Commande sous optimale des modèles TS incertains
4.2. Modèle TS et fonction de coût
4.4.1. Problématique : construction du système augmenté
En considérant toujours le cas des systèmes incertains donnés par (4.1), nous supposons dans cette section que tout les états ne sont pas disponibles à la mesure. Dans ce cas, la synthèse d’un observateur d’état est nécessaire. Considérons l’observateur flou donnée par :
2r( ) x t
2( ) x t
( ) [ ]
La loi de commande que nous avons considérée en (4.6) devient alors :
( ) [
ˆ]
L’objectif de synthèse dans cette approche consiste aussi à déterminer une condition sur les gains Ki, permettant de minimiser le critère quadratique (4.5). Aussi, pour avoir des conditions en terme de LMI, et avec moins de conservativité la dynamique de la variable augmenté sera composée de ; la dynamique de l’erreur d’estimatione to( )=x t( )−x tˆ( ), celle de l’erreur de poursuite e tp( )=x t( )−x tr( ), et la variable de référence ( )x tr .
En considérant la loi de commande (4.35) et le modèle de référence (4.4), nous pouvons exprimer chaque variable du système augmenté en fonction de ses dynamiques. Le modèle TS (4.1) devient :
Par conséquent, la dynamique de l’erreur d’estimation s’écrit :
( ) r r ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Enfin, la dynamique de l’erreur de poursuite est donnée par :
]
Grâce aux équations (4.37), (4.38) et (4.4) respectives, on aboutit au système augmenté suivant :
Or, la loi de commande peut être écrite en fonction de la variable augmentée comme suit
[ ]
( ) r i( ( )) i ( ) a ( )
i 1
u t h z t K x t K x t
=
=
∑
= (4.43)Pour assurer la stabilité du système en boucle fermée (4.39), avec une commande minimisant le critère quadratique (4.5), l’inégalité suivante doit être vérifiée (Tanaka & Wang, 2001) :
( , )
( ( )) T( ) ( )+ ( )T ( ) dV x t
2 V x t x t Q x t u t Ru t 0
dt + α + < (4.44)
Avec V x t( , ) une fonction de Lyapunov quadratique avec un taux de décroissance α :
( ( )) T( ) ( )
V x t =x t Px t avec P P= T >0 (4.45)
Comme la loi de commande qui découle de la condition (4.44) est également sous-optimale puisque la borne supérieur de J dépend des conditions initiales i.e. x 0 Px 0T( ) ( ), on introduit alors un paramètre λ à minimiser dans le problème :
( ) ( )
J ≤x 0 Px 0T ≤λ (4.46)
4.4.2. Conditions de stabilité
Le résultat principal concernant la synthèse de commande avec observateur se résume dans le théorème suivant
Théorème 4.2:
Pour t>0 et hi(z(t))hj(z(t))≠0
Le système en boucle fermée (4.8) est globalement asymptotiquement stable et minimise la fonction de coût (4.5), s’il existe des matrices symétriques définies positivesP1 =P1T >0,P3 =P3T >0 N2 =N2T >0 M > 0 et des constantes positives µ1, µ2,
µ3, µ4, µ5, µ6, µ7 et µ8, tels que le GEVP suivant est verifié
min
, ,D’une façon similaire au théorème 4.1 pour le système augmenté (4.39), en considérant ( )t 0
θ = et en partant de (4.44), on aboutit à :
T T
a a a a
A P PA+ +2 P Q K RKα + + <0 (4.49)
On peut également montrer que la borne supérieure de la fonction J est donnée par : ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )
T T T
J =
∫
0∞x t Q x t u t Ru t <x 0 Px 0 (4.50) Cette borne peut être minimisée en introduisant λ selon le problème GEVP :( )T ( ) J <x 0 Px 0 <λ.
Maintenant il reste à garantir l’ISS pour montrer la stabilité avec une entrée bornée et variant dans le temps i.e. θ( )t ≠0. En effet, nous pouvons déterminer deux fonctions δ
( )
. et β( )
. declasse K∞ telles que :
(
( )) (
( )) (
( ))
V x t ≤β θ t −δ x t (4.51)
Pour montrer cela, nous avons à partir de (4.49) :
( )
min 2PΓ 2 étant borné. Donc en résolvant le problème LMI associé à (4.49), (4.53) assure que la propriété (4.51) est vraie, et donc l’ISS de (4.39) est garantie. De même, en revenant à l’inégalité (4.49), et en utilisant le lemme 4.1, et les transformations (4.43) et (4.40), la contrainte (4.49) devient :
( ( )) ( ( )) remplaçant les matrices augmentées, (4.54) est alors équivalente à :
(*) (*) (*) (*)
Il suffit maintenant de ramener les matrices incertaines dans les blocs diagonaux. Ceci peut être réalisé en utilisant le lemme B.2 et le résultat de l’exemple B.2 dans l’Annexe B. Ainsi, l’inégalité (4.55) implique la contrainte suivante :
( ) (*) (*) (*) (*)
Pour aboutir à une condition LMI, nous procédons à une congruence de (4.56) par
[
2 2]
diag N N I I I où N2 =P2−1. L’inégalité (4.56) devient :
( ) (*) (*) (*)
En utilisant le lemme 3.1, on peut majorer N2ΩN2 en introduisant un scalaire positif α. Le premier bloc diagonal, correspondant aux deux premières lignes et aux deux premières colonnes de l’inégalité (4.57), peut être majoré de la manière suivante :
( ) T T 2 1 ( ) T T
2 2 1 5 j bi bi j 2 1 5 j bi bi j
N ΩN + µ +µ Y E E Y ≤ −2 Nβ −β Ω +− µ +µ Y E E Y
pour i,j=1, 2,…,r, (4.58)
En effectuant un complément de Shur, la contrainte (4.58) devient alors :
( )
A partir de (4.59) et (4.57) et avec des complément de Shur on aboutit à l’inégalité (4.48) du théorème 4.3.
4.4.3. Exemple et Simulation
Pour montrer les performances en poursuite avec l’approche LMI du théorème 4.2, on considère le modèle exact du pendule inversé donné en Annexe D.
On calcule les gains de commande Ki et Li selon la condition LMI définies dans §4.4.2 En choisissant :
r
Les résultats des figures (4.3 – 4.7) illustrent les simulations effectuées pour une poursuite de trajectoire sinusoïdale. Ainsi dans le cas d’une commande avec critère optimal et observateur, on constate qu’aussi bien les performances de poursuite que celle de l’observateur, sont garanties. Les zooms figure 4.5b et figure 4.b illustrent la convergence des états réels et estimés vers la trajectoire de référence. Nous avons représenté sur la figure 4.7a et 4.7b respectivement les erreurs d’estimation en position et en vitesse. Le signal de commande et l’erreur quadratique sont donnés respectivement sur les figures 4.8a et 4.8b. On constate que la commande, dans cette approche, est beaucoup moins sollicitée que celui de l’approche H∞
ce qui est de surcroît normal puisque le critère de coût minimise également la commande.
Notons que les gains calculés dans cette approche sont obtenus en une seule étape également.
Et que la commande sous optimale développée, est une alternative pour assurer la poursuite de trajectoire. Figure. 4.3: a) Poursuite en position. b) Zoom
ˆ ( )1 x t
1r( ) x t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure. 4.4: a) Poursuite en vitesse. b) Zoom.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure. 4.5 a) Erreur d’estimation de position. b) Erreur d’estimation de vitesse
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figure.4.6 a) Signal de commande (Newton) b) Erreur quadratique de poursuite
2r( ) x t
ˆ ( )2 x t
4.5. Conclusion
Le problème de suivi de trajectoire dans ce chapitre, a été traité avec une approche dite sous optimale. Elle permet de faire une synthèse de commande minimisant une fonction de coût de type quadratique. Cependant la borne supérieure de cette fonction de coût, dépend des conditions initiales du système ce qui nécessite un nouveau calcul des gains à chaque changement de conditions initiales. La minimisation de la fonction de coût se traduit donc par un problème de valeurs propres généralisé (GEVP) sous des contraintes formulées en LMI. La synthèse de commande a été effectuée en prenant en considération la disponibilité ou pas de l’état du système. Ainsi, nous avons établies des conditions directement sous forme LMI aussi bien dans le cas avec ou sans observateur. Pour chaque cas, un exemple de simulation a été illustré. L’objectif ici était surtout de développer une autre alternative de poursuite de trajectoire pour les modèles TS incertains et non pas de la comparer avec l’approche H∞.
Néanmoins un compris en la qualité de la poursuite, l’atténuation des perturbations ou l’allure du signal de commande reste toujours à faire selon les critères de performances souhaitées.