Probabilit´ e d’interaction pour une pluie pendant le d´ etachement

Pour calculer la probabilit´e totale d’interaction entre les gouttes d’une pluie, on proc`ede en deux ´etapes. La premi`ere ´etape consiste `a calculer, pour chaque classe de diam`etre D_p de la goutte primaire P, la probabilit´e d’interaction avec toutes les classes de diam`etres des gouttes secondaires S (de diam`etre D_s et de vitesse terminale V_f(D_s)). Comme toutes les gouttes secondaires suivent le processus de Poisson, cette probabilit´e est donn´ee par :

P_Dp←→S= 1−exp o`u α_sp est le nombre moyen de gouttes S dans Ω_sp pour chacune des classes susceptibles de cr´eer un cisaillement.

Le termePDp←→Sest une probabilit´e conditionnelle d’interaction pour une goutte primaire de diam`etreD<sub>p</sub>. Dans ce contexte, la probabilit´e totaleP<sub>t</sub>d’interaction entre toutes les classes de diam`etre des gouttes primaires P et secondaires S est obtenue en int´egrant P_Dp←→S(D_p) et en prenant en compte la densit´e relative des gouttes primaires au niveau du solSa(Dp) :

P_t= De plus, quand l’´epaisseur de la lame d’eau est sup´erieure `a trois diam`etres de goutte, il n’y a pas de d´etachement parce que la lame d’eau prot`ege le sol de l’effet de la goutte (Mutchler et Young, 1975; Wang et Harry G. Wenzel, 1970). Par cons´equent, nous utilisons un seuil de 3 diam`etres : quand h ≥ 3D_p la goutte primaire ne cause pas de d´etachement et donc la probabilit´e d’interaction avec les gouttes secondaires est nulle. De mˆeme que si h ≥3Ds pour les gouttes secondaires. Ainsi, les bornes d’int´egration dans l’´equation (2.17) deviennent max(D_min, h/3) etmin(D_max, h/3).

Notons aussi que P_tdonn´e par cette formule surestime la probabilit´e d’interaction. Ainsi, une faible probabilit´e Pt d´emontre une absence d’interaction tandis qu’une probabilit´e Pt

importante ne peut pas affirmer l’existence d’une interaction. C’est pourquoi, dans le cas d’une probabilit´e d’interaction ´elev´ee, on consid`ere qu’il y a potentiellement une interaction.

2.3.3.2 R´esultats et discussions

La probabilit´e totale P_t d’interaction entre les gouttes de pluie pendant le d´etachement des s´ediments est calcul´ee pour une gamme d’´epaisseur de la lame d’eau variant de 1 `a 15 mm et des intensit´es de pluie allant de 5 `a 200 mm h^-1. Pour la loi de Marshall-Palmer,P_taugmente avec l’intensit´e (figure 2.4). Quand l’´epaisseur de lame d’eau est mince, les petites gouttes (de diam`etres sup´erieurs `ah/3) peuvent cr´eer du cisaillement et donc contribuer au d´etachement.

Mais une ´epaisseur de lame d’eau mince limite l’´etendue et la dur´ee du cisaillement donnant une probabilit´eP_tfaible mˆeme si le nombre de gouttes est important. Par exemple, pour une intensit´e deI = 100 mm h^-1et une ´epaisseur de la lame d’eauh= 1 mm, la probabilit´e totale d’interaction est environ de 0.3% (figure 2.4).

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Figure2.4 – La probabilit´e totale P_td’interaction en fonction de l’intensit´e de pluie et pour plusieurs ´epaisseurs de lame d’eau pour la loi de Marshall-Palmer.

Lorsque h augmente, l’´etendue et la dur´ee du cisaillement augmentent aussi, ce qui fait croˆıtre la probabilit´e d’interaction jusqu’`a une valeur maximaleh<sub>max</sub> qui d´epend de l’intensit´e de la pluie. La valeur de hmax est autour de 2 mm pour I ≤ 40 mm h<sup>-1</sup> et 3 mm pour I ≥40 mm h<sup>-1</sup>. La d´ependance de ces valeurs par rapport `a l’intensit´e de pluie peut s’expliquer par le fait que des intensit´es plus ´elev´ees fournissent plus de grosses gouttes qui permettent plus d’interaction `a des ´epaisseurs h importantes o`u le cisaillement dure assez longtemps sur une ´etendue plus large. Au-del`a dehmax autour de 2 `a 3 mm, la probabilit´e d’interaction d´ecroˆıt en fonction deh. En effet, pour des ´epaisseurs d’eau importantes, le nombre de gouttes capables de cr´eer du cisaillement `a la surface du sol diminue significativement.

Globalement, pour la loi de Marshall-Palmer toutes les probabilit´es sont basses, inf´erieures

`

a 1.2% mˆeme pour une pluie intense de 200 mm h^-1.

L’effet de la loi de distribution des gouttes est ´etudi´e en utilisant en plus les lois Gamma (´equation (2.5)) et Lognormal (´equation (2.6)). Les probabilit´es obtenues avec ces lois sont toutes sup´erieures `a celles de la loi de Marshall-Palmer (figures 2.5 et 2.6) mais gardent un comportement similaire. La hauteur de la lame d’eau donnant une probabilit´e d’interaction maximale est hmax = 3 mm pour la loi Gamma et est ind´ependante de l’intensit´e de pluie.

Pour la loi Lognormal, cette hauteur est fonction de l’intensit´eI de pluie : pourI <20 mm h^-1, h_max= 3 mm ; pour 20< I < 55 mm h^-1,h_max augmente et atteint 4 mm. Entre 55 mm h^-1 et 130 mm h^-1,hmax atteint 5 mm puis 6 mm au del`a de 130 mm h^-1.

Ces diff´erences de comportement entre les lois peuvent s’expliquer par la taille des gouttes les plus nombreuses au niveau du sol pour chacune des lois. Par exemple, en consid´erant toutes les gouttes dont la densit´e relative Sa est sup´erieure `a 10%, on remarque que pour la loi de Marshall-Palmer, le diam`etre de ces gouttes varie de 0.25 `a 2.25 mm (figure 2.1). Cela est tr`es proche de la taille des gouttes les plus nombreuses donn´ees par la loi Gamma qui varient de 0.4 `a 2.45 mm, tandis que pour la loi Lognormal, ces gouttes ont une taille comprise entre 0.85 et 3.35 mm. Elles sont ainsi plus grosses que celles des lois de Marshall-Palmer et Gamma.

Les probabilit´es d’interaction pour une pluie suivant la loi Lognormal sont donc plus ´elev´ees.

Quelle que soit la loi de distribution des gouttes de pluie utilis´ee, les probabilit´es totales d’interaction sont tr`es limit´ees, ne d´epassant jamais 2.5% dans le cas le plus extrˆeme. Par

cons´equent, on peut consid´erer que les d´etachements de s´ediments par les gouttes individuelles sont ind´ependants. Cela confirme que l’approche de sommation utilis´ee par des auteurs comme Sharmaet al.(1993), Gilley et al. (1985) et Ferreira et Singer (1985) est valide.

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Figure2.5 – La probabilit´e totale Ptd’interaction en fonction de l’intensit´e de pluie et pour plusieurs ´epaisseurs de lame d’eau pour la loi Gamma.

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Figure2.6 – La probabilit´e totale Ptd’interaction en fonction de l’intensit´e de pluie et pour plusieurs ´epaisseurs de lame d’eau pour la loi Lognormal.