Une nouvelle méthode smoothed particle hydrodynamics :
simulation des interfaces immergées et de la dynamique
Brownienne des molécules avec des interactions
hydrodynamiques
par
Rodrigue Giselin Kéou Noutcheuwa
Département de Physique Faculté des arts et sciences
Thèse présentée à la faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de
Philosophiæ Doctor (Ph.D.) en Physique
Décembre, 2012
c
Faculté des études supérieures
Cette thèse intitulée
Une nouvelle méthode smoothed particle hydrodynamics :
simulation des interfaces immergées et de la dynamique
Brownienne des molécules avec des interactions
hydrodynamiques
présentée par
Rodrigue Giselin Kéou Noutcheuwa
a été évaluée par un jury composée des personnes suivantes :
Président-rapporteur :
Normand Mousseau
Directeur de recherche :
Robert Gwyn Owens
Membre du Jury :
Pierre Bastien
Examinateur externe :
Gilles Ausias
Représentant du doyen de la FAS : Normand Mousseau
Thèse acceptée le : 31 décembre 2012
Dans cette thèse, nous présentons une nouvelle méthode smoothed particle hydrodynamics (SPH) pour la résolution des équations de Navier-Stokes incom-pressibles, même en présence des forces singulières. Les termes de sources sin-gulières sont traités d’une manière similaire à celle que l’on retrouve dans la méthode Immersed Boundary (IB) de Peskin (2002) ou de la méthode régulari-sée de Stokeslets (Cortez, 2001). Dans notre schéma numérique, nous mettons en oeuvre une méthode de projection sans pression de second ordre inspirée de Kim et Moin (1985). Ce schéma évite complètement les difficultés qui peuvent être rencontrées avec la prescription des conditions aux frontières de Neumann sur la pression. Nous présentons deux variantes de cette approche : l’une, La-grangienne, qui est communément utilisée et l’autre, Eulerienne, car nous consi-dérons simplement que les particules SPH sont des points de quadrature où les propriétés du fluide sont calculées, donc, ces points peuvent être laissés fixes dans le temps.
Notre méthode SPH est d’abord testée à la résolution du problème de Poi-seuille bidimensionnel entre deux plaques infinies et nous effectuons une analyse détaillée de l’erreur des calculs. Pour ce problème, les résultats sont similaires autant lorsque les particules SPH sont libres de se déplacer que lorsqu’elles sont fixes.
Nous traitons, par ailleurs, du problème de la dynamique d’une membrane immergée dans un fluide visqueux et incompressible avec notre méthode SPH.
La membrane est représentée par une spline cubique le long de laquelle la ten-sion présente dans la membrane est calculée et transmise au fluide environnant. Les équations de Navier-Stokes, avec une force singulière issue de la membrane sont ensuite résolues pour déterminer la vitesse du fluide dans lequel est im-mergée la membrane. La vitesse du fluide, ainsi obtenue, est interpolée sur l’in-terface, afin de déterminer son déplacement. Nous discutons des avantages à maintenir les particules SPH fixes au lieu de les laisser libres de se déplacer.
Nous appliquons ensuite notre méthode SPH à la simulation des écoulements confinés des solutions de polymères non dilués avec une interaction hydrodyna-mique et des forces d’exclusion de volume. Le point de départ de l’algorithme est le système couplé des équations de Langevin pour les polymères et le solvant (CLEPS) (voir par exemple Oono et Freed (1981) et Öttinger et Rabin (1989)) dé-crivant, dans le cas présent, les dynamiques microscopiques d’une solution de polymère en écoulement avec une représentation bille-ressort des macromolé-cules. Des tests numériques de certains écoulements dans des canaux bidimen-sionnels révèlent que l’utilisation de la méthode de projection d’ordre deux cou-plée à des points de quadrature SPH fixes conduit à un ordre de convergence de la vitesse qui est de deux et à une convergence d’ordre sensiblement égale à deux pour la pression, pourvu que la solution soit suffisamment lisse. Dans le cas des calculs à grandes échelles pour les altères et pour les chaînes de bille-ressort, un choix approprié du nombre de particules SPH en fonction du nombre des billes Npermet, en l’absence des forces d’exclusion de volume, de montrer que le coût de notre algorithme est d’ordre O(N).
Enfin, nous amorçons des calculs tridimensionnels avec notre modèle SPH. Dans cette optique, nous résolvons le problème de l’écoulement de Poiseuille tridimensionnel entre deux plaques parallèles infinies et le problème de l’écou-lement de Poiseuille dans une conduite rectangulaire infiniment longue. De plus, nous simulons en dimension trois des écoulements confinés entre deux
plaques infinies des solutions de polymères non diluées avec une interaction hydrodynamique et des forces d’exclusion de volume.
Mots clés :
smoothed particle hydrodynamics (SPH), écoulement incom-pressible, méthode de projection, force singulière, membrane immergée, dynamique Brownienne, interactions hydrodynamiques, équations couplées de Langevin, écoulement confiné.In this thesis we develop a new smoothed particle hydrodynamics (SPH) me-thod suitable for solving the incompressible Navier-Stokes equations, even with singular forces. Singular source terms are handled in a manner similar to that in the immersed boundary (IB) method of Peskin (2002) or in the method of regu-larized Stokeslets (Cortez, 2001). The numerical scheme implements a second-order pressure-free projection method due to Kim and Moin (1985) and comple-tely obviates the difficulties that may be faced in prescribing Neumann pressure boundary conditions. We present two variants of this approach, one Langrangian which is commonly used and one Eulerian, simply because we consider that the SPH particles are quadrature points on which the fluid properties are calculated, therefore, these points can be kept fixed in time.
The proposed SPH method is first tested on the planar start-up Poiseuille problem and a detailed error analysis is performed. For this problem, the results are similar whether the SPH particles are free to move or fixed on a regular grid. Our hybrid SPH-IB method is then used to calculate the dynamics of a stret-ched immersed elastic membrane. The membrane is represented by a cubic spline along which the tension in the membrane is computed and transmitted to the surrounding fluid. The Navier-Stokes equations with singular force due to the membrane are then solved to determine the velocity of the fluid in which the membrane is immersed. The fluid velocity thus obtained is interpolated on the interface, to determine its displacement. We discuss the advantages, in this
problem, of fixing the SPH particles, rather than allowing them to move with the fluid.
A new coupled Brownian dynamics-SPH method for the computation of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic inter-action and excluded volume forces is next presented. The starting point for the algorithm is the system of coupled Langevin equations for polymer and solvent (CLEPS) (see Oono and Freed (1981) and Öttinger and Rabin (1989), for example) describing, in the present case, the microscopic dynamics of a flowing polymer solution with a bead-spring representation of the macromolecules. Numerical tests of some two-dimensional channel flows reveal that use of a second-order projection scheme coupled with fixed SPH quadrature points leads to second-order velocity convergence and almost second-second-order pressure convergence, pro-vided that the solution is sufficiently smooth. In the case of large-scale dumbbell and bead-spring chain calculations, an appropriate scaling of the number of grid points as a function of the number of beads N ensures, in the absence of excluded volume forces, that the cost of our algorithm is O(N) flops.
Finally, we begin calculations in three dimensions with our SPH model. To this end, we solve in three dimensions the problem of Poiseuille flow between two infinite and parallel plates and the problem of Poiseuille flow in a rectangular infinitely long duct. In addition, we carry out three dimensional computations of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic interaction and excluded volume forces.
Key words :
smoothed particle hydrodynamics (SPH), incompressible flow, projection method, singular force, immersed boundary, Brownian dyna-mics, hydrodynamic interactions, fluctuating hydrodynadyna-mics, coupled Langevin equations, confined flows.Sommaire i
Summary v
Liste des figures xiii
Liste des tableaux xxi
Dédicace xxiii
Remerciements xxv
1 Introduction 1
1.1 Généralités . . . 1
1.2 Les méthodes avec maillage . . . 2
1.3 Les méthodes sans maillage . . . 4
1.4 Smoothed particle hydrodynamics (SPH) . . . 5
1.4.1 Les avantages de la méthode SPH . . . 6
1.4.2 Les applications de la méthode SPH . . . 7
1.4.3 Problématique . . . 8
1.5 Objectifs de la thèse . . . 11
1.6 Organisation de la thèse . . . 12
2 Une nouvelle méthode SPH 17
2.1 Modèles constitutifs des écoulements des fluides visqueux et
in-compressibles . . . 18
2.1.1 Le théorème transport de Reynolds . . . 18
2.1.2 La conservation de la masse . . . 18
2.1.3 La conservation de la quantité de mouvement . . . 19
2.1.4 Les équations de Navier-Stokes . . . 21
2.2 Un schéma de projection de second ordre . . . 22
2.3 Les formulations SPH . . . 25
2.3.1 La fonction et la longueur de lissage . . . 26
2.3.2 Erreur de l’approximation intégrale . . . 30
2.3.3 Forme discrète de l’approximation intégrale . . . 30
2.3.4 Le calcul du Laplacien . . . 32
2.4 Les conditions aux frontières . . . 37
2.4.1 La méthode des particules répulsives . . . 38
2.4.2 Méthode des points de référence et des particules fantômes 39 2.4.3 Méthode des particules images . . . 41
2.5 La recherche des voisins . . . 44
2.6 Discrétisation des équations de projection . . . 46
2.6.1 La méthode PSPH-Lagrangienne (LPSPH) . . . 46
2.6.2 La méthode PSPH-Eulerienne (EPSPH) . . . 51
2.6.3 Avantages de la méthode EPSPH sur la méthode LPSPH . . 53
2.6.4 Remarques sur la résolutions des équations des méthodes LPSPH et EPSPH . . . 55
2.7 Test numérique : écoulement de Poiseuille bidimensionnel . . . 57
2.7.1 Résolution analytique . . . 57
2.7.2 Résolution numérique . . . 59
2.8 Conclusion . . . 74
3 Dynamique d’une interface immergée 77 3.1 Modélisation de l’interface . . . 79
3.1.1 La densité de force exercée par l’interface . . . 79
3.1.2 Le déplacement de l’interface . . . 81
3.1.3 Représentation de l’interface et des forces . . . 82
3.2 Forme discrète des équations de l’interface élastique . . . 83
3.2.1 Utilisation des splines cubiques . . . 83
3.3 Forme discrète des équations de connexion . . . 84
3.4 Schéma d’évolution semi-implicite . . . 85
3.5 La description du problème . . . 87
3.5.1 La configuration de repos . . . 87
3.5.2 La configuration quelconque . . . 88
3.5.3 La configuration d’équilibre . . . 89
3.6 Résultats numériques . . . 90
3.6.1 Problème de la membrane stationnaire immergée . . . 90
3.6.2 Problème de la membrane non stationnaire immergée . . . 98
3.6.3 Résultats de la convergence . . . 109
3.7 Conclusion . . . 113
4 Simulation des écoulements de suspension de chaînes de bille-haltère dans des géométries confinées avec des interactions hydrodynamiques 117 4.1 Introduction . . . 117
4.1.1 Progrès récents . . . 120
4.1.2 Description du modèle proposé et la méthode numérique . 122 4.2 Modèle mathématique . . . 127
4.2.1 Équations du mouvement pour des chaînes de bille-ressorts 127 4.2.2 Équations du mouvement pour solvant . . . 130
4.3 Méthode numérique . . . 133
4.3.1 Un schéma de prédicteur-correcteur . . . 133
4.3.2 Les équations de Navier-Stokes (4.2.13)-(4.2.14) . . . 141
4.4 Résultats numériques . . . 144
4.4.1 Précision et ordre de convergence . . . 145
4.4.2 Résultats pour We > 0 . . . 152
4.5 Conclusion . . . 162
4.A Dérivation de l’équation pour une bille (4.2.1). . . 166
4.A.1 Vitesse d’un petit cylindre se déplaçant lentement dans un domaine semi-infini à deux dimensions . . . 169
4.A.2 Relation entre les coefficients de friction d’entrée et effectif (temps-long) . . . 171
4.B EDS discrète pour une seule particule en équilibre . . . 176
5 Simulation en dimension trois 179 5.1 Introduction . . . 179
5.2 Écoulement de Poiseuille tridimensionnel entre deux plaques in-finies et dans un canal rectangulaire . . . 180
5.2.1 Solutions analytiques . . . 180
5.2.2 Résolutions numériques . . . 183
5.3 Dynamique de polymères en suspension confinés dans un canal tridimensionnel entre deux plaques infinies . . . 188
5.3.1 Travaux effectués avec le canal rectangulaire . . . 196
5.4 Conclusion . . . 198
5.A Relation entre les coefficients de friction d’entrée et effectif (temps-long) . . . 199
6 Conclusion Générale 203 6.1 Conclusion . . . 203
6.2 Recherche future . . . 207
2.1 Gestion des conditions aux frontières par la méthode des points de référence et particules fantômes. . . 40 2.2 Gestion des conditions aux frontières par la méthode des
parti-cules images. Nous pouvons y voir les partiparti-cules fluides ou réelles ainsi que leurs images par rapport à la frontière. . . 42 2.3 Les voisins d’une particule fluide i : les voisins de la particule
fluide sont toutes les particules situées dans un disque de rayon 2h et centré en i qui sont étiquetées par j dans la somme de l’équation (2.6.2) ; la particule i est incluse dans cette somme. . . 47 2.4 Problème de Poiseuille dans le plan. Comparaison entre la
solu-tion exacte (2.7.4) et la solusolu-tion numérique de la méthode EPSPH de la composante de la vitesse dans la direction de l’écoulement. Re = 1.25× 10−2, Nx = Ny= 64, h = 1.525∆x, ∆t = 1.25 × 10−6. . . 63
2.5 Problème de Poiseuille dans le plan. Évolution de l’erreur en fonc-tion du temps pour le problème de Poiseuille. (A) h = 1.525∆x et (B) h = 3∆x. Re = 1.25 × 10−2, ∆t = 1.25 × 10−6. . . 65 2.6 Problème de Poiseuille dans le plan. Graphe log-log de l’erreur
de la vitesse à t = 1.25 × 10−2 en utilisant la méthode EPSPH en fonction du nombre de particules dans la direction x. Re = 1.25 × 10−2, ∆t = 1.25 × 10−6. . . 67
2.7 Problème de Poiseuille dans le plan. Graphe log-log de l’erreur de la vitesse obtenue par Bierbrauer et al. [15] à t = 1.25 × 10−2 en fonction du nombre de particules Nxdans la direction x. . . 69
2.8 Problème de Poiseuille dans le plan. Graphe log-log de l’erreur de la vitesse à t = 1.25 × 10−2 en utilisant la méthode LPSPH en fonction du nombre de particules dans la direction x. Re = 1.25 × 10−2, ∆t = 1.25 × 10−6. . . 70
2.9 Problème de Poiseuille dans le plan. Graphe log-log de l’erreur de la vitesse à t = 1.25 × 10−2 en utilisant la méthode EPSPH en fonction de la longueur de lissage h. Re = 1.25 × 10−2, ∆t = 1.25× 10−6. . . 71
3.1 Interface immergée : courbe lisse et fermée Γ (t) . . . 79
3.2 Interface immergée : sa représentation discrète Γ (tn) . . . 82
3.3 Les configurations initiales, de repos et d’équilibre de la mem-brane élastique . . . 90
3.4 Membrane Hookéenne en équilibre. Coupe de la distribution de la pression p1/2 calculée avec la méthode EPSPH le long de (A)
y = 0, (B) x = 0, comparée avec les valeurs exactes. T0 = 3, µ = 0.1,
ρ = 1, Nx = Ny = 70, Nb = 140, ∆t = 0.1∆x, 2h = 1.2(∆x + ∆y),
3.5 Membrane Hookéenne en équilibre. Évolution de l’erreur abso-lue moyenne de la pression calculée en se servant de la méthode LPSPH sans réinitialisation des particules fluides ((A)-(B)), mé-thode LPSPH avec réinitialisation des particules fluides ((C)-(D)) et méthode EPSPH ((E)-(F)). Les résultats montrés sur les figures (A), (C) et (E) ont été calculés avec initialement Nx = Ny = 40,
alors que ceux des figures (B), (D) et (F) ont été calculés avec ini-tialement Nx = Ny = 80. Pour tous les calculs, T0 = 3, µ = 0.25,
ρ = 1, Nb= 360, ∆t = 0.1∆x, 2h = 2.25(∆x + ∆y), h∗ = 0.5h. . . 95
3.6 Membrane Hookéenne en équilibre. Erreurs absolues moyennes (A)-(B) : la pression et (C)-(D) : la vitesse, calculée avec la méthode EPSPH avec Nx = Ny pour les membranes fixe et libre. Pour (A)
et (C) µ = 0.25 et pour (B) et (D) µ = 1. Dans tous les cas T0 = 3,
ρ = 1, Nb= 360, ∆t = 0.1∆x, 2h = 2.25(∆x + ∆y) et h∗ = 0.5h. . . . 97
3.7 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Évolution des lon-gueurs du grand demi-axe initial rx(t) et du petit demi-axe
ini-tial ry(t). rx(0) = 0.75, ry(0) = 0.5, T0 = 10, µ = 0.1, ρ = 1,
Nx = Ny = 64, Nb = 128, ∆t = 1 × 10−4. — : Tan et al. [169],
-- : méthode EPSPH . . . 99
3.8 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Évolution des lon-gueurs du grand demi-axe initial rx(t) et du petit demi-axe
ini-tial ry(t). rx(0) = 0.75, ry(0) = 0.5, T0 = 10, µ = 0.1, ρ = 1,
Nx = Ny = 64, Nb = 128, ∆t = 1 × 10−4. — : Tan et al. [169],
-- : méthode EPSPH. (A) h∗ = 1.75het (B) h∗ = 2.5h. . . 101
3.9 Oscillations d’une membrane Hookéenne. (A) Vitesse u(x, t) et (B) pression p(x, t) calculées avec la méthode EPSPH. T0 = 10,
3.10 Oscillations d’une membrane Hookéenne. (A) Vitesse u(x, t) et (B) pression p(x, t) calculées avec la méthode EPSPH. T0 = 10,
µ = 0.1, ρ = 1, t = 0.5, Nx = Ny= 64, Nb= 128, ∆t = 1 × 10−4. . . 103
3.11 Oscillations d’une membrane Hookéenne. (A) Vitesse u(x, t) et (B) pression p(x, t) calculées avec la méthode EPSPH. T0 = 10,
µ = 0.1, ρ = 1, t = 1, Nx = Ny= 64, Nb= 128, ∆t = 1 × 10−4. . . . 104
3.12 Oscillations d’une membrane Hookéenne. (A) Vitesse u(x, t) et (B) pression p(x, t) calculées avec la méthode EPSPH. T0 = 10,
µ = 0.1, ρ = 1, t = 2, Nx = Ny= 64, Nb= 128, ∆t = 1 × 10−4. . . . 105
3.13 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Évolution des longueurs du grand demiaxe initial et du petit demiaxe initial. -: rx(t), — : ry(t) calculés avec la méthode EPSPH. rx(0) = 0.75,
ry(0) = 0.5, T0 = 10, µ = 0.05, ρ = 1, Nx = Ny = 64, Nb = 128,
∆t = 1× 10−4. . . 106
3.14 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Évolution des longueurs du grand demiaxe initial et du petit demiaxe initial. -: rx(t), — : ry(t) calculés avec la méthode EPSPH. rx(0) = 0.75,
ry(0) = 0.5, T0 = 10, µ = 0.025, ρ = 1, Nx = Ny = 64, Nb = 128,
∆t = 1× 10−4. . . 107
3.15 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Évolution des longueurs du grand demiaxe initial et du petit demiaxe initial. -: rx(t), — : ry(t) calculés avec la méthode EPSPH. rx(0) = 0.75,
ry(0) = 0.5, T0 = 10, µ = 1, ρ = 1, Nx = Ny = 64, Nb = 128,
3.16 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Distribution des parti-cules fluide et Lagrangienne de la membrane calculée avec la mé-thode LPSPH aux temps (A) t = 0.200, (B) t = 0.250, (C) t = 0.275 et (D) t = 0.285. T0 = 10, µ = 0.1, ρ = 1, Nx = Ny = 64, Nb = 128,
∆t = 1× 10−4. . . 110
3.17 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Conservation de l’aire du fluide contenu dans la membrane en fonction de Nx(= Ny)aux
temps t = 1 et 2, calculée avec la méthode EPSPH. rx(0) = 0.75,
ry(0) = 0.5, T0 = 1, µ = 0.05, ρ = 1, ∆t = 0.1∆x, Nb = 360,
2h = 1.2(∆x + ∆y), 2h∗ = 0.085. . . 113
3.18 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Conservation de l’aire du fluide contenu dans la membrane en fonction de h∗ aux temps t = 1et 2, calculée avec la méthode EPSPH. rx(0) = 0.75, ry(0) =
0.5, T0 = 1, µ = 0.05, ρ = 1, ∆t = 0.1∆x, Nx = 74, Ny = 74,
Nb = 148, 2h = 1.2(∆x + ∆y). . . 114
4.1 j-ième chaîne bille-ressort avec N billes. qk(j) := rk+1(j) −rk(j) repré-sente le vecteur bout-à-bout du k-ième ressort. . . 129
4.2 Graphiques des solutions de (4.4.11)-(4.4.12). Re = 1 × 10−2, Nx =
Ny = 80, t = 1 × 10−3. (a) u(x, y, t), (b) v(x, y, t), (c) p(x, y, t). . . . 153
4.3 Graphes log-log des emqs des solutions de (4.4.11)-(4.4.12) calcu-lées sur tout (0, 1) × (−1, 1) (courbes supérieures de (A) et (B)) et sur (0, 1) × (−1, 1) moins un disque Ω de rayon 2h∗ = 0.468centré
en (0.5, 0) (courbes inférieures de (A) et (B)). (A) Emq de la vitesse (B) Emq de la pression. . . 154
4.4 Écoulement de Poiseuille dans le plan de 2500 haltères avec We = 20. (A) Configurations initiales typiques (distribution uniforme). (B) Haltères après 4000 pas de temps. (C) Trajectoires des centres de masse de 5 haltères arbitrairement choisis pendant 4000 pas de temps. (D) Distribution symétrisée des centres de masse des haltères après 4000 pas de temps. Re = 2 × 10−4, D = 30, L = 10, Nx = 60, Ny = 100, ∆t = 1 × 10−3. . . 156
4.5 Écoulement de Poiseuille dans le plan de 2500 haltères avec We = 20 et We = 30. (A) We = 20, haltères après 4000 pas de temps. (B) We = 30, haltères après 4000 pas de temps. (C) We = 30. Tra-jectoires des centres de masse de 5 haltères arbitrairement choisis pendant 4000 pas de temps. (D) We = 30. Distribution symétri-sée des centres de masse des haltères après 4000 pas de temps. Re = 2× 10−4
, D = 30, L = 10, Nx= 60, Ny= 100, ∆t = 1 × 10−3. . 158
4.6 Écoulement de Poiseuille dans le plan avec une chaîne bille-ressort ayant 1000 billes à We = 20 et We = 30. (A) Configuration in-tiale typique de la chaîne. (B) Chaîne après 40000 pas de temps, We = 20. (C) Chaîne après 40000 pas de temps, We = 30. (D) Trajectoires du centre de masse de la chaîne pendant 40000 pas de temps, We = 20 et We = 30. Re = 2 × 10−4, D = 30, L = 10, Nx = 60, Ny = 100, ∆t = 5 × 10−4. . . 160
4.7 Temps CPU moyen par itération en fonction du nombre de billes sur un ordinateur de bureau de 3.2GHz pour une simulation com-plète de chaînes de bille-ressort. (A) Maillage SPH fixe. Nx = 20,
Ny = 160. (B) graphe log-log avec Nx = Ny =
√
N. . . 163 4.8 ◦ : vitesse stationnaire uL(x(t), 0)calculée de (4.2.13)-(4.2.14) dans
un canal. La courbe continue est le graphe de uL à partir de
5.1 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille dans un canal rectangu-laire infiniment long. . . 182
5.2 Problème de Poiseuille tridimensionnel entre deux plaques infi-nies. Solution numérique de la méthode EPSPH de la composante de la vitesse dans la direction de l’écoulement au temps adimen-sionné t = 0.0125. Re = 1.25 × 10−2, Nx = Ny = 16, Nz = 64,
h = 2.001∆z, ∆t = 1.25 × 10−6. . . 184
5.3 Problème de Poiseuille tridimensionnel entre deux plaques infi-nies. Comparaison entre la solution exacte (5.2.1) et la solution nu-mérique de la méthode EPSPH de la composante de la vitesse dans la direction de l’écoulement. Re = 1.25 × 10−2, Nx = 24,Ny = 16,
Nz = 50,h = 2.001∆z, ∆t = 1.25 × 10−6. . . 185
5.4 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille dans un canal rectan-gulaire infiniment long. (a) Solution stationnaire exacte. (b) Solu-tion staSolu-tionnaire approchée au temps adimensionné t = 0.0125. ∆x = ∆y = ∆z = 0.02, h = 1.15(∆x + ∆y + ∆z)/3, ∆t = 1.0 × 10−6, Re = 1.25× 10−2
. . . 187
5.5 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille dans un canal rectangu-laire infiniment long. Graphe de l’erreur de la vitesse pour deux maillages différents. h = 1.15(∆x + ∆y + ∆z)/3, ∆t = 1.0 × 10−6, Re = 1.25× 10−2. o— :∆x = 0.050, ∆y = 0.067, ∆z = 0.033, -:∆x = 0.025, ∆y = 0.040, ∆z = 0.025, — -:∆x = ∆y = ∆z = 0.020. . . 188
5.6 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille de 1500 haltères entre deux plaques infinies. Configuration typique initiale des haltères (distribution uniforme). Re = 2 × 10−4,H = 10,L = 3,D = 4, Nx =
5.7 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille de 1500 haltères entre deux plaques infinies. (a) et (c) Trajectoire de 10 haltères choisis de manière aléatoire. (b) et (d) Distribution symétrisée des centres de masse des haltères. (a)-(b) :We = 20. (c)-(d) :We = 40. Re = 2 × 10−4,H = 10,L = 3,D = 4, Nx= 6,Ny = 8, Nz = 20, ∆t = 1.0 × 10−4. 191
5.8 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille de 1500 haltères entre deux plaques infinies. (a) et (c) Trajectoire de 10 haltères choisis de manière aléatoire. (b) et (d) Distribution symétrisée des centres de masse des haltères. (a)-(b) :We = 20. (c)-(d) :We = 40. Re = 2 × 10−4,H = 10,L = 3,D = 4, Nx= 8,Ny = 10, Nz = 25, ∆t = 1.0 × 10−4. 193
5.9 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille de 1500 haltères entre deux plaques infinies. (a) et (c) Trajectoire de 10 haltères choisis de manière aléatoire. (b) et (d) Distribution symétrisée des centres de masse des haltères. (a)-(b) :∆V = 0.01. (c)-(d) :∆V = 0.125. Re = 2× 10−4,H = 10,L = 3,D = 4,We = 20 ∆t = 1.0 × 10−4. . . 195 5.10 Écoulement tridimensionnel de Poiseuille dans un canal
rectan-gulaire infiniment long. (a) Position initiale des tétraèdres dans le canal pour un hématocrite Ht = 0.6 (selon [58]). (b) Position initiale des sphères dans le canal pour un hématocrite Ht = 0.4 (selon [58]). 197 5.11 ◦ : vitesse stationnaire uL(x(t), l/2, 0) calculée de (4.2.13)-(4.2.14)
dans un canal. La courbe continue est le graphe de uL à partir de
2.1 Problème de Poiseuille dans le plan. Temps CPU (divisé par 105)
en secondes en fonction de h et ∆x pour des calculs sur un inter-valle de temps adimensionné [0, 1.25 × 10−2]. ∆t = 1.25 × 10−6. Méthode EPSPH. . . 73
2.2 Problème de Poiseuille dans le plan. Temps CPU (divisé par 105)
en secondes en fonction de h et ∆x pour des calculs sur un inter-valle de temps adimensionné [0, 1.25 × 10−2]. ∆t = 1.25 × 10−6. Méthode LPSPH. . . 73
3.1 Oscillations d’une membrane Hookéenne. Erreurs maximales ab-solues de pn+1/2Nx , un+1Nx et vn+1Nx à t = 0.0625 calculées avec la mé-thode EPSPH. T0 = 1, µ = 0.05, ∆t = ∆x, Nb = 512, 2h =
1.2(∆x + ∆y), 2h∗ = 0.085. . . 112
4.1 Vitesse stationnaire au point (x(t), 0) dans un canal calculée à par-tir de (4.2.13)-(4.2.14). D = 1, L = 2, 4, 8. u∞ est calculé à partir de l’équation (4.A.24). Zeff est calculé en se servant de
5.1 Vitesse stationnaire au point (x(t), l/2, 0) dans un canal calculée à partir de (4.2.13)-(4.2.14). D = 1,l = 2, L = 2, 4, 8. u∞ est
cal-culé à partir de l’équation (5.A.1). Zeff est calculée en se servant
À mon Seigneur et Sauveur Jésus-Christ qui, au courant de l’été 1988 et durant les années qui ont suivi, a radicalement transformé ma vie. L’un des résultats étant qu’aujourd’hui, je sois en train de soutenir cette thèse.
”Everyone who is seriously interested in the pursuit of science becomes convinced that a spirit is manifest in the laws of the universe – a spirit vastly superior to man, and one in the face of which our modest powers must feel humble” Albert Einstein
Je suis profondément reconnaissant à mon directeur de recherche, Robert G. Owens, de m’avoir introduit dans ce projet de recherche et de m’y avoir patiem-ment guidé. Son influence sur ma vie va bien au delà de l’encadrepatiem-ment acadé-mique qu’il m’a accordé. J’ai été profondément marqué par sa rigueur tant dans le domaine scientifique que dans d’autres aspects de la vie. J’espère vivement en avoir été contaminé. Je le remercie d’avoir toujours été disponible pour me rece-voir afin de m’écouter et de discuter avec moi. Les nombreuses heures passées à discuter avec lui ont contribué à allumer en moi la flamme de l’amour pour la recherche.
Je remercie Marc Conti pour les discussions fort intéressantes que nous avons eues lorsqu’il travaillait également sur un problème d’interface immergée. Je dis merci au personnel du service informatique du Centre de Recherche Mathéma-tiques (CRM) et du département de mathémaMathéma-tiques de l’Université de Montréal pour leur aide qui m’a permis de mener à bien mes simulations numériques et pour leur patience à mon endroit.
J’adresse mes remerciements à mon épouse, Ethel Kéou, pour son soutien sans faille tout au long de ce projet. Je lui dis merci d’avoir accepté les périodes où j’ai été presque absent à cause de la pression de mes travaux. Je la remercie d’avoir été toujours à mes côtés même lorsqu’il m’est arrivé d’être de mauvaise humeur à cause des défis auxquels je faisais face. Je suis toujours reconnaissant à Dieu de nous avoir mis ensemble ; elle est une grande source de bénédiction
pour moi.
Je remercie nos enfants Janice Ness Kéou et Adonia Salem Kéou pour leur gaieté qui a toujours contribué à alléger les peines de mon cœur. Je leur dis merci d’être des enfants avec qui il est facile de vivre ; cela m’a épargné des soucis qui auraient pu être une grande source de distraction.
Je remercie grandement ma maman, Anne Ngassop, pour son amour et ses sacrifices incessants à mon endroit. N’eût été sa présence à mes côtés pour m’ai-der à prendre soin des enfants durant ces nombreux mois, il est peu probable que cette thèse aurait été achevée maintenant. Sa contribution à ce travail est très grande ; je lui suis énormément reconnaissant pour cela. Je remercie mon papa, Jean Noutcheuwoué, qui dans mon enfance s’est grandement investi pour que je prenne goût aux études et me rende le plus loin possible ; cette semence a large-ment porté ses fruits.
Je remercie mon ami, Tafen Denyago, avec qui j’ai beaucoup partagé mes difficultés et qui m’a grandement soutenu. Je remercie madame Thérèse Kamga, son mari et les enfants, pour leur soutien à tous les niveaux et pour les nombreux appels depuis le Cameroun pour m’encourager à aller de l’avant. Merci à mon frère Espoir Tchachua dont le travail intense et la générosité ont toujours été une source de motivation pour moi. Merci à Madame Esther Mbah, dont les conseils m’ont toujours été précieux.
Je remercie Aude Sidoine et Calvin Wuntcha qui ont toujours été à mes côtés et dont l’amitié est une grande source d’équilibre pour moi. À mes bien-aimés frères et sœurs de la CMCI de Montréal, je ne saurais dire combien leur amour et leur soutien spirituel ont été d’une valeur inestimable pour moi. Je ne pourrais citer tous les noms ici, mais je porte dans mon cœur les marques du soutien que chacun d’eux m’a accordées.
Octave Keutiben, Nina Passo, Florence Wekape, Oscar Ngambo et Hortence Tchékane m’ont témoigné leur générosité en acceptant de relire ce travail et je
leur dis merci.
Pour terminer, je dis merci à Dieu de m’avoir accordé la grâce de parvenir à ce niveau avec ce projet. Bien que nous puissions prétendre contrôler quelques aspects de nos vies, beaucoup de choses dans cette existence échappent totale-ment à notre contrôle. Je remercie le Seigneur d’avoir disposé toute chose dans ma vie et ses affaires, afin que je puisse parvenir à ce stade de la rédaction de cette thèse.
Introduction
1.1
Généralités
L’étude des fluides a, depuis de longues années, fait l’objet d’une attention particulière chez les chercheurs. Au troisième siècle avant Jésus-Christ, Archi-mède, savant grec, dans son traité de corps flottants, jette les bases de ce qui est appelé aujourd’hui l’hydrostatique. Plusieurs siècles après, notamment au 18e siècle, Daniel Bernoulli et Leonhard Euler établirent, à l’issue de plusieurs travaux expérimentaux, les bases mathématiques de l’étude des écoulements fluides. En 1822, Claude-Louis Navier développa de manière heuristique les équations régissant le comportement d’un fluide visqueux. Quelques années plus tard, George Stokes dériva sur des bases mathématiques solides l’étude des écoulements visqueux. Depuis lors, les chercheurs se sont davantage inté-ressés à l’étude des fluides afin d’avoir une parfaite maîtrise de leurs propriétés mécaniques et de leurs comportements lorsqu’ils s’écoulent. Ces connaissances permettent de formuler des modèles mathématiques décrivant avec plus de pré-cision ce qui se passe en réalité dans les fluides qui contiennent ou pas des par-ticules ou structures en suspension, ceci afin de mieux les comprendre et d’y
exercer un éventuel contrôle. Des conditions aux limites ainsi que des conditions initiales doivent être formulées à la suite des modèles mathématiques mis sur pied afin de déterminer des variables d’intérêt dans l’espace et/ou en fonction du temps.
Ces modèles mathématiques sont généralement des équations différentielles dont la résolution, pour des cas très particuliers, aboutit à des solutions analy-tiques. Pour la grande majorité des cas, la seule issue pour obtenir des solutions est le traitement numérique. Von Neumann et Lax ont été les instigateurs de l’utilisation de l’ordinateur dans la résolution des modèles mathématiques de la mécanique des fluides, Lax [90] a dit d’ailleurs à ce sujet que : ”The impact of com-puters on mathematics (both applied and pure) is comparable to the roles of telescopes in astronomy and microscopes in biology”. Contrairement aux calculs théoriques qui ne peuvent traiter des problèmes complexes, l’analyse numérique peut traiter de plusieurs processus physiques en même temps. De plus, les processus non li-néaires peuvent être plus ou moins facilement abordés par l’analyse numérique. Afin de résoudre numériquement les équations d’un modèle mathématique défini sur un domaine, la géométrie du domaine du problème à solutionner doit être divisée en composantes discrètes. Le choix de la technique de discrétisation dépend du type de méthode numérique que l’on veut employer pour résoudre le problème d’intérêt. Il existe essentiellement deux types de familles de méthodes numériques pour la résolution des problèmes en mécanique des fluides. À savoir, les méthodes avec maillage et les méthodes sans maillage.
1.2
Les méthodes avec maillage
Parmi les méthodes avec maillage, l’on distingue les méthodes avec maillage eulerien et les méthodes avec maillage lagrangien. Dans le sillage des méthodes avec maillage eulerien, l’on retrouve la méthode des volumes finis et la méthode
des différences finies qui a été largement utilisée pour la résolution numérique des problèmes en ingénierie et en science. Le principe de la méthode des diffé-rences finies est de remplacer les dérivées apparaissant dans le problème continu par des différences divisées ou combinaisons de valeurs ponctuelles de la fonc-tion en un nombre fini de points discrets ou nœuds d’un maillage. Ainsi, la pre-mière étape consiste à discrétiser le domaine d’étude par des maillages formés de grilles perpendiculaires. Ces grilles restent fixe dans l’espace, ce qui n’est pas le cas du fluide ou du matériau du domaine de calcul qui est libre de se déplacer à travers les cellules de la grille.
Des méthodes avec maillage lagrangien, la plus utilisée est la méthode des éléments finis. La méthode des éléments finis peut être utilisée dans un contexte eulerien ; cependant, elle est rendue populaire à cause de sa formulation lagran-gienne [104, 189]. La méthode des éléments finis consiste, d’une manière géné-rale, à approximer la solution d’une équation différentielle par une combinaison linéaire de fonctions connues. Cette méthode associe deux techniques mathéma-tiques afin d’obtenir une approximation numérique de la solution analytique à des équations différentielles à savoir, la méthode des résidus pondérés qui per-met de transformer le problème aux dérivées partielles en une forme intégrale ; et une technique d’approximation polynomiale de la solution recherchée du type nodal où les inconnues sont les valeurs de la fonction en des points bien définis appelés nœuds. La forme intégrale obtenue de la méthode des résidus pondérés, est évaluée élément par élément. Les bornes d’intégration de chaque intégrale correspondent aux frontières de l’élément. Plusieurs variantes de la méthode des résidus pondérés existent de nos jours. Les plus utilisées sont : la méthode de col-location, la méthode par sous-domaine, la méthode des moindres carrés et la mé-thode de Galerkin. Dans la formulation lagrangienne de la mémé-thode des éléments finis, le maillage est fixé sur le fluide ou sur le matériau du domaine de calcul et se déplace donc avec celui-ci. Ainsi, le maillage se déforme avec le matériau
et il est plus facile de suivre une frontière et une interface en mouvement. Afin d’en apprendre davantage sur les méthodes numériques avec maillage, le lecteur est encouragé à consulter les références [3, 189]. À ce jour, les méthodes numé-riques avec maillage ont été les plus utilisées [106] et sont encore les méthodes qui prédominent dans les simulations numériques des problèmes pratiques en ingénieurie et en science. Les articles [43, 93, 94, 136, 141, 165, 171, 172, 178] sont quelques exemples d’utilisation des méthodes avec maillage pour la résolution numérique des problèmes.
Malgré leur popularité, les méthodes numériques avec maillage présentent quelques difficultés dans plusieurs aspects qui limitent leur application à la ré-solution de plusieurs types de problèmes compliqués. Lorsque la géométrie du domaine de calcul est irrégulière ou complexe, il n’est pas du tout évident de construire avec ces méthodes un maillage approprié qui prend en compte toutes les irrégularités du domaine [106, 189]. La plupart des approches qui existent pour contourner cette difficulté exige des transformations mathématiques com-plexes qui peuvent parfois être plus coûteuses que résoudre le problème lui-même [103, 106]. Les méthodes numériques avec maillage rencontrent des dif-ficultés énormes lorsqu’il faut solutionner les problèmes qui font intervenir des surfaces libres, des frontières déformables et des déformations extrêmement pro-noncées [102, 106].
1.3
Les méthodes sans maillage
Afin de contourner ou alors de trouver une solution aux difficultés rencon-trées avec les méthodes numériques avec maillage, la communauté scientifique s’est de plus en plus penchée sur le développement des méthodes numériques sans maillage. L’idée principale des méthodes sans maillage est de se servir de nœuds ou de particules organisées arbitrairement et n’ayant aucune connection
entre eux comme c’est le cas avec les méthodes avec maillage. Ces nœuds ou particules peuvent permettre de donner des solutions précises et numérique-ment stables aux équations de la dynamique des fluides quelles que soient les conditions aux frontières imposées.
À ce jour, il existe plusieurs méthodes numériques sans maillage parmi les-quelles nous pouvons citer, entre autres, diffuse element method (DEM), element free Galerkin (EFG) method, reproduced kernel particle (RKPM) method, mesh-less local Petrov-Galerkin (MLPG) method, point interpolation method (PIM), fluid particle model et smoothed particle hydrodynamics (SPH). Les références [12, 73, 95, 101, 133] donnent assez de détails sur l’historique, le développement, la théorie et les applications de ces méthodes numériques sans maillage. Cer-taines caractéristiques sont communes à toutes ces méthodes sans maillage ; ce-pendant, elles présentent des différences dans leur processus d’approximation et de mise en œuvre.
Parmi toutes les méthodes sans maillage, nous nous sommes intéressés à une méthode unique dans les simulations de la dynamique de fluide, à savoir la méthode smoothed particle hydrodynamics (SPH). C’est une méthode sans maillage qui utilise des particules.
1.4
Smoothed particle hydrodynamics (SPH)
La méthode smoothed particle hydrodymics (SPH) permet d’obtenir numéri-quement la solution des équations de la dynamique des fluides en remplaçant le fluide par un ensemble de particules. Elle est sans maillage et est basée sur une formulation lagrangienne. Elle fut mise au point en 1977 par Gingold et Mona-ghan [53] et indépendamment la même année par Lucy [111]. La motivation pour la création de cette méthode est venue du besoin de résoudre les problèmes com-plexes que les méthodes dites eulériennes, comme la méthode des différences
fi-nies, la méthode des éléments finis ou la méthode des volumes finis avaient du mal à résoudre comme nous l’avons mentionné plus haut.
1.4.1
Les avantages de la méthode SPH
Plusieurs avantages sont liés à l’utilisation de la méthode SPH pour la ré-solution des problèmes en physique ou en mathématiques appliquées. Son uti-lisation n’est pas confinée à une géométrie particulière du système de calcul ; elle est facilement utilisable pour des géométries complexes en dimension 2 ou 3. Les problèmes avec frontières libres que l’on rencontre en astrophysique sont simples et naturels avec la méthode SPH, ce qui n’est pas le cas des méthodes avec maillage. Parce que la méthode SPH est une méthode sans maillage ou grille, elle permet de traiter beaucoup plus aisément, comparée aux autres mé-thodes, les problèmes qui font intervenir des déformations importantes que l’on rencontre dans les problèmes d’explosion, d’impact à grande vitesse et de pé-nétration. Avec la méthode SPH, il est simple de permettre aux frontières de se mouvoir ou se déformer. La modélisation de l’interaction de plusieurs phases d’un fluide limité par une surface libre se fait également plus facilement. Ainsi, les problèmes d’interface peuvent être plus faciles à traiter avec la méthode SPH qu’avec la méthode des différences finies. Par ailleurs, pour les problèmes dont l’objet d’intérêt n’est pas continu, comme l’interaction de plusieurs étoiles en as-trophysique, il est pratique de concentrer les calculs dans les régions où se situent les étoiles. Le choix de la méthode SPH est idéal pour ce type de problème, car elle permet de gagner en mémoire et en temps de calcul. L’on rencontre égale-ment ce type de problèmes en nano et bio ingénierie. Enfin, il est plus facile d’im-plémenter numériquement la méthode SPH et l’extension en dimension trois se fait beaucoup plus aisément qu’avec les méthodes avec maillage. De plus, l’ajout d’autres processus physiques à un code implémenté avec la méthode SPH se fait
avec aisance.
1.4.2
Les applications de la méthode SPH
Au départ, c’était dans le but de simuler les phénomènes astrophysiques [120] qui font intervenir des variations très importantes de la densité ainsi que des géo-métries complexes et non symétriques que la méthode SPH a été introduite. C’est par la suite que son efficacité à pallier les difficultés rencontrées par les méthodes avec maillage, telles que décrites ci-dessus, a été explorée avec un très grand suc-cès. Depuis son invention, elle a été étudiée et appliquée à plusieurs domaines parmi lesquels l’on peut citer les écoulements multi-phases [25, 68, 124], les écou-lements avec surface libre [6, 159], les impacts et les explosions [108, 126], les écoulements viscoélastiques [38, 44] et même en mécanique du solide [34, 112]. Plusieurs autres domaines d’application de la méthode SPH sont décrites dans les récentes études approfondies menées par Cleary et al. [24] et Monaghan [123]. Cependant, on retrouve dans la littérature scientifique un grand nombre d’exemples de la méthode SPH testés sur des problèmes qui traditionnellement ont été résolus avec succès avec les méthodes avec maillages. Par exemple, la méthode SPH a été utilisée pour la simulation des écoulements autour des cy-lindres droits et d’autres corps [37, 65, 92, 168], l’écoulement de Poiseuille et de Hagen-Poiseuille [15, 65, 129, 134, 162], l’écoulement de Couette [15, 129, 134] et l’écoulement dans une cavité avec couvercle en mouvement (“lid-driven ca-vity flow”) [19, 92, 184]. Ainsi, le champ d’application de la méthode SPH à la résolution des problèmes en physique et en mathématiques appliquées s’accroit d’année en année. Nos travaux ont permis d’étendre davantage ce champ d’ap-plication, car c’est la première fois à notre connaissance, que la méthode SPH est utilisée pour résoudre les équations de Navier-Stokes incompressibles avec une distribution de forces singulières.
1.4.3
Problématique
Afin de simuler la dynamique des fluides incompressibles, le défi consiste à s’assurer que l’équation de continuité est bien satisfaite. Pour y parvenir, la méthode SPH traditionnelle, encore appelée Weakly Compressible Smoo-thed Particle Hydrodynamics “WCSPH”[32] , que l’on retrouve dans les articles [5, 32, 53, 123, 119, 120, 127] par exemple, suppose que le fluide est légèrement compressible. Dans cette condition, la densité du fluide (ou encore de chaque particule fluide) est calculée au cours de chaque pas de temps. Le moyen le plus souvent adopté pour approximer l’incompressibilité du fluide est d’utiliser une équation d’état qui relie la pression à la densité volumique. Bien que cette équa-tion d’état puisse avoir plusieurs formes (voir les articles menéqua-tionnés ci-dessus) ; l’élément essentiel est que le module de la vitesse du son utilisé dans cette équa-tion doit être assez faible pour être pratique, mais être assez élevé pour maintenir la densité approximativement constante au cours de chaque pas de temps [15]. L’utilisation d’un module de la vitesse du son élevé entraîne une condition de Courant-Friedrich-Lewy (CFL) très sévère sur le pas de temps pour les calculs [32, 44, 65, 92, 129, 184]. Cette condition de quasi incompressibilité introduit cer-tainement des erreurs qui proviennent des fluctuations de densité qui peuvent conduire à des oscillations importantes de la pression [92, 184]. Ces fluctuations peuvent entraîner de l’instabilité numérique. Par ailleurs, pour les problèmes dont la pression est le paramètre d’intérêt, les résultats obtenus seront probable-ment corrompus à cause des fluctuations de la densité. De plus, la compressibi-lité artificielle peut entraîner des problèmes avec la réflexion des ondes sonores aux frontières du domaine de calcul [32, 159]. Un traitement exact de l’incom-pressibilité doit prendre en compte la contrainte cinématique sur la vitesse qui veut que sa divergence soit nulle [32].
les maillages eulériens, les approches habituellement utilisées font usage d’une méthode de projection qui est un schéma à pas fractionnaire pour imposer la condition d’incompressibilité dans les calculs. La méthode de projection a été in-troduite en 1968 par Chorin [22] et a été largement appliquée à la méthode des différences finies [141, 178]. Cette approche a été pour la première fois appliquée à la méthode SPH en 1999 par Cummins et Rudman [32] qui lui ont donné le nom de Projection Smoothed Particle Hydrodynamics (PSPH), nom que nous al-lons adopter dans notre travail. Lee et al. [92] ont mis sur pied une méthode SPH incompressible dont ils se sont servis pour résoudre les problèmes d’écoulement autour d’un cylindre carré, d’écoulement dans une cavité avec couvercle en mou-vement et le problème de rupture de barrage. Ils ont trouvé que pour tous ces problèmes, leur méthode SPH incompressible donnait des profils de vitesse et de pression plus lisses qu’avec la méthode WCSPH. En outre, le temps CPU qu’ils ont obtenu avec leur méthode SPH incompressible était de 2 à 20 fois inférieur au temps obtenu avec la méthode WCSPH. Brown et al. [18], Guermond et al. [56], Hosseini et Feng [65] ainsi que d’autres auteurs ont souligné l’existence d’un pro-blème important avec l’application des conditions de Neumann aux frontières pour la pression utilisée dans plusieurs schémas de projection pour la correction de la pression que l’on retrouve dans les travaux, par exemple de Cummins et Rudman [32] et Lee et al. [92]. Typiquement, des conditions aux frontières de Neumann nulles sont imposées à l’équation de Poisson satisfaite par la pression. Cependant, dans plusieurs situations d’écoulement comme, pour des problèmes ayant des frontières ouvertes, ou pour des écoulements autour des obstacles ou dans un canal ayant une section variable, la composante normale de la pres-sion n’est pas nulle sur la frontière. Ainsi, ce choix de conditions aux frontières conduit à des couches numériques aux frontières qui a comme conséquence l’im-précision des calculs. Hosseini et Feng [65] ont évité ce problème en utilisant le schéma de projection rotationnelle de Timmermans et al. [173] et ont imposé
une condition de Neumann non-homogène sur la pression qui a été démontrée qu’elle est compatible avec l’équation de la quantité de mouvement linéaire.
Les problèmes qui nuisent sérieusement à la précision et à la stabilité des si-mulations avec SPH, dues au regroupement des particules, (distribution non iso-trope), ont été bien documentés dans la littérature scientifique (voir par exemple, [43, 68, 184]). Lorsque le milieu ou la matière d’intérêt subit une contrainte d’ex-tension (étirement), le mouvement des particules devient instable, ce qui a pour conséquence de pousser les particules SPH à former des grumeaux. Ce compor-tement peut à terme conduire à l’explosion des calculs. Monaghan [122] a dé-montré que l’instabilité d’extension (“tensile instability”) présente dans les mé-thodes SPH va entrainer un regroupement non physique des particules. Il a dé-montré comment cette instabilité pouvait être retirée en utilisant une contrainte artificielle. L’idée principale de cette contrainte artificielle est d’introduire une force de répulsion de faible portée entre des paires de particules voisines pour les empêcher de trop se rapprocher lorsque les deux particules sont dans un état de contrainte d’extension qui tend à favoriser une attraction plus ou moins in-tense entre elles. Hu et Adams [69, 70] ont géré le problème de regroupement des particules dans leur méthode de projection pour SPH en corrigeant la posi-tion des particules avec une méthode itérative non-linéaire. Chaniotis et al. [19] ont remédié au problème du désordre des particules en réinitialisant de manière périodique les particules SPH sur un maillage uniforme et en interpolant les pro-priétés des particules précédentes sur la position des nouvelles particules. Xu et al. [184] ont appliqué l’idée du changement de la position des particules. Cette idée avait été proposée dans le contexte de la méthode du volume fini par Nestor et al. [132]. Les auteurs de [184] ont légèrement déplacé les particules des lignes de courant et se sont servis de développement en série de Taylor pour corriger les variables hydrodynamiques. Les résultats qu’ils ont obtenus pour les champs de pression ne contenaient plus d’oscillations non physiques pour toutes les
va-leurs du nombre de Reynolds. Des résultats similaires pouvaient tout aussi bien être obtenus avec la stratégie de réinitialisation de Chaniotis et al [19].
1.5
Objectifs de la thèse
La motivation de notre travail est de proposer une approche modifiée de la méthode PSPH introduite par Cummins et Rudman [32] appropriée à la résolu-tion des équarésolu-tions de Navier-Stokes incompressibles avec des forces singulières. Contrairement à eux, qui utilisent une méthode explicite pour le calcul de la vi-tesse intermédiaire dans la première étape de la méthode de projection, nous utilisons une méthode implicite pour le calcul de la vitesse intermédiaire qui, comme nous le savons, est plus stable. De plus, nous ne résolvons pas un pro-blème de Poisson sur la pression dans le second pas de la méthode de projection comme ils le font, ainsi que plusieurs autres auteurs [57, 98, 158]. Nous résolvons plutôt un problème de Poisson sur une fonction scalaire qui permet à la fin d’un pas de temps de calcul de trouver la vitesse et la pression du fluide. Cette ap-proche est adaptée de la méthode de projection proposée par Kim et Moin [81] et que Brown et al [18] ont appelée méthode de projection PmIII ; ils ont également démontré qu’elle est d’ordre 2. Nous évitons complètement ainsi le problème lié à l’imposition d’une condition de Neumann homogène sur la pression à la frontière.
Une autre différence importante entre notre méthode de projection SPH et celle des auteurs qui proposent des corrections à la position des particules afin d’éviter le regroupement des particules [19, 65, 68, 69, 184] est que nous intro-duisons la notion de particules SPH fixes. Puisque les particules fluides SPH peuvent simplement être considérées comme des points de quadrature qui per-mettent de déterminer les paramètres du fluide, il nous est venu l’idée de leur donner un comportement eulérien, c’est-à-dire que ces particules restent fixes
dans le temps. Pour une certaine classe de problèmes, en particulier, ceux qui font intervenir des forces singulières, cette approche a un certain nombre d’avan-tages comme nous le verrons dans la suite de notre travail. Pour les problèmes que nous avons résolus et que nous allons présenter ici, la réinitialisation pério-dique comme dans [19], n’offre aucun avantage.
Lorsque nous utiliserons la méthode de projection appliquée à SPH avec les particules fluides mobiles, nous parlerons de la méthode de Projection Smoo-thed Particle Hydrodynamics Lagrangienne “LPSPH ”. Et lorsque nous utiliserons la méthode de projection appliquée à SPH avec les particules fluides fixes, nous parlerons de la méthode de Projection Smoothed Particle Hydrodynamics Eulérienne “EPSPH ”.
1.6
Organisation de la thèse
Cette thèse présente une nouvelle méthode SPH ainsi que les applications que nous en avons fait. La suite est organisée de la manière suivante :
Dans le Chapitre 2, nous allons dans un premier temps obtenir, sans entrer dans les détails, les équations qui modélisent la dynamique d’un fluide visqueux et incompressible qui est notre champ d’intérêt. Ces équations décrivent com-ment la vitesse, la pression et la densité d’un fluide en mouvecom-ment sont reliées. Ces équations ont été obtenues indépendamment par G. G. Stokes en Angleterre et M. Navier en France au début des années 1800. Elles sont une extension des équations d’Euler, car elles font intervenir les effets de la viscosité sur l’écoule-ment du fluide. Pour le type de problèmes que nous voulons résoudre, il n’est pas possible d’obtenir les solutions analytiques des équations de Navier-Stokes, à l’exception des écoulements simples de Couette et de Poiseuille. Pour cette raison, il nous faut donner une expression discrète de ces équations que nous allons résoudre numériquement sur ordinateur. Pour cela, nous allons
présen-ter le schéma de discrétisation temporelle dont nous avons fait mention dans la section précédente. Et par la suite, nous décrirons de manière détaillée la discré-tisation SPH de la méthode de projection PmIII. Nous allons ensuite appliquer notre méthode SPH à la résolution du problème de l’écoulement simple de Poi-seuille. Nous comparons les profils de vitesse que nous obtenons avec la solution exacte. La précision et l’ordre de convergence de nos calculs sont comparés avec ceux de Bierbrauer et al. [15].
Dans le chapitre 3, nous nous intéressons aux problèmes d’interface qui ont plusieurs applications dans le domaine de la dynamique des fluides. Dans plu-sieurs problèmes d’écoulement de fluide en ingénierie et en mathématiques ap-pliquées, le fluide est séparé en plusieurs régions par des frontières ou des in-terfaces. Dans certains cas, les interfaces exercent une force sur le fluide. Comme exemple de ce cas, nous pouvons citer les problèmes rencontrés dans les sys-tèmes de biofluides. À titre illustratif, on a la dynamique de l’écoulement san-guin à travers les valves cardiaques ; la valve (ici l’interface) exerce une force sur le sang (le fluide) et se déplace simultanément avec la vitesse locale du fluide. Cette formulation du problème a été abordée, entre autres, par Meisner et al. [116] et par Peskin [141, 142]. En physiologie cardiovasculaire, l’on peut retrou-ver comme applications, l’agrégation plaquetaire pendant la coagulation du sang [50, 183] et la déformation des globules rouges dans un écoulement cisaillé [36]. Le problème d’interface est également rencontré dans le domaine de la locomo-tion aquatique [29, 63, 188] et le vol des insectes [117, 118]. Nous allons appliquer notre méthode SPH à la simulation de la dynamique d’une membrane élastique sous tension et immergée dans un fluide visqueux et incompressible. La mem-brane est Hookéenne et exerce le long de sa courbe une force singulière sur le fluide environnant. Nous allons présenter de manière détaillée toutes les équa-tions qui vont permettre au final de simuler le comportement de la membrane. Et enfin, nous présenterons les résultats que nous avons obtenus de nos calculs.
Le chapitre 4 porte sur l’application de notre méthode SPH à la simulation de la dynamique Brownienne d’un écoulement confiné des solutions non diluées de polymères avec interaction hydrodynamique et des forces d’exclusion de vo-lume. Dans une grande variété d’applications allant de la transformation des po-lymères et la rhéologie à la génétique, le comportement dynamique des solutions de polymères confinées dans des petits canaux pendant l’écoulement est d’une importance considérable. Plusieurs de ces applications impliquent directement l’écoulement ou l’électrophorèse de gouttelettes en suspension, des particules ou de longues chaînes de polymères de molécules. La récente émergence des ap-pareils microfluidiques comme les outils d’analyse biochimique a conduit à un intérêt renouvelé à la physique des polymères confinés. Nous nous sommes in-téressés au phénomène de migration des polymères des parois de confinement vers le centre de l’écoulement. Le point de départ de notre algorithme est le sys-tème couplé des équations de Langevin pour le polymère et le solvant (Coupled Langevin equations for polymer and solvant (CLEPS), voir Oono et Freed (1981) et Öttinger et Rabin (1989), par exemple), qui décrit, dans le cas présent, les dy-namiques microscopiques d’une solution de polymère s’écoulant avec une re-présentation bille-ressort des macromolécules. La manière dont les forces sur les billes sont transmises au fluide est d’une importance cruciale pour le succès de notre schéma numérique. Nous adoptons une approche qui n’est pas sans rappe-ler la méthode de Stokeslets régularisés (Cortez, 2001). Nous présenterons toutes les équations du modèle de polymère de même que les résultats que nous avons obtenus de nos simulations numériques.
Contrairement à tout ce que nous aurons fait jusqu’ici qui sont des calculs effectués en dimension deux, nous nous intéressons dans le chapitre 5 à faire des calculs en dimension trois avec notre méthode SPH. Dans un premier temps, nous allons faire le calcul de l’écoulement cisaillé simple de Poiseuille entre deux plaques infinies en dimension trois. Nous allons comparer les résultats
riques avec les résultats analytiques. Nous allons également résoudre numé-riquement le problème de Poiseuille simple dans un canal parallélépipédique. Nous allons aussi comparer les résultats numériques avec la solution analytique à l’état stationnaire. Ensuite, nous allons appliquer notre méthode SPH à la simu-lation de la dynamique Brownienne d’un écoulement confiné des solutions non diluées de polymères avec interaction hydrodynamique et des forces d’exclusion de volume entre deux plaques infinies en dimension trois. Ceci est une généra-lisation tridimensionnelle du problème que nous avons abordé dans le chapitre 4.
Enfin, nous présentons dans le chapitre 6 une conclusion générale et faisons mention d’idées pour la suite des travaux de recherche.
1.7
Publications
Le travail présenté dans cette thèse a conduit à la publication de deux articles scientifiques, à savoir,
1. R. K. Noutcheuwa and R. G. Owens, A new incompressible smoothed particle hydrodynamics-immersed boundary method, Int. J. Numer. Anal. Mod. B 3 (2012) 126-167.
2. R. K. Noutcheuwa and R. G. Owens, A mixed Brownian dynamics - SPH method for the simulation of flows of suspensions of bead-spring chains in confined geometries with hydrodynamic interaction. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 166 (2011) 1327-1346.
Une nouvelle méthode SPH
Dans ce chapitre, nous allons nous étendre sur une présentation détaillée des formulations SPH que nous avons mises sur pied, à savoir la méthode de pro-jection SPH Lagrangienne (LPSPH) et la méthode de propro-jection SPH Eulérienne (EPSPH). Dans un premier temps, nous allons présenter les équations qui ré-gissent la dynamique des fluides que nous allons utiliser tout au long de notre travail, à savoir les équations de Navier-Stokes. Afin de pouvoir résoudre nu-mériquement ces équations, nous allons présenter leur discrétisation temporelle qui est une méthode de projection. Par la suite, après avoir présenté les idées de base de la méthode SPH fondées sur la théorie d’interpolation, nous allons rigoureusement obtenir la forme discrète des équations de projection desquelles nous ferons ressortir les schémas LPSPH et EPSPH. Nous allons également nous attarder sur des aspects techniques de l’implémentation numérique, à savoir les conditions aux frontières et le déplacement des particules fluides pour le schéma LPSPH. Pour terminer, nous allons présenter nos résultats pour le problème de l’écoulement de Poiseuille en comparaison avec la solution exacte. La précision et l’ordre de convergence de nos schémas SPH seront comparés avec ceux de Bierbrauer et al [15].
2.1
Modèles constitutifs des écoulements des fluides
visqueux et incompressibles
Les modèles mathématiques qui décrivent les écoulements des fluides ont pour objectif de décrire qualitativement et quantitativement les propriétés des fluides pour mieux les connaître et apporter des solutions à des problèmes qui font intervenir ces fluides. La plupart des modèles sont basés sur les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Avant de présenter ces équations, nous allons énoncer un théorème dont nous allons nous servir pour les obtenir.
2.1.1
Le théorème transport de Reynolds
Il stipule que si V(t) est un volume matériel1, et F(x, t) est une fonction scalaire,
vectorielle ou tensorielle quelconque, alors,
d dt Z V (t) FdV = Z V (t) DF Dt + F∇ · u dV, (2.1.1)
où u est la vitesse du fluide et D
Dt =
∂
∂t + u · ∇ est la dérivée matérielle ou
lagrangienne définie comme étant la dérivée obtenue en suivant l’élément de fluide dans son déplacement.
2.1.2
La conservation de la masse
La masse de fluide qui occupe un volume matériel V(t) estRV (t)ρdV où ρ est la densité du fluide. Le théorème de transport de Reynolds nous permet donc d’écrire : d dt Z V (t) ρdV = Z V (t) Dρ Dt + ρ∇ · u dV. (2.1.2)
En vertu de la conservation de la masse, d dt Z V (t) ρdV = 0, (2.1.3) d’où, Z V (t) Dρ Dt + ρ∇ · u dV = 0. (2.1.4)
Puisque cette dernière relation est vraie pour tout volume fermé V et la fonction à intégrer est continue, nous avons :
Dρ
Dt + ρ∇ · u = 0. (2.1.5)
Pour un fluide incompressible (DρDt = 0)2, on arrive à la conclusion suivante :
∇ · u = 0. (2.1.6)
2.1.3
La conservation de la quantité de mouvement
Considérons notre volume matériel V(t) ayant pour frontière S(t) avec comme vecteur normal unitaire n.
Pour un fluide quelconque, la force totale exercée sur S(t) par le fluide exté-rieur à V(t) estRS(t)SndS, Snétant le vecteur des contraintes agissant sur S(t). La
quantité de mouvement de ce volume matériel estRV (t)ρudVoù u est sa vitesse. En prenant en compte la contribution de toute autre force par unité de masse notée F ( la gravité, par exemple), la conservation de la quantité de mouvement nous permet d’écrire que :
d dt Z V (t) ρudV = Z S(t) SndS + Z V (t) ρF dV. (2.1.7)
Cette relation équivaut à : d dt Z V (t) ρudV = Z S(t) σ · ndS + Z V (t) ρF dV, (2.1.8)
où σ est le tenseur des contraintes associé au vecteur des contraintes Sn.
L’utilisation du théorème de transport de Reynolds et celui de la divergence nous permet d’obtenir pour un fluide incompressible,
Z V (t) ρDu DtdV = Z V (t) ∇ · σdV + Z V (t) ρF dV; (2.1.9)
cela est identique à : Z V (t) ρDu Dt −∇ · σ − ρF dV = 0. (2.1.10)
Puisque le choix du volume est arbitraire et la fonction à intégrer est continue, nous avons :
ρDu
Dt =∇ · σ + ρF . (2.1.11)
La décomposition de σ donne,
σ = −pI + τ , (2.1.12)
où p est la pression, I est le tenseur identité et τ est le tenseur des extra-tensions ou le déviateur des contraintes qui est associé à la viscosité du fluide. Les équa-tions (2.1.6) et (2.1.11) sont communément utilisées pour modéliser l’écoulement des fluides incompressibles. À ces équations, il faut ajouter une équation qui re-lie le tenseur des extra-tensions au taux de déformation des éléments de fluides. Une telle équation est appelée équation constitutive qui ne prend donc pas en compte les effets non mécaniques sur le tenseur des contraintes.
τ et ∇u ainsi qu’une relation isotrope entre le tenseur des extra-contraintes et les gradients de la vitesse permettent de conclure que [1] :
τ = µ˙γ, (2.1.13)
où µ est la viscosité et ˙γ = ∇u + (∇u)T est le tenseur des taux de déformations.
On dit alors que le fluide est newtonien. Les références [11, 72, 88, 145] peuvent être consultées pour avoir davantage d’informations sur la dérivation des équa-tions de la dynamique des fluides, des discussions détaillées sur la physique de ces équations ainsi que leurs analyses mathématiques.
2.1.4
Les équations de Navier-Stokes
En résumé de ce que nous venons de voir, les équations qui régissent la dyna-mique d’un fluide newtonien, visqueux et incompressible dans un domaine de dimension d, Ω ⊆ Rd, encore appelées équations de Navier-Stokes sont :
ρDu
Dt = −∇p + µ∇
2u + F ,
à l’intérieur de Ω, (2.1.14)
∇ · u = 0, à l’intérieur de Ω, (2.1.15)
et nous allons considérer les conditions aux frontières de Dirichlet et les condi-tions initiales suivantes :
u = ub, sur ∂Ω (la frontière de Ω), (2.1.16)
u(x, 0) = u0. (2.1.17)
Tout au long de notre travail, la densité du fluide ρ et la viscosité µ seront des constantes fixes dans Ω bien qu’il soit facile avec la méthode SPH de laisser va-rier ces quantités d’une région matérielle à une autre du fluide. Le terme F dans
(2.1.14) prend en compte toutes les forces extérieures qui agissent sur le fluide comme la gravité ou une distribution de force singulière due à une membrane immergée, par exemple. ubdans (2.1.16) est la vitesse du fluide à la frontière du
domaine Ω et u0 est la valeur initiale de u.
2.2
Un schéma de projection de second ordre
Afin de régler le problème lié à la faible compressibilité du fluide dans la mé-thode Weakly Compressible Smoothed Particle Hydrodynamics (WCSPH) pour la simulation des écoulements des fluides incompressibles, nous avons choisi d’appliquer la discrétisation SPH au schéma de projection qui prend en compte l’incompressibilité du fluide dans les calculs et dont plusieurs formes existent dans la littérature (voir, par exemple, [18, 32, 56, 109, 159]). Nous avons utilisé dans notre travail une variante de la méthode de projection proposée par Kim et Moin [81] que Brown et al [18] ont appelé méthode de projection PmIII. Déno-tons par Fn la somme de toutes les forces extérieures qui agissent sur le fluide
au temps tn = n∆t; le schéma de la méthode de projection pour les équations
(2.1.14) - (2.1.17) se présente comme suit :
u∗−un ∆t + ((u · ∇)u) n+1/2 = ν 2∇ 2(un+u∗ ) + F n ρ , à l’intérieur de Ω, (2.2.1) n · u∗|∂Ω=n · ub, (2.2.2) τ · u∗ =τ · ub+ ∆t ρ ∇ϕ n+1 ∂Ω , (2.2.3) ∆t ρ ∇ 2ϕn+1 =∇ · u∗ à l’intérieur de Ω , (2.2.4) n · ∇ϕn+1 = 0 sur ∂Ω, (2.2.5) un+1 =u∗− ∆t ρ ∇ϕ n+1, (2.2.6)