Le modèle Black-Oil

Plaçons nous toujours dans la cas d’un écoulement tri-phasique avec une phaseW, une phase O, et une phase G.

Chaque phase peut avoir un ou plusieurs constituants. Dans notre cas, nous supposons que : – la phaseW est constituée seulement du constituant Eau, noté e,

– de même, la phase Gn’est composée que du constituant Gaz, noté g,

– enfin, la phase O est constituée de deux constituants : de l’Huile (notéh) et du Gaz.

Attention à ne pas confondre phase et constituant ! Chaque phase peut être constituée d’un ou de plusieurs constituants.

Le loi de Darcy (9.1) s’écrit pour chaque phase : Ð→vO=−Kk_r,O

µ_O (ÐÐ→

gradPO−ρO˜g) (9.3)

Ð→v_G=−Kk_r,G

µ_G (ÐÐ→gradP_G−ρ_G˜g) (9.4)

Ð→v_W =−Kkr,W

µ_W (ÐÐ→gradP_W −ρ_W˜g) (9.5) On écrit ensuite la conservation de la masse de chaque constituant :

– le constituant Eau (dans la phase W) :

∂

∂t(φρeSe) +div(ρeÐ→v_W)=fe (9.6) – le constituant Huile (dans la phase O) :

∂

∂t(φρ_hS_h) +div(ρ_hÐ→v_O)=f_h (9.7) – le constituant Gaz (dans la phase G et dans la phase O) :

∂

∂t(φρ_g,GS_g,G+φρ_g,OS_g,O) +div(ρ_g,GÐ→v_G+ρ_g,OÐ→v_O)=f_g (9.8) où :

– les termes f_i,i=e, h, g sont des termes sources externes,

– ρ_i (ouρ_i,I) est la masse volumique du constituant ipar unité de volume de la phaseI. On élimine bien sûr Ð→vO,Ð→vG,Ð→vW en utilisant les expressions (9.3), (9.4) et (9.5).

Finalement, on résout (9.6), (9.7) et (9.8) (en utilisant les pressions relatives, capillaires, et également quelques relations de thermodynamique), dont les inconnues sontS_O,S_G etP_O. Remarque 9.1. Cette méthode, basée sur les saturations, est celle que l’on rencontre le plus souvent. Mais il existe également une autre approche, qui tient naturellement compte des change-ments de phase. On travaille alors pour cela non plus en saturation mais en masse de constituant par unité de volume.

Les saturations ont un comportement hyperbolique, avec des fronts transportés par le gradient de pression, ou plus exactement par les vitesses de filtration de Darcy. Les pressions ont quant à elles un comportement hyperbolique.

Nous proposons dans ce qui suit de mettre en place les premiers outils pour la résolution de ce système. Le problème étant instationnaire, nous déveloperons des schémas en temps pour une équation parabolique où le terme en dérivée temporelle présente un coefficient discontinu le long de la discontinuité Γ : la porosité Φ. Nous nous intéresserons également à la résolution de problème de transport linéaire par NXFEM.

De plus, nous espérons pouvoir prendre en compte des réservoirs fracturés. Les failles néces-sitent un traitement particuliers car celles-ci ne sont pas seulement des interfaces de discontinuité de coefficients des équations, mais possèdent une épaisseur (même si elle n’est pas toujours prise en compte) dans laquelle les écoulements sont très différents du reste du domaine. Dans le chapitre suivant, nous proposons une approche possible pour le traitement de ces failles.

N X F E M p o u r l a r é s o l u t i o n d ’ u n m o d è l e a s y m p t o t i q u e d e f a i l l e

Sommaire

10.1 Présentation du problème . . . .123 10.2 Etude asymptotique sur un problème modèle . . . .125 10.3 Interfaces courbes . . . .129 10.4 Approximation du type NXFEM pour la résolution du modèle

asymptotique . . . .130 10.5 Résultats numériques . . . .130 10.5.1 Test de validation . . . . 130 10.5.2 Tests de comparaisons . . . . 133

Les milieux géologiques utilisés dans la simulation des réservoirs pétroliers sont des milieux poreux fracturés. L’épaisseur de ces fractures est souvent très petite au regard de la taille du réservoir mais elle joue un rôle très important pour la circulation des différents fluides. La position et les caractéristiques géologiques de ces failles doivent donc être prises en compte lors de la résolution des équations de Darcy. Même si les capacités de résolution des ordinateurs est en constante progression, il n’est pas envisageable de mailler finement les failles.

Plusieurs approches existent pour prendre en compte ces failles. Schématiquement, la première consiste à décomposer la solution dans l’épaisseur de la faille dans une base de petite dimension ([48, 47]), une possibilité étant de choisir une base élément finis en prenant une maille dans l’épaisseur de la faille. Une autre approche consiste à faire un développement asymptotique de la solution en fonction de l’épaisseur de la faille et de chercher les équations vérifiées par les différents termes du développement asymptotique. Cette approche a été largement utilisée en élasticité ([26]) et pour la prise en compte de couche mince ([31,73]). Il est difficile de dire si une approche doit être privilégiée, mais pour notre part nous nous sommes intéressés à l’approche asymptotique parce qu’elle fournit un système d’équations à résoudre bien adapté à la méthode NXFEM.

10.1 Présentation du problème

On considère un domaine Ω^ε borné régulier fracturé, c’est-à-dire Ω^ε=Ω^εin∪Ω^ε0∪Ω^εex où εest un petit paramètre représentant l’épaisseur de la faille (pas forcément constant).

Les tenseurs de diffusion dans les trois sous-domaines peuvent prendre des valeurs très différentes. On suppose que le Ω^ε0 peut être décrit à partir d’une frontière "moyenne" Γ régulière

123

comme suit :

Ω^ε0={x∈R²,x=ξ+tn(ξ);ξ∈Γ et −ε

2h(ξ)<t< ε 2h(ξ)}

où nest la normale à Γ et la fonction épaisseur h définie sur ¯Γ est régulière et bornée.

Le problème de Darcy, noté (P), dans le domaine Ω se pose de la manière suivante :

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

div(−K∇u) = f sur Ω^εin∪Ω^ε0∪Ω^εex, u = 0 sur∂Ω^ε_d,

K∇ⁿu = g sur∂Ω^ε_n, [u] = 0 sur Γ^εin∪Γ^εex, [K∇ⁿu] = 0 sur Γ^εin∪Γ^ǫex.

(10.1)

où

K=⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

K_in si(x, y) ∈Ω^εin, K^ε₀ si(x, y) ∈Ω^ε0, K_ex si(x, y) ∈Ω^εex,

f =⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

fin si (x, y) ∈Ω^εin, 0 si (x, y) ∈Ω^ε0, f_ex si (x, y) ∈Ω^εex.

F ig ur e 10.1 –Un domaine fracturé

On suppose que les composantes des tenseurs de diffusion Ksont à valeurs dans L^∞ et que les tenseurs vérifient les conditions d’ellipticité suivantes :

∃αin>0, K_in(x)y⋅y≥αin∣y∣;∀y∈(R)²;p.p.en x∈Ω^εin,

∃αex>0, K_ex(x)y⋅y≥αex∣y∣;∀y∈(R)²;p.p.en x∈Ω^εex,

∃α0>0, εK^ε₀(x)y⋅y≥α0∣y∣;∀y∈(R)²;p.p.enx∈Ω^ε0,

et on note coercive sur V, de constanteα indépendante de ε.

On associe au problème(P) le problème variationnel suivant :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ qui admet une solution unique pour des données suffisamment régulières.