Problématique de l'altération linéaire

Présentée simplement, la topographie a pour objectif principal d'établir des cartes et des plans sur lesquels sont représentées toutes les informations relatives aux éléments visibles sur le terrain, qu'ils soient naturels ou articiels. Or, comme la Terre est ronde, un ensemble de lois géométriques et mathé- matiques est mis en oeuvre pour représenter sur un plan tout ou partie d'une surface courbe.

En réalité, la Terre est légèrement déformée par la force centrifuge induite par sa rotation autour de l'axe des pôles. De plus, comme la répartition de la matière composant la Terre n'est pas homogène, sa surface est irrégulière. Elle est donc représentée par une surface équipotentielle de pesanteur appelée géoïde qui correspond au niveau moyen des mers. Comme aucune relation mathématique ne peut s'appliquer sur cette surface, l'ellipsoïde de révolution (volume engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses deux axes) est la surface mathématique de référence utilisée pour modéliser la Terre.

Il est impossible de représenter une surface sphérique à plat sur une carte sans déformation. Autrement dit, tous les systèmes de projection de la surface d'un ellipsoïde sur un plan déforment les longueurs. Cette déformation est modélisée par l'altération linéaire, qui permet de passer d'une distance sur l'ellipsoïde à une distance plane.

En France, le système géodésique légal de référence est le RGF 93. Il est déni par un ellipsoïde de référence global (IAG GRS 1980), par le méridien in- ternational de Greenwich ainsi que par les projections Lambert-93 et Coniques Conformes 9 Zones. L'altération linéaire est une caractéristique propre à chaque projection et est parfaitement connue en tout point du territoire. En fonction de la projection utilisée, l'altération est plus ou moins importante. Elle peut ainsi atteindre 3 mètres par kilomètre avec la projection Lambert- 93, qui couvre tout le pays, alors qu'elle reste inférieure à 10 centimètres par kilomètre dans le cas des CC 9 Zones, localement réparties sur le territoire.

Pour représenter sur un plan une distance inclinée acquise sur le terrain, trois étapes sont nécessaires :

 1) Calcul de la distance horizontale.

 2) Réduction de la distance horizontale sur l'ellipsoïde.  3) Correction de l'altération linéaire.

L'étape 1) est un calcul trigonométrique faisant intervenir la distance inclinée et l'angle vertical. La deuxième étape implique de multiplier la distance horizontale par le quotient de la hauteur ellipsoïdale moyenne entre les deux points par le rayon de la Terre, les distances mesurées sur le terrain étant toujours assez courtes pour assimiler l'ellipsoïde à une sphère. La dernière étape consiste à appliquer le facteur d'altération linéaire à la distance obtenue à l'étape 2).

Exemple :

Soit la station RGP MODA, située sur la commune de Modane, en Savoie, de coordonnées géographiques :

 Longitude : 0642' 36.29470" E  Latitude : 4512' 49.58812" N

 Hauteur ellipsoïdale (he) : 1182.258 m

 Altération linéaire - Projection CC 45 : -78.5 mm/km

Le facteur d'échelle global (F ) permettant de passer d'une distance horizontale sur le terrain à une distance plane (projection CC 45) est de 0.9997.

F =  1 −he R  × (1 + AltCC45) =  1 −1182.258 6370000  × (1 − 78 × 10−6) ≈ 0.999736 ≈260 mm/km (12)

Pour avoir un ordre d'idée, si le calcul est repris pour une distance de 13 kilomètres (longueur du tunnel du Fréjus), la diérence entre la distance ho- rizontale terrain et la distance plane (projection CC 45) est de plus de 3 mètres. La problématique de l'altération linéaire est aujourd'hui éludée par tous les constructeurs de scanners laser. Plusieurs explications peuvent justier cette prise de position : d'une part, la majorité des applications scanners sont très localisées et n'impliquent pas de grandes distances, auquel cas l'altération linéaire est négligeable. D'autre part, en cas de géoréférencement, comme les cibles sont connues en coordonnées dans un système de référence, l'altération est prise en compte au moment de la projection. La question reste en revanche

sans réponse dans le cas d'une consolidation basée sur les nuages de points sur de grands linéaires.

Pour tenter d'apporter une réponse à cette problématique, il convient tout d'abord de s'intéresser aux formats d'exports disponibles dans LaserControl. Parmi les dix-sept que propose le logiciel, seul le format ASCII permet d'accéder aux données de distance et d'angles relatives à chaque point du nuage.

Structure du chier d'export ASCII :

Xlocal | Ylocal | Zlocal | % Intensité | R | V | B | Distance | Hz | V

Chaque point du nuage est donc caractérisé par ses coordonnées relatives par rapport au scanner, un indice d'intensité du rayon laser rééchi, les valeurs des composantes rouges, vertes et bleues, la distance inclinée (Di) par rapport

au scanner et les données angulaires (angles horizontal Hz et vertical V ). Considérer l'altération linéaire revient à appliquer un facteur d'échelle aux distances projetées sur l'ellipsoïde, ce qui équivaut à appliquer deux facteurs d'échelle successifs aux distances horizontales (cf exemple page 38).

Les instructions de l'algorithme permettant de corriger les distances inclinées du chier d'export sont les suivantes :

 Calcul des distances horizontales :

Dh = Di× sin(V ) (13)

 Réduction de la distance horizontale sur l'ellipsoïde :

D0= Dh× (1 + k1) (14)

 Distance corrigée de l'altération linéaire : Dcarto= D0× (1 + k2)

= Dh× (1 + k1) × (1 + k2)

= Di× sin(V ) × (1 + k1) × (1 + k2)

= Di× K

(15)

 Calcul des nouvelles coordonnées :                  Xcarto− Xscan = Dcarto Dh × (X − Xscan) Ycarto− Yscan = Dcarto Dh × (Y − Yscan) Zcarto− Zscan = Dcarto Dh × (Z − Zscan) (16)

⇔                  Xcarto = Xscan+ Dcarto Dh × (X − Xscan) Ycarto = Yscan+ Dcarto Dh × (Y − Yscan) Zcarto= Zscan+ Dcarto Dh × (Z − Zscan) (17)

Les coordonnées (Xscan, Yscan et Zscan) correspondent aux coordonnées du

scanner dans le système RGF 93. Pour appliquer l'altération linéaire à tous les points du nuage, il faut nécessairement que le scan soit géoréférencé.

Le géoréférencement d'un scan est une condition susante au géoréféren- cement de tout le linéaire considéré. Eectivement, le premier nuage est xé et les nuages suivants sont assemblés successivement en cloud to cloud. Leur position est donc déterminée dans le système de référence. Le facteur d'échelle global est ensuite appliqué et la consolidation est une nouvelle fois calculée.

L'algorithme déni, il sut de le traduire en langage informatique. Le script est écrit avec le langage de programmation Matlab6_{. Il est composé}

de trois parties. Tout d'abord, le chier ASCII est importé. Ensuite, les distances et les coordonnées sont corrigées. Finalement, les données corrigées sont écrites dans un nouveau chier.

Le Tunnel du Fréjus ne constitue pas un bon exemple dans la mesure où le système de référence du tunnel est un système lo- cal dont l'ellipsoïde associé a été calculé de manière à ce que l'altération linéaire moyenne soit nulle sur l'ensemble du chantier.

Fig. 14  Rapport homothétique appliqué à un nuage de points

Pour l'exemple, l'hypothèse selon laquelle le système de référence courant est le RGF93 est admise. An d'illustrer le résultat de l'algorithme, deux nuages de points sont superpo- sés : le bleu est obtenu avec un facteur d'échelle global égal à 0.9997 (correspondant à l'exemple précédent) et le gris avec un facteur global arbitraire de 0.7. Pour un rendu visuel plus par- lant, la densité de points du nuage bleu a été divisée par 100.

Le processus de correction des mesures acquises par scanner laser est pos- sible et apporte une alternative à la problématique de l'altération linéaire dans le cas d'une consolidation basée sur les nuages de points sur de grands li- néaires. Eectivement, le chier corrigé ainsi créé peut être importé dans les logiciels gérant l'extension .asc et tous les traitements relatifs aux nuages de points peuvent ensuite être réalisés. Toutefois, la démarche employée est su- jette à de nombreuses solutions d'optimisation, la contrainte principale étant celle du poids des données. En eet, le chier issu de la procédure d'export occupe un espace de stockage beaucoup plus important que le chier initial. Pour l'exemple, le nuage initial a été sous-échantillonné. S'il ne l'avait pas été, les données n'auraient été accessibles qu'au moyen d'éditeurs de texte payants (UltraEdit ou EmEditor par exemple) et de logiciels de programmation ultra performants.