Principaux résultats

Nous rappelons ici les principaux propriétés et résultats de la méthode des Hansbo. Les (**) indiquent que vous pourrez trouver la démonstration en AnnexeB. Pour le reste, vous pourrez vous reporter à l’article [53].

Lemme 2.1. (**) Coercivité de ah

La forme discrète a_h(⋅,⋅) est coercive sur V_h :

a_h(v_h, v_h)≥C∣∣∣v_h∣∣∣², ∀v_h∈V_h, (2.18) sous réserve que γ soit pris suffisamment grand. On a également continuité :

a_h(u, v)≤C∣∣∣u∣∣∣ ∣∣∣v∣∣∣, ∀u, v∈V, (2.19)

avec

∥v∥²1/2,h,Γ∶= ∑

K∈K^cut_h

d⁻_K¹∥v∥²⁰,Γ_K, ∥v∥²−1/2,h,Γ∶= ∑

K∈K^cut_h

d_K∥v∥²⁰,Γ_K,

∣∣∣v∣∣∣²∶=∥∇v∥²0,Ωin∪Ωex+ ∥ {∇ⁿv}κ∥²−1/2,h,Γ+ ∥ [v] ∥²¹/2,h,Γ.

Lemme 2.2. (**) Consistance

Le problème discret (2.13) est consistant, dans le sens où : { Pour u solution de (2.1), u∈H²(Ωin) ×H²(Ωex) ∶

ah(u, vh)=L(vh), ∀vh∈V_h. Avec pour conséquence directe de ce lemme :

Lemme 2.3. Orthogonalité de Garlerkin

Pour u solution de solution de (2.1) et uh∈V_h, u∈H²(Ωin) ×H²(Ωex) : a_h(u−u_h, v_h)=0, ∀v_h∈V_h.

Estimation d’erreur a priori

Théorème 2.4. Estimation d’erreur a priori

D’après les hypothèses A1−A3 donnée dans la Section1.2.2, et pouru_h solution du problème (2.13), on obtient les estimations d’erreur a priori suivantes :

∣∣∣u−u_h∣∣∣≤Cd_h∥u∥^{2,Ωin∪Ωex} (2.20) et

∥u−u_h∥⁰,Ω≤Cd²_h∥u∥²,Ω_in∪Ωex (2.21) Estimation d’erreur a posteriori

Cette estimation d’erreur a posteriori est obtenue en suivant les travaux de Becker et Ranna-cher [11].

Pour cela, considérons le problème du contrôle des fonctionnelles linéaires j(e) de l’erreur, et définissons les estimateurs locaux et globaux comme suit :

EK(u_h) = (d²_K∥f+ ∇⋅(K∇u_h) ∥²⁰,Kin∪Kex+dK∥ [K_i∇uⁱ_h] ∥²⁰,∂K

+d_K∥g_N−[K∇ⁿu_h] ∥²0,Γ_K+ 1

d_K∥ [u_h] ∥²0,Γ_K)

1

2 (2.22)

et

E(u_h)=⎛

⎝ ∑K∈Kh

d²_KE_K(u_h)²⎞

⎠

1 2

(2.23)

On obtient alors l’estimation d’erreur a posteriori suivante : Théorème 2.5. Estimation d’erreur a posteriori

Pour une fonctionnelle linéaire j(⋅) continue dansL²(Ω), soit J∈L²(Ω) définie par le théorème de représentation de Riesz, c’est-à-dire j(⋅)∶=(J,⋅)Ω.

Alors il existe une constante positive C telle que :

j(e)≤CE(u_h)∥J∥⁰,Ω. (2.24) On renvoie à l’article original [53] pour plus de détails.

U n e va r i a nt e r o b u s t e

Sommaire

3.1 Changements . . . . 29 3.2 Analyse d’erreur a posteriori . . . . 33

C

es travaux ont donné lieu à un article intituléA robust variant of NXFEM for the interface problem soumis et accepté dans la revue Comptes Rendus Mathématique - Académie des Sciences - Paris (cf. [7]) dans lequel nous exposons une amélioration de la méthode ; ainsi qu’à un proceeding de ECCOMAS’12 An adaptive NXFEM for the interface problem on locally refined triangular and quadrilateral meshes (Proceedings of ECCOMAS’12 - cf. [6]) dans lequel nous proposons un estimateur d’erreur par résidu. Enfin, ces travaux ont été présentés dans la conférence avec comité de lectures ECCOMAS’12 (Viennes, Autriche, 2012).

3.1 Changements

On s’intéresse au problème (1.1) :

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎩

div(−K∇u) = f dans Ωin∪Ωex, u = 0 sur ∂Ω,

[u] = g_D sur Γ, [K∇ⁿu] = g_N sur Γ.

(3.1)

Remarque 3.1. Le problème modèle de la méthode originale correspondait à ce problème (3.1) avec g_D=0.

La formulation variationnelle continue du problème (3.1) est à peu de chose près la même que pour l’étude précédente (voir2.6).

On s’intéresse à la formulation discrète. Pour cela, plaçons nous dans le cas où H est une famille de maillages réguliers Kh, constituée de triangles. Considérons les mêmes notations et ensembles que précédemment, auxquels nous ajoutons :

Khⁱⁿ∶={K∩Ωin∶ K∈Kh telle que K∩Ωin≠∅}

l’ensemble des parties de cellules dans Ωin, et

K^exh ∶={K∩Ωex∶ K∈K^h telle que K∩Ωex ≠∅}

l’ensemble des parties de cellules dans Ωex.

Nous travaillerons dans l’espace élément fini suivant :

V_h∶={v_h∈L²(Ω), v_h∣^Ωin ∈C(Ωin), v_h∣^Ωex∈C(Ωex), v_h∣^M ∈P¹(M) ∀M ∈Kⁱⁿh ∪ K^exh }. (3.2)

29

Les fonctions de cet espace sont discontinues le long de l’interface Γ. Celle-ci est divisée en un ensemble de segments :

Sh^Γ∶={Γh∶ K∈ K^h tel queK∩Γ≠∅}.

Soit v_h∈V_h. Pour chaque segment S ∈ Sh^Γ donné, nous fixons la normale unitaire n_S (que nous noterons simplement n) et nous définissons pourx∈S :

v_hⁱⁿ_∣Γ(x) ∶=lim

ε↘0v_h(x−εn), v_h^ex_∣Γ(x)=lim

ε↘0v_h(x+εn).

De plus, les définitions du saut et de la moyenne restent inchangées de celles données en 1.2 et1.3:

[u] (x) ∶=uⁱⁿ_∣Γ(x) −u^ex_∣Γ(x), {u}κ(x) ∶=κinuⁱⁿ_∣Γ(x) +κexu^ex_∣Γ(x),

avec le poids κin +κex = 1. Tout comme pour la méthode originale, on remarque qu’avec ˆ ainsi que la forme linéaire :

l(v_h)∶=ˆ dans laquelle nous utilisons pourS ∈ Sh^Γ, les dérivées discrètes suivantes :

∂n^∗,Kv_h∶={∂n,Kv_h}_κ−γ_S[v_h] (∂n,Kv_h ∶=K∇v_h⋅n∶=K∇ⁿv_h), (3.6) qui dépendent de deux paramètres κ etγ_S (que nous noterons simplementγ dans la suite).

Quelque soit le choix de ces paramètres, la méthode demeure consistante :

Lemme 3.1. Soit u une solution régulière du problème (3.1). Alors, pour toutv_h∈V_h, on a : a_h(u, v_h)=l(v_h).

Démonstration. Utilisons les notations que nous venons d’introduire, et reprenons les arguments employés pour la démonstration de Lemme2.2 de consistance (démonstration en AnnexeB.2).

Par intégration par partie, il vient naturellement :

∑

En utilisant la définition (3.3), ainsi que la condition d’interface[K∇u]=g_N, nous obtenons : [∂n,Ku v_h]={∂n,Ku}_κ [v_h]+[∂n,Ku] {v_h}κ^ˆ ={∂n,Ku}_κ [v_h]+g_N {v_h}^ˆκ.

De plus, [u]=g_D le long de Γ, il vient alors :

Le choix des paramètres κ etγ n’en reste pas moins essentiel, et est naturellement guidé par l’analyse de la stabilité.

En utilisant l’inégalité de Young, le dernier terme est borné : ˆ Ainsi, la coercivité de a_h dépend de la validité de l’estimation du type :

∑ choix des paramètres pour la méthode d’A. & P. Hansbo est le suivant :

κin= ∣Kin∣

∣K∣ , κex =∣Kex∣

∣K∣ , γ∶= Cmax{K_in,K_ex}

d_K , (3.8)

où C > 0 est une constante indépendante de la géométrie et du maillage.

Ce choix garantit la stabilité de la méthode et les bonnes convergences d’erreur, indépendemment de la position de l’interface et de la géométrie de l’élément coupé. En effet, (démonstration complète en AnnexeB.1), comme

∇u_h est constant sur chaque maille coupée, nous avons : ˆ (voir Lemme B.2en Annexe B.1 ).

Et on sait également que pour un maillage non-dégénéré :

Il s’ensuit que la méthode est robuste par rapport à la géométrie du maillage. Les estimations d’erreur d’ordre optimal sont démontrées dans [53]. Elles sont basées sur un opérateur d’interpo-lation particulier, qui provient de la généralisation de l’opérateur standard d’interpod’interpo-lation sur les triangles coupés et d’un opérateur de prolongement.

Soit S∈Sh^Γ dans un élément coupé K=Kin∪Kex. Choissisons à présent pour paramètres : κin= K_ex∣Kin∣

K_ex∣Kin∣ +K_in∣Kex∣, κex= K_in∣Kex∣

K_ex∣Kin∣ +K_in∣Kex∣ γ∶=C K_inK_ex∣S∣

K_ex∣Kin∣ +K_in∣Kex∣, (3.11) oùC>0 est une constante dépendante du degré polynomial mais ni des coefficients de diffusion, ni de la géométrie du maillage.

L’expression des poids coïncide avec celle où l’interface suit avec les lignes du maillage. Elle est basée sur la méthode de Galerkin discontinue avec une pondération harmonique (voir [44]).

Notons que κin/ex≤1, et l’on obtient :

Cette estimation conduit à une stabilité uniforme par rapport aux paramètres de diffusion mais également par rapport à la géométrie des cellules coupées. En suivant l’analyse décrite dans [53], nous pouvons également obtenir des estimations d’erreur d’ordre optimal pour cette NXFEM modifiée.

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 40-47)