Dans cette section, nous consid´erons tout d’abord un probl`eme instationnaire 1d, `a savoir celui de la corde vibrante, fix´ee en ses deux extr´emit´es. On souhaite calculer num´eriquement les d´eplacements verticaux, `a partir d’une position initiale connue (`at= 0), jusqu’`a un instant final T >0. Si on suppose que la corde est de longueurL, on a vu queu v´erifie
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 = 0 pour x∈]0, L[ ett∈]0, T[, (2.31) u(0, t) =u(L, t) = 0 pourt∈]0, T[, (2.32) u(x,0) =u0(x) et ∂u
∂t(x,0) =u1(x) pour x∈]0, L[. (2.33) La solution d´epend de deux variables, l’une spatialex, et l’autre temporellet, et l’´equation (2.31) met en jeu deux d´eriv´ees partielles secondes, l’une par rapport `ax, et l’autre par rapport `at. Il est donc naturel de consid´erer une approximation par diff´erences finies, pour chacune des deux d´eriv´ees. Par ailleurs, la seconde condition initiale comprend une d´eriv´ee premi`ere par rapport au temps, que nous allons ´egalement approcher par diff´erences finies. Enfin, pour avoir acc`es aux valeurs en (x, t) ∈ {(0,0),(L,0),(0, T),(L, T)}, nous allons supposer que d’une part (2.32) est valable pourt=T, et d’autre part que la premi`ere partie de (2.33) est valable enx = 0 et en x=L, avec u0(0) =u0(L) = 0.
Dans la suite, on introduit un pas de discr´etisation spatial, `a savoir hx = L/(nx+ 1), et un pas de discr´etisation temporel a priori diff´erent, ht = T /(nt+ 1). L’intervalle [0, L] est donc d´ecoup´e en nx+ 1 intervalles, et [0, T] est d´ecoup´e en nt+ 1 intervalles. Pour bien diff´erencier les discr´etisations en espace et en temps, on note les valeurs approch´ees de la solution u aux
”points” d’abscisse xi = ihx et d’ordonn´ee tm = mht par (umi )0≤i≤nx+1,0≤m≤nt+1. On arrive donc aux approximations :
∂2u
∂t2(xi, tm)≈ um+1i −2umi +um−1i
h2t , 1≤i≤nx, 1≤m≤nt, (2.34)
∂2u
∂x2(xi, tm)≈ umi+1−2umi +umi−1
h2x , 1≤i≤nx, 1≤m≤nt, (2.35)
∂u
∂t(xi,0)≈ u1i −u0i
ht , 1≤i≤nx. (2.36)
A partir de l`a, il est ais´e de construire l’ensemble des ´equations v´erifi´ees par les inconnues (umi )0≤i≤nx+1,0≤m≤nt+1. Commen¸cons par l’approximation de (2.31) aux ”points” int´erieursde discr´etisation (xi, tm)1≤i≤nx,1≤m≤nt, c’est-`a-dire dans l’ouvert]0, L[×]0, T[. Ainsi, on trouve :
um+1i −2umi +um−1i
h2t −c2umi+1−2umi +umi−1
h2x = 0, 1≤i≤nx, 1≤m≤nt. (2.37) Les conditions aux limites (2.32) permettent de d´eterminer les valeurs extr´emales en espace, c’est-`a-dire pour i = 0 et i =nx+ 1, ce qui correspond aux extr´emit´es du domaine de calcul spatial x0 = 0 etxnx+1=L. Par identification, on en d´eduit
um0 =umnx+1= 0, 1≤m≤nt+ 1. (2.38)
Enfin, les deux conditions initiales permettent de calculer les valeurs approch´ees aux deux pre-miers instant, `a savoir en t0 ett1, par l’interm´ediaire de
u0i =u0(xi), 0≤i≤nx+ 1, (2.39) u1i −u0i
ht =u1(xi), 1≤i≤nx. (2.40)
Si on regroupe (2.37-2.40), on aboutit apr`es r´eorganisation `a m= 0 :
Tout d’abord, on calcule les valeurs de la solution approch´ee enincr´ementant en temps, en com-men¸cant par l’instantt0 = 0, en poursuivant part1, puist2,· · ·, jusqu’`a l’instant finaltnt+1 =T. La valeur finale est bien une inconnue du probl`eme, comme sugg´er´e par la remarque 1.2.1 sur la solution exacte.
Par ailleurs, si on s’int´eresse `a la d´ependance entre les donn´ees, on constate queum+1i d´epend de (umi1)i−1≤i1≤i+1 et de um−1i . Ces valeurs d´ependent elles-mˆemes de (um−1i2 )i−2≤i2≤i+2, de (um−2i1 )i−1≤i1≤i+1 et de um−3i , et ainsi de suite... Le sch´ema ci-dessous r´esume la situation, o`u l’on a repr´esent´e le cˆone de d´ependance discretde la solution calcul´ee.
i+1
Fig. 2.6 – Cˆone de d´ependance discret
D’un point de vue algorithmique, il est int´eressant d’introduire la suite de vecteurs (~vm)0≤m≤nt+1 de Rnx, contenant les approximations spatiales successives sur ]0, L[, calcul´ees `a l’aide de (2.41-2.43) : (~vm)i =umi , pour 1 ≤i≤nx, et 0 ≤m ≤nt+ 1. Comme dans le cas statique, il n’est pas n´ecessaire de stocker explicitement les valeurs aux extr´emit´es x = 0 et x = L, qui sont connues `a tout instant. On peut alors r´e´ecrire (2.43) sous la forme vectorielle ´equivalente, pour 1≤m≤nt :
De cette fa¸con, on retrouve bien une forme vectorielle de type 1d, semblable `a la formulation vectorielle statique 1d (2.5). Par contre, on obtient un sch´ema explicite, au sens o`u il n’est pas n´ecessaire de r´esoudre un syst`eme lin´eaire pour d´eterminer la solution approch´ee. Enfin, les matrices A1 etA0
1 diff`erent par un coefficient multiplicatif...
Dans la suite, nous n’´etudions pas dans les d´etails la convergence de la solution discr`ete (not´ee uapp) vers la solution exacteu. Nous nous contentons, pour fixer les id´ees, d’une d´efinition, avec une mesure de l’erreur par l’interm´ediaire d’une normeabstraite (k · k.)
D´efinition 2.5.1 Un sch´ema est dit convergent pour la norme k · k si, et seulement si, pour toute donn´ee initiale (u0, u1), on a la propri´et´e
kuapp−uk →0,lorsque hx, ht→0, le rapport ht/hx ´etant fix´e.
NB. Dans la d´efinition ci-dessus, on remarque que les pas de discr´etisation hx et ht sont li´es entre eux.
Cette ´etude de la convergence repose usuellement (cf. [2]) sur deux ingr´edients : la consis-tance, et lastabilit´edu sch´ema. Nous allons uniquement ´evoquer la notion de stabilit´e, `a l’aide d’un calcul simple. Si on suppose que le domaine spatial est ´egal `a R, alors on peut v´erifier que la solution exacte est de la forme
u(x, t) = 1
2(u0(x+ct) +u0(x−ct)) + 1
2(v1(x+ct)−v1(x−ct)), v1(t) = Z t
0
u1(s)ds. (2.45) Remarque 2.5.1 La vitesse de propagation de l’information, associ´ee `a (2.45), est ´egale `a
±c. Les ondes se propagent donc `a la vitesse c (en module) sur la corde. Cette propri´et´e reste valable pour les probl`emes hyperboliques en dimension 2 ou 3 d’espace (cas 2d, 3d instationnaires hyperboliques.)
En particulier, la valeur deu au ”point” (x, t) d´epend de – la valeur deu0 en x±ct;
– la valeur dev1 enx±ct, c’est-`a-dire la valeur deu1 sur [x−ct, x+ct].
On peut donc, `a l’instar du cas discret, d´efinir lecˆone de d´ependance de la solution exacte.
t
u(x,t)
x x−ct x+ct
Fig. 2.7 – Cˆone de d´ependance
Si maintenant on revient `a la question de la stabilit´e, il est clair qu’unecondition n´ecessairede stabilit´e du sch´ema est que le cˆone de d´ependance discret contiennesuffisammentd’informations : en d’autres termes, il doit contenir le cˆone de convergence associ´e `a la solution exacte !
m
Fig.2.8 – Stabilit´e ou instabilit´e
Si l’on compare les pentes, `a savoir ht/hx pour le sch´ema discret et 1/c pour la solution exacte, la condition n´ecessaire de stabilit´e du sch´ema explicite se r´esume `a
cht≤hx. (2.46)
On parle habituellement decondition CFL, pour Courant, Lax et Friedrichs.
Il est possible (cf. [2]) de prouver que la condition CFL (2.46) est en fait une condition n´ecessaire et suffisantede stabilit´e du sch´ema explicite. Pour s’affranchir d’une condition de sta-bilit´e, on peut introduire dessch´emas implicites(voir les s´eances de Travaux Pratiques.) Bien sˆur, ce type d’approximation `a l’aide des diff´erences finies, r´esultant en des sch´emas explicites ou implicites, est utilisable a priori pour les probl`emes instationnaires 2d et 3d, hyperboliques ou paraboliques, pr´esent´es au chapitre 1.
Pour conclure cette section, nous abordons bri`evement la discr´etisation des probl`emes aux va-leurs propres, puis celle des probl`emes stationnaires. Reprenons le cas de la membrane ´elastique Ω2=]0,1[2.
Le probl`eme aux valeurs propres s’´ecrit : trouver les couples modes propres3 - valeurs propres (x, y)7→uk(x, y) et λk >0 tels que
−c2∆2uk=λkuk sur Ω2, uk= 0 sur ∂Ω2. (2.47) (Ci-dessus,k est un entier naturel non nul par convention.)
Une fois le pas de discr´etisationhfix´e (h= 1/(n+1),N =n2), on en d´eduit l’approximation par diff´erences finies : trouver les couples modes propres discrets - valeurs propres discr`etes~ul∈RN etλl tels que
c2A2~ul=λl~ul. (2.48)
CommeA2est d´efinie-positive (proposition 2.3.2), on en d´eduit imm´ediatement que toute valeur propre discr`ete λl est strictement positive. En effet :
λlkulk22 =λl(ul, ul) =c2(A2ul, ul)>0.
Des m´ethodes de calcul des valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice sont pr´esent´ees au chapitre 5. Ceci r´epond `a la question de la r´esolution du probl`eme discret. Comment peut-on v´erifier que celui-ci est une bonne approximation du probl`eme initial ? La question ´etant com-plexe, nous nous contentons de mettre en avant la probl´ematique associ´ee... Les valeurs propres discr`etes ´etant en nombre fini d’apr`es un r´esultat classique (proposition A.2.1), il est clair qu’on ne peut esp´erer approcher tous les couples (uk, λk)k∈N, pour h (et donc N) fix´es ! N´eanmoins,
3On rappelle qu’un mode propre n’est pas identiquement nul.
le nombre de modes propres discrets croˆıt comme N, et tend bien vers l’infini lorsque h →0...
Ensuite, concernant la convergence des modes discrets vers les modes du probl`eme initial, nous sommes confront´es `a deux difficult´es : identifier vers quel mode propre une suite de modes propres discrets (index´ee parN) converge, et s’assurer qu’`a la limite N →+∞, on atteint tous les modes propres.
Nous finissons par les probl`emes stationnaires du type (pourν >0 donn´e) : trouver (x, y)7→
u(x, y) tel que
−ν2u−c2∆2u=g sur Ω2, u= 0 sur∂Ω2. (2.49) Le pas h ´etant fix´e (h = 1/(n+ 1), N =n2), l’approximation par diff´erences finies consiste en le syst`eme lin´eaire
A2,ν~u=~u, avec A2,ν =c2A2−ν2IN. (2.50) On retrouve l`a un syst`eme lin´eaire `a r´esoudre, dont la matriceA2,ν est sym´etrique. Malheureu-sement, lorsque ν est suffisamment grand, cette matrice n’est plus d´efnie-positive. Il est donc n´ecessaire d’utiliser une m´ethode de type factorisation de Gauss (chapitre 3), pour laquelle des probl`emes de stabilit´e num´erique peuvent se produirent. Quant `a la question de la convergence, elle est ´egalement complexe, ´etant ´etroitement reli´ee `a celle de la convergence du probl`eme aux valeurs propres.
Les m´ ethodes directes
3.1 Introduction
Le calcul de la solution d’un syst`eme lin´eaire d’ordre 20 par les formules de Cramer est impos-sible `a r´ealiser sur un ordinateur, car il requiert environ 1021 op´erations ´el´ementaires (+,−,∗, /)
1.
En cons´equence, il est n´ecessaire de d´eterminer d’autres m´ethodes, qui soient utilisables en pratique, par exemple pour r´esoudre les syst`emes lin´eaires du chapitre 2.
On montre pour commencer que si la matrice d’un syst`eme lin´eaire est diagonale ou de forme triangulaire, ceci apporte une simplification importante dans le calcul explicite de la solution de ce syst`eme. Comment utiliser cette particularit´e pour traiter le cas g´en´eral ? Une premi`ere approche conduit `a la m´ethode dite d’´elimination, une seconde `a la m´ethode de factorisation.
Ces m´ethodes sont d´ecrites dans les paragraphes suivants. Les algorithmes classiques qui en d´ecoulent sont appel´es m´ethodes directes; les m´ethodes de Gauss, Crout et Cholesky font partie de cet ensemble d’algorithmes, leur ´etude fait l’objet de ce chapitre. Le dernier paragraphe constitue une introduction `a l’utilisation pratique de ces m´ethodes pour la r´esolution de syst`emes lin´eaires `a matrice creuse, tels que ceux obtenus `a partir de la discr´etisation par diff´erences finies (cf. chapitre 2.)