Les méthodes élaborées en homogénéisation analytique présentent l’avantage que leur coût de cal- cul est le même qu’une loi de comportement usuelle lorsqu’elles sont utilisées dans un code d’élé- ments finis. Cependant, elles ne restent valables que pour une nombre limité de géométries et de matériaux, et font toujours l’hypothèses d’échelles très séparées.
La complexité croissante des comportements mécaniques couplée au développement des moyens de calcul ont alors poussé à une utilisation de plus en plus fréquente de méthodes numériques pour résoudre les problème multi-échelles.
L’application la plus simple des méthodes numérique est la "méthode de cellule élémentaire". Celle- ci consiste à réaliser un grand nombre de calculs sur le VER d’un matériau composite, puis de filtrer leurs résultats pour approcher les coefficients d’une loi macroscopique. Cependant, cette approche suppose que l’on connait la forme de la loi macroscopique. Comme l’a montré (Mchugh et al., 1993), la forme d’une loi de comportement non linéaire n’est pas préservée entre les échelles microsco- pique et macroscopique. Ainsi, il semble très difficile de postuler la forme d’une loi homogénéisée à l’avance puis d’en calculer ses coefficients par cette méthode.
La solution est alors de construire une méthode numérique indépendante des lois de comportement utilisées, ce qui conduit aux méthodes dites d’homogénéisation numérique.
5.3.1 Homogénéisation numérique du premier ordre
La différence principale entre les homogénéisations numérique et analytique réside dans la manière d’approcher la solution à l’échelle locale : alors que les méthodes analytiques cherchent à l’appro- cher par une expression explicite, les méthodes d’homogénéisation numériques résolvent le pro- blème aux limites microscopique numériquement.
Ainsi, les trois étapes qui avaient été décrites dans la sous section 5.2.1 restent valables, en les adap- tant au cadre des grandes déformations, qui utilise le gradient des déformations F et sa variable conjuguée, le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff P = δw/δF (cf figure 5.6). Il faut : 1) Déterminer les conditions aux limites liant la déformée xmau gradient F
M; (localisation) 2) Résoudre numériquement le problème aux limites correspondant ; (résolution)
3) Calculer P
Men moyennant Pm sur le VER. (homogénéisation)
Les idées principales de cette méthode ont été présentées dans (Suquet, 1985).
Par rapport à l’homogénéisation analytique, on suppose toujours que les échelles sont infiniment séparées, mais par contre aucune hypothèse n’est faite sur la loi de comportement de chaque ma- tériau. On s’intéresse ici aux matériaux hyperélastiques utilisant une densité d’énergie polyconvexe
w quelconque, mais ces méthodes ont également été utilisées sur des problèmes plus complexes (cf
Ω
Ωe
Résolution d’un problème aux limites P M +tangent F MFIG. 5.6: Homogénéisation numérique du premier ordre
Plusieurs types de conditions aux limites peuvent être utilisés dans le problème local, la seule contrainte étant qu’elles permettent de satisfaire le lemme de Hill :
P M : FM= 1 |Ωe| Z Ωe P m(X ) : Fm(X )d X (5.11)
Dans la littérature, trois types de conditions aux limites vérifiant la condition 5.11 sont souvent uti- lisés :
x = FM· X sur δΩe (déplacements imposés) (5.12)
t = PM· n sur δΩe (efforts imposés) (5.13)
(
x+− x−= F
M· ¡
X+− X−¢
t+= −t− (périodicité avec déformation imposée) (5.14)
Il a été observé dans la littérature (cf (van der Sluis et al., 2000), (Terada et al., 2000) ou (W ohlmuth, 2001)) que les conditions de périodicité donnent de meilleures estimations des propriétés macro- scopiques. On privilégiera donc ce type de conditions aux limites dans le problème local, qui sont d’ailleurs logiques lorsqu’on se place loin des bords de la structure.
Une fois que le problème local a été défini avec ses conditions aux limites, plusieurs méthodes nu- mériques de résolution sont possibles :
– Dans la majorité des cas, la méthode des éléments finis classique est choisie (cf (Feyel and Kl, 2003), (K ouznetsova et al., 2001), (Temizer and Wriggers, 2007), (Oezdemir et al., 2008),...) ; – Pour accélérer les calculs, le transformée de Fourier rapide (FFT) est parfois utilisée (cf
(Moulinec and Suquet, 1994), (Moulinec and Suquet, 1998) et (Michel et al., 1999)).
On remarquera que la résolution numérique des problèmes locaux se fait "à la volée", c’est à dire en même temps que le calcul macroscopique. Une telle méthode est dite concurrentielle, puisque les
solveurs aux deux échelles sont concurrents pour se partager les ressources de la machine de calcul. Par opposition, on dit qu’une méthode est séquentielle si les résolutions aux deux échelles se sont pas simultanées. Par exemple, il est possible de lancer une série de calculs microscopiques, puis de se servir de ces résultats par interpolation pour approcher la loi de comportement homogénéisée dans un calcul macroscopique.
Ces méthodes d’homogénéisation numérique sont très utiles, et sont très répandues dans la littéra- ture pour modéliser le comportement de matériaux composites où les hétérogénéités sont petites. Cependant elles restent d’un coût élevé, ce qui rend difficile leur utilisation industrielle. Et comme nous l’avons déjà précisé, elles supposent que les échelles microscopique et macroscopique sont infiniment séparées. Cette approche n’est donc justifiée que lorsque la taille des hétérogénéités est très petite, auquel cas le plus souvent on résout un problème local par point d’intégration macro- scopique.
Cependant dans (Loehnert and Wriggers, 2008), il est montré par des tests numériques que l’on peut obetnir de bons résultats en utilisant une homogénéisation du premier ordre sur certains problèmes non linéaires où l’épaisseur de la structure est de l’ordre de grandeur de la taille des hétérogénéités. Mais ce résultat n’est pas général.
Par ailleurs, certains auteurs ont proposé des adaptations pour traiter des problèmes où les échelles sont moins séparées, comme (Ibrahimbegovic and Markovic, 2003) et (Markovic and Ibrahimbegovic, 2004). Une stratégie multi-échelles est proposée, dans laquelle la dimension du VER correspond à la taille d’un élément fini macroscopique (cf figure 5.7), et les conditions aux limites imposent aux dé- placement locaux de correspondre exactement aux déplacements globaux :
∀X ∈ δΩe, um(X ) = uM(X ) (5.15)
Ce type de méthode présente deux inconvénients :
– Les conditions aux limites de type Dirichlet 5.15 semblent trop fortes pour pouvoir modéliser toutes les micro-déformations ;
– Cette méthode n’est pas justifiable de manière asymptotique, et ne peut pas être interprétée mé- caniquement.
Maillage macroscopique
VER
FIG. 5.7: Homogénéisation d’un problème à échelles couplées (de (Markovic, 2004))
Pour dépasser ces limites, une méthode originale a été proposée récemment dans (K ouznetsova, 2002), que l’on décrit dans ce qui suit.
5.3.2 Homogénéisation numérique du second ordre
Les méthodes d’homogénéisation numérique classiques (dites "du premier ordre"), présentent deux inconvénients : Comme nous l’avons dit précédemment, elles supposent que les échelles microsco- pique et macroscopique sont infiniment séparées, donc ne sont pas adaptées à des structures hété- rogènes "fines" ; Une autre limite est qu’elles ne prennent pas en compte les dimensions absolues de la microstructure, ce qui signifie que les effets d’échelle ne sont pas gérés.
Pour dépasser ces limites, une extension de la méthode d’homogénéisation numérique classique a été introduite récemment dans (K ouznetsova et al., 2002) et (K ouznetsova et al., 2004). On l’appel- lera "homogénéisation numérique du second ordre", du fait qu’elle prend en compte le gradient du second ordre des déformations macroscopiques, noté G
M .
Le couplage entre les deux échelles s’appuie sur le développement en série de Taylor du champ de déformations macroscopique xM = Φ(X ) :
∀δX , δxM = FM· δX + δX ·G
M· δX + O(δX
3) (5.16)
Ainsi, la cinématique macroscopique peut être approchée au second ordre à partir du tenseur gra- dient de déformations F
M =
∂xM
∂X et de son gradient GM =
∂
∂XFM, alors que l’homogénéisation classique s’arrête au premier ordre. L’échelle macroscopique transmet à l’échelle microscopique les gradients F
M et GM, et les déformations dans le VER sont alors recherchées sous la forme : ∀δX , δxm= FM· δX + δX ·G
M· δX + δw(δX )
(5.17) où le terme δw représente le champ des fluctuations microscopiques provoquées par les hétérogé- néités de la microstructure. Le champ w est soumis à un certain nombre de conditions aux limites permettant de contrôler d’une certaine manière les gradients macroscopiques F
M et GM (le lecteur intéressé pourra lire (K ouznetsova, 2002) pour plus de détails). Le problème aux limites sur w ainsi défini peut alors être résolu par la méthode des éléments finis.
En retour, le modèle macroscopique utilise les variables macroscopiques P M et Q
M
des gradients
F
M et GM,telles que la condition de Hill-Mandel étendue suivante soit vérifiée : 1 |Ωe| Z Ωe P m: ∇xmd X = PM: FM+Q M .. . G M (5.18) On résume ce fonctionnement sur la figure 5.8.
Cette méthode d’homogénéisation du second ordre semble très intéressante, puisqu’elle permet no- tamment de "voir" la flexion à l’échelle microscopique. Cela est utile dans les zones de fortes défor- mations localisées ou pour les structures possédant des dimensions macroscopiques relativement petites par rapport à la taille du VER. Plusieurs applications de cette méthode ont récemment été récapitulées dans (Geers et al., 2010).
Dans notre cas, on remarquera surtout l’application décrite dans (Geers et al., 2007) : une méthode d’homogénéisation numérique y est présentée sur des coques (de Kirchhoff-Love ou de Mindlin- Reisner) constituées d’un matériau composite, périodique sur la surface moyenne, dans lequel la
Ω
Ωe
Résolution d’un problème aux limites P M, Q M +tangents F M, GMFIG. 5.8: Homogénéisation numérique du second ordre
taille des hétérogénéités est de l’ordre de l’épaisseur de la structure. Le VER utilisé représente toute l’épaisseur de la coque, et l’énergie est homogénéisée dans le plan tangent, alors qu’elle est intégrée dans l’épaisseur de la nappe. Les mesures de déformations en membrane, cisaillement transverse et surtout en courbure sont donnéss aux problème locaux, qui vont calculer les efforts et les mo- ments correspondants, ainsi que leurs tenseurs tangents. De cette manière, l’échelle macroscopique peut utiliser un modèle de coque classique, dont la loi de comportement est calculée en temps réel à l’échelle locale.
Le type de coques hétérogènes qui est considéré dans (Geers et al., 2007) ressemble en plusieurs points à notre problème de nappe :
– La structure est fine ;
– La taille des hétérogénéités est de l’ordre de l’épaisseur ; – Le modèle global utilise des termes de flexion.
Ainsi, cet exemple est très encourageant pour élaborer une méthode d’homogénéisation adaptée à notre problème.