Problématique

Afin de simuler la dynamique des fluides incompressibles, le défi consiste à s’assurer que l’équation de continuité est bien satisfaite. Pour y parvenir, la méthode SPH traditionnelle, encore appelée Weakly Compressible Smoo- thed Particle Hydrodynamics “WCSPH”[32] , que l’on retrouve dans les articles [5, 32, 53, 123, 119, 120, 127] par exemple, suppose que le fluide est légèrement compressible. Dans cette condition, la densité du fluide (ou encore de chaque particule fluide) est calculée au cours de chaque pas de temps. Le moyen le plus souvent adopté pour approximer l’incompressibilité du fluide est d’utiliser une équation d’état qui relie la pression à la densité volumique. Bien que cette équa- tion d’état puisse avoir plusieurs formes (voir les articles mentionnés ci-dessus) ; l’élément essentiel est que le module de la vitesse du son utilisé dans cette équa- tion doit être assez faible pour être pratique, mais être assez élevé pour maintenir la densité approximativement constante au cours de chaque pas de temps [15]. L’utilisation d’un module de la vitesse du son élevé entraîne une condition de Courant-Friedrich-Lewy (CFL) très sévère sur le pas de temps pour les calculs [32, 44, 65, 92, 129, 184]. Cette condition de quasi incompressibilité introduit cer- tainement des erreurs qui proviennent des fluctuations de densité qui peuvent conduire à des oscillations importantes de la pression [92, 184]. Ces fluctuations peuvent entraîner de l’instabilité numérique. Par ailleurs, pour les problèmes dont la pression est le paramètre d’intérêt, les résultats obtenus seront probable- ment corrompus à cause des fluctuations de la densité. De plus, la compressibi- lité artificielle peut entraîner des problèmes avec la réflexion des ondes sonores aux frontières du domaine de calcul [32, 159]. Un traitement exact de l’incom- pressibilité doit prendre en compte la contrainte cinématique sur la vitesse qui veut que sa divergence soit nulle [32].

les maillages eulériens, les approches habituellement utilisées font usage d’une méthode de projection qui est un schéma à pas fractionnaire pour imposer la condition d’incompressibilité dans les calculs. La méthode de projection a été in- troduite en 1968 par Chorin [22] et a été largement appliquée à la méthode des différences finies [141, 178]. Cette approche a été pour la première fois appliquée à la méthode SPH en 1999 par Cummins et Rudman [32] qui lui ont donné le nom de Projection Smoothed Particle Hydrodynamics (PSPH), nom que nous al- lons adopter dans notre travail. Lee et al. [92] ont mis sur pied une méthode SPH incompressible dont ils se sont servis pour résoudre les problèmes d’écoulement autour d’un cylindre carré, d’écoulement dans une cavité avec couvercle en mou- vement et le problème de rupture de barrage. Ils ont trouvé que pour tous ces problèmes, leur méthode SPH incompressible donnait des profils de vitesse et de pression plus lisses qu’avec la méthode WCSPH. En outre, le temps CPU qu’ils ont obtenu avec leur méthode SPH incompressible était de 2 à 20 fois inférieur au temps obtenu avec la méthode WCSPH. Brown et al. [18], Guermond et al. [56], Hosseini et Feng [65] ainsi que d’autres auteurs ont souligné l’existence d’un pro- blème important avec l’application des conditions de Neumann aux frontières pour la pression utilisée dans plusieurs schémas de projection pour la correction de la pression que l’on retrouve dans les travaux, par exemple de Cummins et Rudman [32] et Lee et al. [92]. Typiquement, des conditions aux frontières de Neumann nulles sont imposées à l’équation de Poisson satisfaite par la pression. Cependant, dans plusieurs situations d’écoulement comme, pour des problèmes ayant des frontières ouvertes, ou pour des écoulements autour des obstacles ou dans un canal ayant une section variable, la composante normale de la pres- sion n’est pas nulle sur la frontière. Ainsi, ce choix de conditions aux frontières conduit à des couches numériques aux frontières qui a comme conséquence l’im- précision des calculs. Hosseini et Feng [65] ont évité ce problème en utilisant le schéma de projection rotationnelle de Timmermans et al. [173] et ont imposé

une condition de Neumann non-homogène sur la pression qui a été démontrée qu’elle est compatible avec l’équation de la quantité de mouvement linéaire.

Les problèmes qui nuisent sérieusement à la précision et à la stabilité des si- mulations avec SPH, dues au regroupement des particules, (distribution non iso- trope), ont été bien documentés dans la littérature scientifique (voir par exemple, [43, 68, 184]). Lorsque le milieu ou la matière d’intérêt subit une contrainte d’ex- tension (étirement), le mouvement des particules devient instable, ce qui a pour conséquence de pousser les particules SPH à former des grumeaux. Ce compor- tement peut à terme conduire à l’explosion des calculs. Monaghan [122] a dé- montré que l’instabilité d’extension (“tensile instability”) présente dans les mé- thodes SPH va entrainer un regroupement non physique des particules. Il a dé- montré comment cette instabilité pouvait être retirée en utilisant une contrainte artificielle. L’idée principale de cette contrainte artificielle est d’introduire une force de répulsion de faible portée entre des paires de particules voisines pour les empêcher de trop se rapprocher lorsque les deux particules sont dans un état de contrainte d’extension qui tend à favoriser une attraction plus ou moins in- tense entre elles. Hu et Adams [69, 70] ont géré le problème de regroupement des particules dans leur méthode de projection pour SPH en corrigeant la posi- tion des particules avec une méthode itérative non-linéaire. Chaniotis et al. [19] ont remédié au problème du désordre des particules en réinitialisant de manière périodique les particules SPH sur un maillage uniforme et en interpolant les pro- priétés des particules précédentes sur la position des nouvelles particules. Xu et al. [184] ont appliqué l’idée du changement de la position des particules. Cette idée avait été proposée dans le contexte de la méthode du volume fini par Nestor et al. [132]. Les auteurs de [184] ont légèrement déplacé les particules des lignes de courant et se sont servis de développement en série de Taylor pour corriger les variables hydrodynamiques. Les résultats qu’ils ont obtenus pour les champs de pression ne contenaient plus d’oscillations non physiques pour toutes les va-

leurs du nombre de Reynolds. Des résultats similaires pouvaient tout aussi bien être obtenus avec la stratégie de réinitialisation de Chaniotis et al [19].