Autres approches de synthèse 1 Placement de pôles

La commande par placement de pôles est parmi les méthodes utilisées pour spécifier les performances souhaitées. Cette approche, consiste à construire une loi de commande de telle manière à ce que les valeurs propres en boucle fermée pour chaque sous modèle linaire soient situées dans un domaine prédéfini (D), i.e. : σ

(

)

Bien entendu, ce placement de pôles n’est qu’une description du comportement du modèle non linéaire obtenu sous forme TS. La performance attendue (temps de réponse, coefficient d’amortissement…) sera donc une approximation attendue des dynamiques fixées pour tous les modèles locaux. Dans le cadre des modèles TS, l’idée est de caractériser des régions dans le demi plan complexe gauche (Chilali et al., 1996) avec une fonction de Lyapunov en terme de problèmes LMI. Pour ce faire, on défini un domaine D par trois paramètres λ, ρ et ϑ selon la figure 1.2.

Figure 1.2. :Définition d’un domaine (D)

Pour un modèle linéaire, les valeurs propres de la matrice d’état A sont situées dans ce domaine (D), i.e. ( )σ A ⊂D s’il existe une matrice P>0 telle que (Chilali et al., 1996)

Dans le cadre des modèles TS, ces méthodes de caractérisation ont été appliquées dans (Palacios-Hernandez, 2004). Dans ce contexte, Hong & Langari (Hong & Langari, 2000) procèdent de la même manière avec une atténuation des perturbations. Dans le cas de modèles TS incertains, les travaux de (Toulotte et al., 2004) utilisent le placement de pôles pour toutes les incertitudes admissibles.

1.4.4.2 Commande optimale

La commande optimale est parmi les méthodes de synthèse de commande les plus élaborées pour spécifier les performances d’un système, notamment l’optimisation du coût de la commande, le temps, les grandeurs des variables d’état etc … (Alazard et al., 1999 ; Zhou et al., 1995). Cette approche consiste à chercher un commande minimisant une fonction de coût notée J et qui est généralement de la forme quadratique suivante

(

)

J =

∫

Où Q et R sont deux matrices définies positives de dimensions appropriées

Dans le cas linéaire, on utilise la commande par retour d’état, la recherche des gains revient à résoudre l’équation de Ricatti (Alazard et al., 1999), ce type de contrôleur est connu sous le nom d’un problème LQR (Linear Quadratic Regulator). Cependant, pour les systèmes non linéaires en général, le problème d’optimisation se réduit à résoudre l’équation de Hamilton-Jacobi qui représente une équation aux dérivées partielles (Tanaka et al, 1998). Dans le cas de la stabilisation des modèles TS, il existe plusieurs travaux concernant la commande optimale, ou plutôt sous optimale du fait de l’existence d’une borne supérieure, dans (Wu & Lin, 2000a) les auteurs proposent une méthode de conception d’un contrôleur flou optimal à horizons (temps) finis pour les modèles TS continus et discrets. Dans ce même contexte (Wu & Lin, 2000b) présentent une approche globale, c’est à dire, un contrôleur flou optimal à horizons libres (fixes) et à horizon infini. Dans (Park et al, 2004) un contrôleur optimal avec des contraintes sur la commande est proposé. Ce type d’approche se transpose en utilisant la commande PDC (1.19) de la même manière que celle d’un système linéaire sous une formulation LMI, à l’aide d’une fonction de Lyapunov quadratique (Tanaka & Wang, 2001).

Nous exploiterons dans la suite de ce travail le résultat principal de cette dernière approche qui peut être synthétisé dans le théorème suivant:

Théorème 1.8 : (Tanaka & Wang, 2001)

Si µ est la borne supérieur de la fonction J telle que

( )^T ( )

J <x 0 Px 0 <µ (1.70)

Alors, les gains de retour de la commande PDC (1.19) sont obtenus en résolvant le problème d’optimisation suivant :

En utilisant les conditions du théorème 1.8, la borne supérieur de J (1.70) est égale à ( ) ( )

x 0 Px 0T , par conséquent la loi de commande adoptée est alors sous optimale puisque la borne supérieur de J dépend des conditions initiales i.e. x 0 Px 0^T( ) ( ).

Cette dernière approche, sera exploitée par la suite pour proposer une synthèse de commande optimale pour les modèles TS dans le cas du suivi de trajectoire en rajoutant un modèle de référence.

1.5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté un aperçu bibliographique sur les différents problèmes des modèles TS. Nous avons mis en avant les principaux résultats de la littérature concernant

la stabilisation des systèmes représentés par des modèles TS. Nous avons également détaillé le principe de la commande PDC et la mise en œuvre d'observateur TS. Ces outils présentés serviront également pour les travaux que nous abordons dans les chapitres suivants

Par ailleurs, nous avons présenté également quelques résultats concernant la relaxation des LMI. Quant aux systèmes TS incertains et/ou perturbés, quelques résultats de commande robustes ont été cités, notamment les approches PDC utilisant un critère H∞. A la fin du chapitre, d'autres approches spécifiant les performances d’un système TS ont été traitées : la synthèse de commande par placement de pôles et la commande optimale.

Notons que tous les résultats cités dans ce chapitre ne concernent que le problème de stabilisation des modèles TS. En revanche, le problème de suivi de trajectoire est peu ou pas traité dans la littérature et reste encore ouvert. Ce dernier, se subdivise à son tour en deux problèmes différents ; le problème de synthèse de commande robuste et celui de l’exploitation numérique des résultats. En effet, le passage du problème de stabilisation au problème de suivi de trajectoire n'est pas trivial dans le cas des modèles TS et l’obtention des résultats en terme de LMI n’est pas systématique. Mais d’un certain point de vue, la méthode d’analyse reste similaire pour traiter le problème de stabilisation et celui du suivi de trajectoire. C'est ce dernier point qui fera l'objet des travaux menés dans les chapitres suivants

Chapitre 2