Cette thèse présente une nouvelle méthode SPH ainsi que les applications que nous en avons fait. La suite est organisée de la manière suivante :
Dans le Chapitre 2, nous allons dans un premier temps obtenir, sans entrer dans les détails, les équations qui modélisent la dynamique d’un fluide visqueux et incompressible qui est notre champ d’intérêt. Ces équations décrivent com- ment la vitesse, la pression et la densité d’un fluide en mouvement sont reliées. Ces équations ont été obtenues indépendamment par G. G. Stokes en Angleterre et M. Navier en France au début des années 1800. Elles sont une extension des équations d’Euler, car elles font intervenir les effets de la viscosité sur l’écoule- ment du fluide. Pour le type de problèmes que nous voulons résoudre, il n’est pas possible d’obtenir les solutions analytiques des équations de Navier-Stokes, à l’exception des écoulements simples de Couette et de Poiseuille. Pour cette raison, il nous faut donner une expression discrète de ces équations que nous allons résoudre numériquement sur ordinateur. Pour cela, nous allons présen-
ter le schéma de discrétisation temporelle dont nous avons fait mention dans la section précédente. Et par la suite, nous décrirons de manière détaillée la discré- tisation SPH de la méthode de projection PmIII. Nous allons ensuite appliquer notre méthode SPH à la résolution du problème de l’écoulement simple de Poi- seuille. Nous comparons les profils de vitesse que nous obtenons avec la solution exacte. La précision et l’ordre de convergence de nos calculs sont comparés avec ceux de Bierbrauer et al. [15].
Dans le chapitre 3, nous nous intéressons aux problèmes d’interface qui ont plusieurs applications dans le domaine de la dynamique des fluides. Dans plu- sieurs problèmes d’écoulement de fluide en ingénierie et en mathématiques ap- pliquées, le fluide est séparé en plusieurs régions par des frontières ou des in- terfaces. Dans certains cas, les interfaces exercent une force sur le fluide. Comme exemple de ce cas, nous pouvons citer les problèmes rencontrés dans les sys- tèmes de biofluides. À titre illustratif, on a la dynamique de l’écoulement san- guin à travers les valves cardiaques ; la valve (ici l’interface) exerce une force sur le sang (le fluide) et se déplace simultanément avec la vitesse locale du fluide. Cette formulation du problème a été abordée, entre autres, par Meisner et al. [116] et par Peskin [141, 142]. En physiologie cardiovasculaire, l’on peut retrou- ver comme applications, l’agrégation plaquetaire pendant la coagulation du sang [50, 183] et la déformation des globules rouges dans un écoulement cisaillé [36]. Le problème d’interface est également rencontré dans le domaine de la locomo- tion aquatique [29, 63, 188] et le vol des insectes [117, 118]. Nous allons appliquer notre méthode SPH à la simulation de la dynamique d’une membrane élastique sous tension et immergée dans un fluide visqueux et incompressible. La mem- brane est Hookéenne et exerce le long de sa courbe une force singulière sur le fluide environnant. Nous allons présenter de manière détaillée toutes les équa- tions qui vont permettre au final de simuler le comportement de la membrane. Et enfin, nous présenterons les résultats que nous avons obtenus de nos calculs.
Le chapitre 4 porte sur l’application de notre méthode SPH à la simulation de la dynamique Brownienne d’un écoulement confiné des solutions non diluées de polymères avec interaction hydrodynamique et des forces d’exclusion de vo- lume. Dans une grande variété d’applications allant de la transformation des po- lymères et la rhéologie à la génétique, le comportement dynamique des solutions de polymères confinées dans des petits canaux pendant l’écoulement est d’une importance considérable. Plusieurs de ces applications impliquent directement l’écoulement ou l’électrophorèse de gouttelettes en suspension, des particules ou de longues chaînes de polymères de molécules. La récente émergence des ap- pareils microfluidiques comme les outils d’analyse biochimique a conduit à un intérêt renouvelé à la physique des polymères confinés. Nous nous sommes in- téressés au phénomène de migration des polymères des parois de confinement vers le centre de l’écoulement. Le point de départ de notre algorithme est le sys- tème couplé des équations de Langevin pour le polymère et le solvant (Coupled Langevin equations for polymer and solvant (CLEPS), voir Oono et Freed (1981) et Öttinger et Rabin (1989), par exemple), qui décrit, dans le cas présent, les dy- namiques microscopiques d’une solution de polymère s’écoulant avec une re- présentation bille-ressort des macromolécules. La manière dont les forces sur les billes sont transmises au fluide est d’une importance cruciale pour le succès de notre schéma numérique. Nous adoptons une approche qui n’est pas sans rappe- ler la méthode de Stokeslets régularisés (Cortez, 2001). Nous présenterons toutes les équations du modèle de polymère de même que les résultats que nous avons obtenus de nos simulations numériques.
Contrairement à tout ce que nous aurons fait jusqu’ici qui sont des calculs effectués en dimension deux, nous nous intéressons dans le chapitre 5 à faire des calculs en dimension trois avec notre méthode SPH. Dans un premier temps, nous allons faire le calcul de l’écoulement cisaillé simple de Poiseuille entre deux plaques infinies en dimension trois. Nous allons comparer les résultats numé-
riques avec les résultats analytiques. Nous allons également résoudre numé- riquement le problème de Poiseuille simple dans un canal parallélépipédique. Nous allons aussi comparer les résultats numériques avec la solution analytique à l’état stationnaire. Ensuite, nous allons appliquer notre méthode SPH à la simu- lation de la dynamique Brownienne d’un écoulement confiné des solutions non diluées de polymères avec interaction hydrodynamique et des forces d’exclusion de volume entre deux plaques infinies en dimension trois. Ceci est une généra- lisation tridimensionnelle du problème que nous avons abordé dans le chapitre 4.
Enfin, nous présentons dans le chapitre 6 une conclusion générale et faisons mention d’idées pour la suite des travaux de recherche.