1.1.1 Présentation du cadre
Cette thèse porte sur l’étude théorique et numérique d’éléments finis non-conformes ([51],[52],[71],[63],[65], ...) ou pseudo-conformes ([34],[35]) pour des problèmes d’interface, en particuliers sur l’adaptation
de la méthode NXFEM (Nitsche-eXtended FEM [53]) à ce type d’élément.
Les problèmes d’interface sont couramment rencontrés dans des domaines tels que le milieu pétrolier (modélisation de réservoirs, présence de failles, propagation d’un signal, repérage de couches ...), l’aérospatiale (problème de chocs, de rupture), en génie civil, mais également dans la biologie cellulaire (écoulement du sang, déformation des globules rouges) ...
(a)Discontinuité sur le maillage (b) Discontinuité non-alignée
F ig ur e 1.1 –Position discontinuité-maillage
Il est important de situer nos contributions par rapport aux travaux réalisés sur les problèmes d’interface.
✑ La première idée consiste à faire coïncider la singularité sur les lignes maillages (Figure 1.1(a)), on parle alors de maillages adaptés. De cette manière, la définition même des éléments finis permet de bien poser les espaces, et la résolution des problèmes se déroule dans de bonnes conditions. Babuška nous en a expliqué les résultats dans [3].
✑ La méthode Level Set [69] est apparue voici une trentaine d’années. Le principe de celle-ci est de définir une fonction interface dans le domaine de calcul dont la courbe de niveau zéro
est l’interface que l’on cherche à décrire. Cette méthode est une technique numérique pour le suivi des interfaces mobiles, elle s’avère particulièrement pratique pour représenter des fissures 3D et efficace pour la phase de propagation. La résolution d’une équation de convection permet alors de prédire les mouvements de l’interface dans un champ de vitesse donné. Elle manipule les changements topologiques naturellement, sa mise en œuvre est aussi directe en 2D qu’en 3D.
De plus, le calcul des caractéristiques géométriques du problème est particulièrement simple et s’effectue à l’aide du calcul du gradient de la fonction Level Set. [78]
Mais il n’est hélas pas toujours évident d’être dans cette configuration de maillages adaptés.
La simulation numérique sur des domaines à géométrie complexe reste un thème de recherche actif et l’ajout d’une interface ne simplifie en rien ces études. L’indépendance entre maillage et géométrie devient alors une configuration très attractive. Une méthode permettant de s’affranchir de maillages adaptés et conformes, amenant à utiliser des maillages non-adaptés et structurés, donc "simples", serait plus souple (en terme d’hypothèses sur le maillage et son raffinement) et donc plus facile à mettre en œuvre.
Parallèlement à ces travaux, certains se sont donc intéressés aux développements de méthode dans le cas où la discontinuité n’est pas alignée avec le maillage (Figure 1.1(b)).
✒Le premier réflexe a été de se ramener à la configuration précédente, à l’aide de raffinement successifs. Mais la présence de singularités dégrade fortement la convergence de la méthode élément fini, et il ne suffit pas de raffiner fortement le maillage à proximité des singularités pour obtenir une bonne solution. De plus, pour de grands domaines, avec des fractures multiples pouvant se croiser, la tâche devient rapidement coûteuse, difficile à gérer (les mailles peuvant être de plus en plus déformées et aplaties ...), voir même impossible à satisfaire.
Différentes approches ont été proposées pour pallier ce problème, la plupart reposant sur l’introduction de fonctions capables de représenter ce qu’il se passe au niveau de la fissure, mais souvent ces approches faisaient perdre la bonne prise en compte des conditions aux limites.
Néanmoins, on retiendra que Barrett et Elliott [8] ont montré le premier ordre de convergence pour une méthode linéaire par morceaux, mais avaient une erreur de consistence et MacKinnon [62] a utilisé une approche alternative en construisant une nouvelle base FEM. Bramble et King ont prolongé leurs travaux [18].
✒ En 1997, Babuška et Melenk ont introduit une méthode permettant d’avoir les fonctions décrivant la singularité tout en respectant les conditions aux limites [4]. Leur principe est d’intro-duire comme fonction de forme des fonctions capables de prendre en compte la singularité que l’on veut traiter (connues par différentes approches) et de les régulariser sur le bord grâce à une fonction (qui préserve les propriétés des fonctions introduites sur l’intérieur du domaine). Ils ont montré qu’avec cette méthode, on retrouvait le taux de convergence normal.
✒ Plus récemment, le concept X-FEM (La méthode des éléments finis étendue - eXtended Finite Element Method) [66] a été proposé pour tenir compte des problèmes de convergence des éléments finis près d’éventuelles singularités du domaine. Cette méthode est une généralisation de l’idée de Babuška et Melenk, où l’on s’autorise à enrichir l’espace élément fini usuel avec des degrés de liberté supplémentaires et des fonctions singulières (des fonctions de heavyside, solutions asymptotiques ...).
Les méthodes numériques classiques tels que les méthodes éléments finis ou volumes finis pré-sentent souvent une faible précision le long de discontinuités. La X-FEM permet d’obtenir une amélioration de cette précision.
L’un des points faibles de la méthode est l’absence de formulation faible discret.
Les travaux autour de cette nouvelle approche se multiplient [15], se diversifient [33,50], s’amé-liorent [10].
✒ En 2002, A. Hansbo et P. Hansbo proposent une variante, basée sur la formulation de Nitsche : la NXFEM (Nitsche eXtended Finite Element Method) [53]. Dans cette méthode, on n’utilise que les fonctions de bases éléments finis, polynomiales, classiques. Ce qui permet de conserver l’emploi des espaces éléments finis standard. Cette méthode est bien étudiée sur des maillages triangulaires avec des approximations conformes des inconnues.
L’emploi de cette méthode se généralise, pour des applications diverses telles que les domaines fictifs [13,14] et à différentes méthodes éléments finis [64].
1.1.2 Motivations et objectifs
Les algorithmes ont été mis en œuvre en C++ dans la librairie CONCHA (voir Section 1.3), en vue de résoudre des équations de type Darcy et Navier-Stokes. L’utilisation de maillages en quadrilatères et hexaèdres intervient dans beaucoup de domaines applicatifs, et il est indispensable de disposer d’éléments finis robustes et efficaces permettant de garantir des ordres de convergences optimaux (notamment dans le cas d’équations présentant des coefficients fortement discontinus ou anisotropiques) et d’obtenir des codes de calcul rapides.
L’utilisation d’éléments finis non-conformes est un choix judicieux dans de nombreuses ap-plications. Mais dans le cas de maillages en quadrilatères ou en hexaèdres, la non-linéarité de l’application - qui transforme l’élément de référence en un élement du maillage - soulève des difficultés aussi bien théoriques que numériques, sur lesquelles nous nous sommes penchés.
La méthode NXFEM, qui permet le traitement de discontinuités sur un maillage fixe, a été principalement étudiée pour des maillages en triangles ou en tétraèdres avec des approximations conformes des inconnues. La généralisation de cette méthode aux cas des maillages quadrilatères ou en héxaèdres, avec des approximations non-conformes, restent un problème ouvert auquel nous souhaitons donner des réponses.
1.1.3 Perspectives
Plusieurs pistes de recheches sont envisageables. Elles peuvent porter sur des aspects théorique (amélioration des résultats et démonstrations établis), numérique (optimisation du code de calcul) mais également sur le développement d’applications telles que le milieu pétrolier, l’aéronautique, imagerie, globules rouges ...
Afin de mieux comprendre les perspectives à court et long termes, nous proposons d’exposer celles-ci au fil de ce manuscrit, en fin de chaque chapitre.