Problème en flexion pure inhibée : nappe bisupportée sous poids propre

Fibres alignées avec le maillage

Dans ce second test, la nappe précédemment décrite est maintenant supportée à ses deux extrémi- tés dans le sens des fibres (cf figure 4.8(a)), et soumise à une densité de force transverse uniforme (qui peut être considérée comme son poids propre).

(a) Configuration initiale (b) Configuration déformée FIG. 4.8: Nappe plane bisupportée sous poids propre.

On suppose ainsi que les trois composantes de déplacements sont bloquées à ces extrémités Pour modéliser cette situtation dans notre modèle éléments finis, nous bloquons les trois composantes de déplacements aux 2 N E2noeuds de translations situés aux intersections de la surface moyenne

de la nappe et des extrémités où la nappe est supportée, mais que les rotations y sont laissées libres. Tous les degrés de liberté des autres noeuds sont laissés libres.

Les extrémités des câbles initialement rectilignes étant fixes, il est évident que tout déplacement va créer un allongement des câbles (cf figure 4.8(b), de telle sorte que eKf l=

©

(x0,d0_i)ª. Ce problème est donc un problème à flexion des câbles purement inhibée.

Comme dans le test précédent, le rôle de la gomme est ici négligeable. Pour une densité surfacique de force f = f3e3donnée, en supposant les déformations restent petites, nous pouvons essayer d’ap-

procher la solution par une expression analytique en linéarisant le problème variationnel Pb2.4.2 autour de la configuration de repos plane. En procédant comme cela a été fait dans la sous-section 4.3.1, nous admettons qu’on se ramène au même système d’équations différentielles 4.32 sous les

conditions aux limites :

∀X2∈ [0;L2],

(

δx(0, X2) = δx(L1, X2) = 0 ω′(0, X2) = ω′(L1, X2) = 0

L’unique solution de ce problème vérifie alors :

∀X1∈ [0;L1],∀X2∈ [0;L2],        δx1(X1, X2) = 0 δx2(X1, X2) = 0 δx3(X1, X2) =_{2 E I}f3 ¡₁₂1 X14−16LX13 ¢ −2 G Af3 X12+ f3 2 ³ 1 G A+ L2 12 E I ´ LX1 (4.35)

Remarque : Lorsqu’on résoud analytiquement le système d’équations différentielles précédent, on voit clairement l’importance numérique du terme de couplage ccoupl ω1ωˆ1. Si ce terme n’était pré-

sent, le problème précédent serait mal posé car la rotation ω1serait définie à une constante près, ce

qui signifie que l’énergie serait non coercive.

Lorsque le diamètre des fibres tend vers 0, alors 1/G A devient négligeable par rapport à L2_{/E I , donc}

les déplacements peuvent être approchés par :

∀X1∈ [0;L1],∀X2∈ [0;L2],      δx1(X1, X2) = 0 δx2(X1, X2) = 0 δx3(X1, X2) =_{2 E I}f3 ¡₁₂1X14−16LX13 ¢ +L 2_f 3 24 E ILX1 (4.36)

Pour obtenir un déplacement vertical δ au centre de la nappe, la linéarisation du problème nous suggère d’imposer la densité surfacique d’effort :

f3= −64 E I e L4 δ

On voit dans cette expression que la rigidité de la nappe au voisinage de la configuration plane est proportionnelle à E I

e . Cela est logique, puisqu’on retrouve une forme similaire aux problèmes de plaques linéaires, qui résistent uniquement en flexion.

Mais dans notre cas, le domaine de validité de cette linéarisation diminue en fait avec ǫ, et c’est très rapidement le terme de membrane des câbles qui résiste dans le problème de nappe bisupporté. On représente la forte non-linéarité présente dans ce problème sur la figure 4.9. Il est alors difficile de contrôler proprement les calculs numériques lorsque le paramètre ǫ diminue.

f3 u3 Rigidité au repos E I e = O(ǫ3) Rigidité en membrane E A e = O(ǫ)

Pour éviter cette forte linéarité et ainsi travailler sur un problème qui est mieux contrôlé, nous exer- çons d’abord une traction horizontale de la nappe, de manière à obtenir x′_{= (1 + γ)e}

1. Pour imposer

cette tension, nous bloquons toujours les déplacements δx2et δx3en bout de nappe, mais nous y

exerçons en plus une densité linéique d’efforts f =E A e γe1.

La tension rend alors le terme de membrane prédominant, et la rigidité en flexion de la nappe est alors négligeable par rapport à la rigidité en membrane. La solution du problème peut alors être approchée en résolvant le problème de membrane linéaire

Trouver δx minimisant ZZ ¯ P 1 2 E A e ¡°°(1+γ)e1+ δx ′°_{° −1}¢2_{− f · δx d X1d X2} sous la contrainte ∀X2∈ [0;L2],δx(0, X2) = δx(L1, X2) = 0.

Nous admettons que la solution de ce problème est

∀X1∈ [0;L1],∀X2∈ [0;L2],      δx1= 0 δx2= 0 δx3=1₂¡1 +1_δ¢f_{E A}3eX1(L − X1)

Pour obtenir un déplacement vertical δ au centre de la nappe, la linéarisation du problème nous suggère d’imposer la densité surfacique d’effort :

f3= 8γ

1 + γ

E A e Lδ

Dans les tests présentés ici, nous choissons d’imposer d’abord une tension horizontale de 0.5mm, puis une déflexion de 0.1mm au milieu de la nappe.

Il est bien connu que la méthode des éléments finis standard est adaptée à ce genre de problèmes dominés en membrane. On vérifie donc sur la figure 4.10 la bonne convergence de notre modèle en l’absence de sous-intégration quelque soit la valeur de ǫ.

Le résultat qui est plus important est donné sur la figure 4.11 : la bonne convergence est conser- vée lorsqu’on utilise le coefficient de sous-intégration 4.34 et aucun mode parasite n’est observable même pour des petites valeurs de ǫ.

(a) ǫ = 1

(b) ǫ = 10−2

(c) ǫ = 10−4

FIG. 4.10: Convergence des éléments finis sur un problème dominé en membrane lorsque l’épaisseur diminue et que l’énergie est intégrée de manière exacte.

(a) ǫ = 1

(b) ǫ = 10−2

(c) ǫ = 10−4

FIG. 4.11: Absence de modes parasites sur un problème dominé en membrane lorsque l’épaisseur diminue et que le terme d’énergie de membrane est sous-intégré en utilisant le coefficient de sous- intégration donné par l’expression 4.34.

Fibres inclinées par rapport au maillage

Nous avons vérifié avec le test précédent qu’ancun mode parasite n’apparaît sur un problème à flexion pure inhibée dans lequel les fibres sont alignées avec le maillage. Mais cette situation semble particulière, et il convient d’étudier un cas plus général à flexion pure inhibée.

Pour ce faire, nous considérons maintenant une nappe fibrée carrée, dans laquelle les fibres forment un angle α =5 π₁₂ avec e₂et ne sont donc plus alignées avec le maillage (cf figure 4.12).

e

e

α =

FIG. 4.12: Nappe plane supportée aux bords avec fibres inclinées.

Les dimensions caractéristiques de la nappe de référence sont :            L1= L2= 100mm t0_{= 1.8mm} e0= 2.25mm r0_{= 0.42mm}

La nappe est supportée à ses quatre bords et soumise à une densité de force transverse sinusoïdale :

f ǫ = ǫ f0si n µ 2πX2 L2 ¶ e₃

Nous discrétisons cette nappe avec les éléments finis Q2 décrits dans la section 4.1, avec N E élé- ments dans les deux directions du plan, alors qu’on ne prend que N E3= 1 élément dans l’épaisseur.

La solution de ce problème est approchée sur la figure 4.13, qui correspond au résultat obtenu sur un maillage très fin sans sous-intégration de l’énergie de câble.

FIG. 4.13: Solution approchée du problème de nappe supportée aux bords avec fibres inclinées.

Sur ce problème, on observe qu’une sous-intégration exagérée de l’énergie de membrane peut en- gendrer deux types de modes parasites :

– des modes en forme de sablier à l’échelle des éléments finis (cf figure 4.14(a)) ; – des modes en forme de lignes parallèles aux fibres (cf figure 4.14(b)).

(a) ǫ = 10−2_{, ρ = 10}−3 _{(b) ǫ = 10}−3_{, ρ = 10}−3

FIG. 4.14: Formes de modes parasites pouvant apparaître avec une sous-intégration trop forte.

Dans notre cas, on reprend un coefficient de sous-intégration ρ défini par l’expression 4.34, et on vérifie sur la figure 4.15 qu’aucun mode parasite n’apparaît en allant jusqu’à des rapportsr

Lde l’ordre de 10−4_{. Même si quelques légers modes sont visibles devient extrèmement fine (cf figure 4.16), ce}

(a) N E = 10 (b) N E = 20 FIG_{. 4.15: Résultats obtenus avec notre modèle pour ǫ = 10}−4.

(a) N E = 10 (b) N E = 20

FIG_{. 4.16: Résultats obtenus avec notre modèle pour ǫ = 10}−5.

Les trois tests présentés dans cette section ont prouvé que la sous-intégration du terme de mem- brane permet d’obtenir une bonne convergence à la fois sur les problèmes dominés en flexion et dominés en membrane. Nous utiliserons donc le coefficient de sous-intégration 4.34 dans tous les autres tests numériques de ce mémoire.