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3.2 Cisaillement cr´ e´ e par l’impact d’une goutte

3.2.1 Simulation ` a bas nombre de Reynolds

Dans cette partie, la gamme de Re ´etudi´ee varie de 50 `a 500. Ce r´egime est caract´eris´e par une convergence rapide avec un niveau de raffinement maximum raisonnable.

3.2.1.1 Convergence num´erique en maillage

Le choix du maillage est fonction de la convergence du maximum du cisaillement τp0 et de la pression Pmax0 cr´e´es sur le plan d’impact. La convergence num´erique est obtenue lorsqu’on utilise une taille de maille permettant de bien d´ecrire ces quantit´es. Ainsi, plusieurs valeurs du niveau de raffinement sont test´ees pour d´ecrire l’´evolution temporelle de ces deux quantit´es.

Le nombre de mailles utilis´e dans Gerris est 22n (voir la section 3.1.2.3). Typiquement, la longueur physiqueldu cˆot´e de la cellule est donn´ee par l’´equation :

l= D D0

r L0

22n (3.14)

o`u L0 et D0 sont respectivement les tailles non dimensionnelles du domaine de calcul et de la goutte, D la taille physique de la goutte. Dans toute notre ´etude, nous prenons L0 = 1.

Le raffinement de maillage est mis en œuvre en choisissant un niveau de raffinement minimal avec nmin (maintenu fixe) et maximum avec nmax. Le param`etre nmax sert `a augmenter la r´esolution spatiale et la pr´ecision du calcul au niveau des forts gradients de vitesse, de vorticit´e et au niveau de l’interface entre les deux fluides. De plus, le tempst0 est pris `a partir du temps

th´eorique d’impact correspondant `a la valeur th´eorique o`u la goutte doit toucher le film liquide suivant sa hauteur de chute.

Ainsi, on fixe yo = 0.5 (yo = Dh), le nombre de Reynolds `a Re = 500 et le nombre de Weber `aW e= 574.36 en prenantρl= 700 kg m−3,µl= 0.0112 kg m−1s−1,γ = 0.039 N m−1, D=4 mm,Vf=4 m s−1, etD0=0.3. Dans ce cas, la convergence est obtenue `a partir denmax= 10 (qui correspond `al= 13µm) pourτp0 (figure 3.2a) alors que la pressionPmax0 converge avec un niveau de raffinement moins ´elev´e,nmax = 9 (doncl= 26 µm, figure 3.2b). Le niveau de raffinement du maillage augmente avec le nombre de Reynolds, la convergence obtenue pour Re= 500 est valable pour tous les Re <500.

t' τ'p

nmax=9 nmax=10 nmax=11

(a)

t' P'max

nmax=9 nmax=10 nmax=11

(b)

Figure3.2 – Convergence en maillage du maximum (a) de cisaillement et (b) de la pression pour Re = 500 (ρl = 700 kg m−3, µl = 0.0112 kg m−1s−1, γ = 0.039 N m−1, R=2 mm, Vf = 4 m s−1 ),h=D/2. Param`etres de Gerris :D0 = 0.3,nmin = 3.

3.2.1.2 Dynamique de l’impact

On consid`ere la dynamique d’impact `a bas Reynolds (Re = 250) d’une goutte de diam`etre D=6 mm ayant une vitesse de chute Vf = 2.5 m s−1 sur une lame d’eau d’´epaisseur h = 0.9 mm. Les r´esultats des simulations, en variables non dimensionnelles, sont repr´esent´es sur les figures 3.3 et 3.4. Sur les images de la figure 3.3, sont repr´esent´es l’interface entre l’eau et l’air, ainsi que les champs de vitesse et de pression dans le domaine de calcul.

Au moment o`u la goutte touche la surface de la lame d’eau, elle cr´ee un pic de pression th´eoriquement infini dans le liquide. A t0 = 0, la pr´esence d’une fine ´epaisseur d’air persiste encore (figure 3.3a) et la pression maximale dans le domaine est de l’ordre de P0 = 0.96 (i.e 6 kPa en variable physique). Elle se localise `a l’interface. Ensuite, le ph´enom`ene se propage dans le liquide et le maximum de pression se trouve juste en dessous du point d’impact sur le plan solide (figure 3.3b). On rel`eve par exemple une pression maximale de P0 = 0.82 (i.e 5.1 kPa) `at0 = 0.02 sur le substrat solide. Cette pression diminue par la suite tr`es rapidement.

En outre, le champ de vitesse (figures 3.3 et 3.4) montre que la goutte garde sa vitesse de chute durant l’impact. Elle la transmet `a la lame d’eau dont le champ de vitesse devient de plus en plus important. Lorsque la goutte s’aplatit, elle cr´ee un cisaillement sur le plan d’impact.

Le maximum du cisaillement localis´e `a cet endroit apparaˆıt apr`es celui de la pression quand la goutte p´en`etre dans le film liquide et s’´etale. Son temps d’apparition est proportionnel `a

'

(a)t0= 0.01

'

(b)t0= 0.02

Figure 3.3 – Champs de pression (P0) et de vitesse cr´e´es par l’impact d’une goutte de diam`etre 6 mm sur une lame d’eau d’´epaisseur h= 0.9 mm avec une vitesse Vf = 2.5 m s−1 pour (a) t0 = 0.01 et (b) t0 = 0.02. Re = 250 (ρl = 1000 kg m−3, µl = 0.03 kg m−1s−1, γ= 0.02 N m−1 ). Param`etres de Gerris :D0 = 0.1,nmin = 3,nmax= 10.

(h+D/2)/Vf. Les images de la figure 3.4 montrent par exemple une valeur maximale du cisaillement sur le plan d’impact autour de 370 (i.e 15.4 kPa en variable physique) pour t0 = 0.02 qui passe `a 310 (i.e 12.5 kPa) pourt0 = 0.05.

On notera que l’impact est aussi accompagn´e de l’´emergence d’un jet d’eau et de la cr´eation de fines gouttelettes : c’est le m´ecanisme de splash auquel nous ne nous int´eressons pas ici, mais qui pourrait ˆetre abord´e dans de futures ´etudes.

τ'

(a)t0= 0.02

τ'

(b)t0= 0.05

Figure3.4 – Champ de vitesse et de cisaillement cr´e´es par l’impact d’une goutte de diam`etre 6 mm sur une lame d’eau d’´epaisseur h = 0.9 mm avec une vitesse Vf = 2.5 m s−1 pour (a) t0 = 0.02 et (b) t0 = 0.05. Re= 250 (ρl = 1000 kg m−3,µl= 0.03 kg m−1s−1, γ=0.02 N m−1 ). Param`etres de Gerris :D0 = 0.1,nmin = 3,nmax= 10.

3.2.1.3 Description spatio-temporelle du cisaillement sur le plan d’impact Le comportement du cisaillement `a bas nombre de Reynolds a ´et´e num´eriquement ´etudi´e par Hartley et Alonso (1991) et Hartley et Julien (1992). Ces auteurs ont fait varier le nombre

de Reynolds entre 50 et 500 et ont simul´e le cisaillement cr´e´e par l’impact d’une goutte pour plusieurs hauteurs de lame d’eau. Ainsi, durant toute la dur´ee de l’impact, ils ont montr´e que le maximum de la contrainte cisaillanteτmax produite sur le plan d’impact est d´ecrit par l’´equation suivante :

τmax= 2.85ρlVf2(2yo+ 1)−3.16Re−0.55C1. (3.15) Il d´epend du ratio entre la hauteur de la lame d’eau et le diam`etre de la goutte, mais aussi du nombre de Reynolds. L’influence de la gravit´e et de la tension de surface apparaˆıt dans le param`etre C1 qui s’exprime comme :

C1 = 1−exp rendant τmax tr`es peu sensible `a la tension de surface et `a la gravit´e. Le temps d’apparition de τmax est donn´e par tpmax:

tpmax= 1.4R Vf

(2yo+ 1)C2; C2= 1−exp[−0.6θ/(2yo)]. (3.17) Ce temps d´epend essentiellement de l’´epaisseur de la lame d’eau. Plus la goutte impacte une hauteur d’eau ´epaisse, plus τmax est faible et apparaˆıt tard.

Dans la litt´erature, l’´evolution temporelle du maximum du cisaillement `a chaque instant, not´eτp(t), est d´ecrite par deux fonctions, suivant si l’on est avant ou apr`es le pic. La premi`ere fonction est une loi Gamma repr´esent´ee par :

τpmax Elle d´ecrit la croissance du cisaillement jusqu’`a son pic τmax. Ensuite la d´ecroissance du ph´enom`ene suit une fonction exponentielle semblable `a :

τpmaxexp Les ´etudes num´eriques avec le logiciel Gerris r´ev`elent un comportement du cisaillement semblable `a celui observ´e par Hartley et Alonso (1991) et Hartley et Julien (1992). En effet, sur la figure 3.5, sont superpos´es l’´evolution temporelle duτp0 non dimensionnel obtenu avec Gerris et les r´esultats des formules (3.18) et (3.19) (mis sous forme non dimensionnelle) pour deux valeurs de l’´epaisseur de lame d’eau :h =D/5 eth =D. Les coefficients propos´es par Hartley et Alonso (1991) et Hartley et Julien (1992) ont ´et´e ajust´es pour ne comparer que la forme du cisaillement. Pour h =D/5, les facteurs utilis´es sont 2.43, 1 et −0.12λ au lieu de 2.85, 1.4 et −λ respectivement dans les ´equations (3.15), (3.17) et (3.19). Pour h = D les facteurs sont de 5, 1.5 et −0.15λ respectivement. L’ajustement de ces coefficients peut s’expliquer par le fait que les ´equations (3.15), (3.17) et (3.19) sont issues d’une proc´edure d’optimisation de plus d’une quarantaine de simulations alors que nos r´esultats num´eriques sont des simulations individuelles. Ainsi, ces figures montrent que ces fonctions d´ecrivent assez bien le comportement temporel du cisaillement.

t' τ'p

(a)

t' τ'p

(b)

Figure3.5 – Comparaison de l’´evolution temporelle des cisaillements obtenus avec Gerris et des formules (3.18) et (3.19) pour deux hauteurs de lame d’eau (a) h = D/5 et (b) h = D avec Re = 150 (ρl = 1000 kg m−3, µl = 0.03 kg m−1s−1, γ = 0.02 N m−1, R = 3 mm, Vf = 1.5 m s−1). Param`etres de Gerris :D0 = 0.1,nmin= 3, nmax= 10.

Par ailleurs, en augmentant l’´epaisseur de lame d’eau, on constate que son effet, comme illustr´e sur le graphe 3.6, est de retarder l’apparition de τmax0 (contrainte cisaillante non dimensionnelle) et de r´eduire l’intensit´e du cisaillement cr´e´e. Plus la lame d’eau est ´epaisse, plus le cisaillement est att´enu´e jusqu’`a devenir n´egligeable pour h = 3D. Ces observations confirment celles de Mutchler et Young (1975) et Wang et Harry G. Wenzel (1970) qui ont d´emontr´e que le sol est prot´eg´e `a partir de h= 3D.

τ'p

t'

Figure3.6 – Influence de la hauteur de lame d’eau sur l’´evolution temporelle du maximum du cisaillement τp0 `a Re = 150 (ρl = 1000 kg m−3, µl = 0.03 kg m−1s−1, γ = 0.02 N m−1, R = 3 mm,Vf = 1.5 m s−1). Param`etres de Gerris :D0 = 0.1,nmin = 3,nmax= 10.

Nous avons aussi ´etudi´e l’influence du nombre de Reynolds sur le cisaillement. La figure 3.7 montre l’´evolution temporelle du maximum du cisaillement τp0 cr´e´e par la goutte sur le plan d’impact pour diff´erents nombres de Reynolds `ahfix´e. Pour une mˆeme hauteur de lame d’eau et les mˆemes propri´et´es du fluide, on constate que plus le nombre de Reynolds est ´elev´e, plus le cisaillement est fort. Ainsi le Reynolds gouverne aussi l’intensit´e de la force cisaillante.

Dans ce cas, un nombre de Reynolds ´elev´e indique que la force d’impact de la goutte est importante.

Remarquons aussi que sur la figure 3.7, pour un fluide avec une masse volumique ρl = 1000 kg m−3 et une tension de surfaceγ = 0.02 N m−1, le maximum de cisaillement cr´e´e par un nombre de Reynolds de Re = 500 avec µl = 0.015 kg m−1s−1 est moins important que celui cr´e´e parRe= 350 dont le coefficientµlvaut 0.03 kg m−1s−1. Cela montre que, quand les propri´et´es du fluide changent, en l’occurrence la viscosit´e, la hi´erarchisation du cisaillement en fonction du nombre de Reynolds, constat´ee pour un fluide donn´e, n’est plus valable. Cela implique aussi que la pr´ediction du niveau de cisaillement par la formule (3.15) n’est utilisable que pour un mˆeme fluide.

t' τ'p

Figure 3.7 – Influence du nombre de Reynolds sur le cisaillement pour h = 3D/20, ρl = 1000 kg m−3 etγ = 0.02 N m−1. Pour :

Re= 50 (R= 1.5 mm, Vf = 1 m s−1,µl= 0.03 kg m−1s−1), Re= 100 (R= 3 mm,Vf = 1 m s−1,µl= 0.03 kg m−1s−1), Re= 150 (R= 3 mm,Vf = 1.5 m s−1,µl= 0.03 kg m−1s−1), Re= 250 (R= 3 mm,Vf = 2.5 m s−1,µl= 0.03 kg m−1s−1), Re= 350 (R= 3 mm,Vf = 3.5 m s−1,µl= 0.03 kg m−1s−1), Re= 500 (R= 3 mm,Vf = 2.5 m s−1,µl= 0.015 kg m−1s−1, ).

Param`etres de Gerris :D0 = 0.1,nmin= 3, nmax= 10.

En outre, pour localiser les r´egions les plus expos´ees `a la force cisaillante, l’´evolution temporelle de la position radiale de τp0 not´eer0τp est consid´er´ee pour une fluide et un nombre de Reynols fix´es. L’´evolution de rτ0p (voir graphe 3.8a) semble ˆetre en racine carr´ee pour les casyo<1, aux premiers instants de l’impact. Lorsqueyo>1, comme l’illustre le graphe 3.8b, cette position ob´eit `a un autre comportement plus complexe. La position du cisaillement maximum d´epend alors principalement du rapport entre la hauteur de la lame d’eau et le

diam`etre de la goutte. L’´evolution en racine carr´ee der0τp pour les films de liquide minces a aussi ´et´e observ´ee pour un nombre de Reynolds plus ´elev´e (voir section 3.2.3.3), ce qui montre querτ0p est tr`es peu influenc´e par le nombre de Reynolds.

t' r'τp

0.3 0.18 (t')0.5

(t')0.5 (t')0.5

(a)

r'τp

t' (b)

Figure 3.8 – ´Evolution temporelle de la position du maximum du cisaillement pour (a) des lames d’eau minces en ´echelle logarithmique et (b) des lames ´epaisses en ´echelle lin´eaire pour Re = 150 (ρl = 1000 kg m−3, µl = 0.03 kg m−1s−1, γ = 0.02 N m−1, R = 3 mm, Vf = 1.5 m s−1). Param`etres de Gerris :D0 = 0.1,nmin= 3, nmax= 10.

Quant `a la distribution spatiale de la contrainte de cisaillement, elle r´ev`ele l’existence d’un profil auto-similaire. Une telle structure signifie que le cisaillement garde la mˆeme forme en fonction du temps et que seules son amplitude et sa taille changent au cours du temps. Ce profil est valable aux temps courts de l’impact de la goutte et pour des films d’eau minces. L’auto-similarit´e s’obtient en tra¸cant, `a diff´erents temps, les quantit´es normalis´ees du cisaillement cr´e´e sur le plan d’impact en fonction de l’espace. Plus pr´ecis´ement, `a un instant donn´e, le cisaillementτ0(r0, z0 = 0, t0) est normalis´e par sa valeur maximale obtenue sur le plan d’impact τp0(t0) et la position radiale est aussi normalis´ee par la position du maximum du cisaillement r0τp. La figure 3.9 montre les profils obtenus pour h=D/5 et pourt0 <0.1.

t'=0.03 t'=0.04 t'=0.05 t'=0.06 t'=0.07 t'=0.08

r'/r'τp

τ'(r',z'=0,t')/τ

' p(r',z'=0,t')

Figure3.9 – Profils normalis´es du cisaillement pourh=D/5 et pourt0 <0.1 avecRe= 150 (ρl = 1000 kg m−3, µl = 0.03 kg m−1s−1, γ = 0.02 N m−1, R = 3 mm, Vf = 1.5 m s−1 ).

Param`etres de Gerris :D0 = 0.1,nmax= 10 etnmin = 3.