce r´esultat semble prometteur sur le plan num´erique, car il montre que la recherche des valeurs propres d’une matriceAhermitienne est th´eoriquement stable. Les valeurs propresλ(A) d´ependent continˆument des coefficients de A de la mani`ere suivante : si on pose AE =A+E avec E ∈C^n×nmatrice de perturbationhermitienne, alors

maxλ |λ(A_E)−λ(A)|= max

λ |λ(E)|kEk2 ≤ kEkF.

Cette majoration donne une borne maximale de variation des valeurs propres deA en fonction des coefficients deE. Malheureusement dans la pratique, les erreurs commises sur les coefficients de la matriceAsont dˆues soit `a la repr´esentation machine des nombres (erreur de troncature ou d’arrondi), soit aux erreurs de calcul qui en d´ecoulent. En cons´equence, bien qu’il soit souvent possible d’estimer kEkF, le Th´eor`eme A.4.2 n’est pas utilisable pour le calcul num´erique car la matriceE n’est jamais hermitienne !

Pour finir ce paragraphe, nous introduisons la d´ecomposition spectrale d’une matrice diagona-lisable. Pour cela, on se souvient que, par d´efinition, lorsqu’une matrice A est diagonalisable, il existe U inversible et Λ diagonale, telles que A = UΛU⁻¹. On a vu `a la Proposition A.2.3 que les vecteurs colonnes de U sont des vecteurs propres `a droite de A. De la mˆeme fa¸con, les vecteurs ligne de U⁻¹, appartenant `a C^1×net not´es (v^∗_i)_1≤i≤n,

sont des vecteurs propres `a gauche deA. En effet, la relation U<sup>−1</sup>A= ΛU<sup>−1</sup> peut s’´ecrire, ligne par ligne, sous la forme v<sub>i</sub><sup>∗</sup>A=λ<sub>i</sub>v<sup>∗</sup><sub>i</sub>, pour ivariant de 1 `an. En particulier, les ordres de multi-plicit´e deλ_i `a gauche et `a droite sont identiques.

Au final, on peut r´esumer la relation A=UΛU⁻¹ dans les formules

A= [u₁ u₂ . . . u_n] une mˆeme valeur propreλ_k, on peut ´ecrireA sous la forme

A=

Cette relation est appel´eed´ecomposition spectralede la matriceA. Qui plus est, les (P_k)_1≤k≤d v´erifient les relations suivantes.

Proposition A.4.6 Pour k variant de 1 `a n, P<sub>k</sub> est la matrice d’un projecteur sur le sous-espace propre Ker (A−λ<sub>k</sub>I<sub>n</sub>). De plus, la somme de ces projecteurs est ´egale `a l’identit´e. En

Preuve : La d´emonstration est relativement ais´ee, sous r´eserve que l’on se souvienne de la d´efinition des vecteurs (u_i)_i et (v_i^∗)_i. En effet, de la relation U⁻¹U =I_n, on tire imm´ediatement

v_i^∗uj =δij, pour 1≤i, j≤n.

Pour prouver (i), on ´ecrit simplement P_kui = X P_k sont compl`etement d´etermin´ees par leur action sur ceux-ci.

Pour conclure le cas des matrices diagonalisables, on d´eduit de (A.1) et de la Proposition ci-dessus que

AP_k=P_kA=λ_kP_k, pour 1≤k≤d.

Dans le document MA261 2005-2006 Introduction au calcul scientifique. Aspects algorithmiques (Page 93-99)