Méthode des points de référence et des particules fantômes

Une autre méthode utilisée pour pallier aux problèmes des conditions aux frontières est la méthode des points de référence et des particules fantômes [44, 129]. Cette approche consiste à créer sur une distance, au moins égale à la longueur de lissage à partir de la paroi, plusieurs lignes de particules dites fan- tômes. L’on crée également dans le domaine de calcul, contenant les particules réelles, une ligne de points dits de référence situés à une distance normale à la pa- roi, comparable à la distance minimale initiale des particules réelles (voir figure 2.1). En chacun de ces points de référence, l’on détermine la vitesse urdu fluide

qui lui est associé ; cette vitesse de référence est ensuite utilisée avec la vitesse de la paroi ub par extrapolation linéaire pour obtenir la vitesse uf de chacune

des particules fantômes f qui lui (point de référence donné) sont associées de fa- çon à satisfaire les conditions aux frontières. La vitesse du fluide en un point de référence r peut être obtenue au moyen de l’interpolation normalisée suivante [44] : ur= P j(mj/ρj)ujWrj P j(mj/ρj)Wrj , (2.4.2)

où la sommation sur j couvre toutes les particules fluides (particules réelles) voi- sines. Cependant, contrairement au travail de Fang et al [44], nous avons réalisé que de meilleurs résultats étaient obtenus avec l’ajout des particules frontières dans la sommation sur j comme nous le verrons par la suite. Si drest la distance

du point de référence r normale à la paroi et dfest la distance d’une particule fan-

tôme à la paroi, définie sur la droite normale à cette paroi et passant par le point r, l’on obtient une vitesse uf de la particule fantôme au moyen d’une fonction

y

FIG. 2.1: Gestion des conditions aux frontières par la méthode des points de ré- férence et particules fantômes.

d’interpolation linéaire de la forme,

F(y) = a0y +b0, (2.4.3)

qui satisfait aux conditions,

F(−dr) = ur, (2.4.4)

F(df) = uf; (2.4.5)

gonale à la paroi ; y = 0 sur cette paroi. Nous obtenons aisément que, a0 = uf−ur df+ dr , et b0 = druf+ dfur df+ dr . (2.4.6)

Nous voulons que F(0) = ubalors nous obtenons que,

uf =  1 + df dr  ub− df dr ur. (2.4.7)

Les points de référence ainsi que les particules fantômes sont créés uniquement au début de la simulation et conservent leur position fixe tout au long, bien qu’ils soient pourvus chacun d’une vitesse. Ajoutons qu’il est tout à fait possible d’ef- fectuer une extrapolation quadratique pour obtenir la vitesse à attribuer aux particules fantômes. Pour cela, il faudrait avoir deux lignes de points de réfé- rence contrairement à une seule ligne dans le cas d’une extrapolation linéaire. Il va sans dire que l’extrapolation quadratique ou d’ordre supérieur va exiger l’ajout d’autres fonctions au code et entraîner inévitablement une augmentation du temps de calcul.

2.4.3

Méthode des particules images

La méthode des particules images que nous avons adoptée dans nos travaux, pour la bonne gestion des conditions aux frontières, consiste à créer à l’extérieur de la paroi des particules dites images [32, 109, 159] qui sont miroirs pour les par- ticules de fluide (particules réelles) qui se trouvent une distance au plus égale à 2hde cette paroi. Ainsi pour chaque particule de fluide i proche d’une frontière, c’est-à-dire que la distance qui la sépare de la paroi est inférieure ou égale à 2h, l’on crée une particule image i0 qui est son image par rapport à cette même paroi (voir la figure 2.2). Chaque particule image porte les mêmes propriétés (masse, densité, viscosité) que la particule dont elle est image. Par contre la vitesse de

FIG. 2.2: Gestion des conditions aux frontières par la méthode des particules images. Nous pouvons y voir les particules fluides ou réelles ainsi que leurs images par rapport à la frontière.

chaque particule image doit être obtenue en fonction de la vitesse de la particule fluide dont elle est image de façon à satisfaire aux conditions de non glissement et de non pénétration sur la paroi. Pour cela, en considérant que y est dans la direction normale à la frontière, on effectue une extrapolation linéaire entre la vi- tesse de la particule fluide uiet la vitesse de la paroi ubau moyen d’une fonction

de la forme,

F(y) = ay + b, (2.4.8)

qui satisfait aux conditions,

F(d_i0) = u

i0, (2.4.10)

où y est l’axe orienté dans la direction normale à la paroi, di et di0 sont respec-

tivement la distance de la particule i et de son image i0 par rapport à la paroi. Nous avons y = 0 sur cette paroi. Nous obtenons aisément que,

a = ui0 −ui

d_i0 + d_i, et b =

diui0 + di0ui

d_i0 + d_i . (2.4.11)

Nous voulons que F(0) = ub et, sachant que di = di0 (car les particules i et i

0

sont équidistantes de la paroi), nous obtenons,

u_i0 = 2u_b−u_i (2.4.12)

qui est la vitesse associée à chaque particule image connaissant la vitesse de la particule fluide dont elle est issue. De même, pour satisfaire la condition de Neumann homogène (2.2.5)

n · ∇ϕn+1 = 0

sur la frontière, la valeur ϕ_i0 de la particule image est donnée par ϕ

i0 = ϕi. Les

particules images sont créées au début de chaque pas de temps de calcul lorsque l’on utilise la méthode LPSPH au cours de la simulation, car comme nous l’avons dit, elles ne sont que des miroirs des particules réelles par rapport à la frontière. Par contre, ces particules images sont créées une seule fois lorsque l’on utilise la méthode EPSPH.

Signalons ici que Bierbrauer et al. [15] proposent une autre approche dans la gestion des conditions de non glissement aux frontières qui consiste à se servir de l’équation de la quantité de mouvement pour approximer la vitesse à attri- buer aux particules images. L’idée principale est de se servir d’une discrétisation de second ordre par la méthode des différences finies des équations de Navier-

Stokes sur la frontière. Leur méthode a montré que la condition aux frontières pour la vitesse était respectée avec une erreur d’ordre quatre en fonction de la distance d’une particule fluide de la frontière, pourvu que cette distance soit suf- fisamment petite.

Pour ce qui est des frontières ouvertes, nous utilisons les conditions aux li- mites périodiques dans la direction de l’écoulement. Ainsi, toute particule réelle qui sort d’une extrémité du domaine, rentre par l’autre ; cela assure la non perte de la matière ou masse au cours de la simulation. Aussi, toute particule réelle qui est située à une extrémité du domaine interagit avec les particules réelles si- tuées à l’extrémité opposée. Donc, ce comportement cyclique des conditions de parois périodiques doit absolument être pris en compte dans la résolution des équations d’écoulement.