5.3 Etude de la fonction d’´ ´ echange
5.3.2 Echange sans terme source ´
Dans le cas d’un ´echange sans terme source, le sol initial est consid´er´e comme ayant les mˆemes propri´et´es que la couche de red´epˆot. Cette situation peut aussi ˆetre rencontr´ee lorsque la couche de red´epˆot s’est form´ee pr´ec´edemment ou presque de mani`ere instantan´ee. Cela peut ˆetre le cas quand le sol est constitu´e de grains grossiers qui s´edimentent rapidement recouvrant la totalit´e du sol d’origine.
5.3.2.1 Erosion diffuse´ Mod´elisation
Le ph´enom`ene d’´erosion diffuse peut ˆetre d´ecrit avec le concept de Hairsine et Rose (1991) (figure 5.2). En particulier pour un ´echange sans terme source, dans le syst`eme (5.3), il n’y a pas distinction entre le sol initial et la couche de red´epˆot. Par cons´equent, les facteurs rri,rei
eteisont nuls etedi=aPM dM di
t. Cela donne un nouveau syst`eme dont la forme non conservative est d´efinie par : Pour simplifier l’´etude, ce syst`eme est mis sous forme non dimensionnelle avec les variables de Sander et al. (1996) comme dans la section 5.3.1.1. Le syst`eme (5.26) devient alors :
Ainsi, le syst`eme (5.27) met en ´evidence la fonction d’´echange non lin´eaire : gnl(mdi) = mdi
νimdT = mdi
νiPI i=1mdi
. (5.28)
On teste par cons´equent l’influence que peut avoir une non-lin´earit´e par rapport `a une fonction lin´eaire du type :
˜
gl(mdi) =mdi
νi . (5.29)
Effet des non-lin´earit´es
On compare les r´esultats obtenus avec les fonctionsgnl et ˜glpour deux classes de s´ediments caract´eris´ees par des vitesses de s´edimentationv1= 10−6m s−1 etv2= 5.10−4m s−1 avec une pluieP = 100 mm h−1 etε= 0.072 (figure 5.11). Il en ressort que l’´evolution temporelle de la concentration `a la sortie du domaine des particules les plus fines (classe 1,v1 = 10−6 m s−1) connaˆıt un pic plus important dans le fluide avec la fonction non-lin´eaire. La non-lin´earit´e cr´ee aussi une d´ecroissance plus rapide de la concentration des particules fines `a la fois dans le liquide et au niveau de la couche de red´epˆot. Quant `a la deuxi`eme classe (v2 = 5.10−4 m s−1), sa concentration dans l’´ecoulement atteint son ´etat d’´equilibre plus rapidement lorsque la
fonction lin´eaire est utilis´ee. Avec la fonction non-lin´eaire, l’´etat transitoire de sa concentration dans le fluide a une forme quasi-rectiligne et croissante qui dure plus longtemps compar´e `a l’´etat transitoire obtenu avec la fonction lin´eaire. Pour les deux classes de particules, l’effet de la fonction d’´echange non-lin´eaire est d’acc´el´erer le ph´enom`ene d’´erosion puisqu’elle donne des concentrations dans la couche de red´epˆot moins ´elev´ees et charge plus le fluide en s´ediments.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0 1 2 3 4 5 6 7
Concentration dans le fluide
1ères classes
2èmes classes
(a)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0 1 2 3 4 5 6 7
1ères classes
2èmes classes
Concentration dans la couche de redépôt
(b)
Figure5.11 – Variations temporelles des concentrations (sans dimension) dans (a) le fluide et (b) dans la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour les fonctions d’´echange lin´eaire et non-lin´eaire, avec I = 2 et les vitesses de s´edimentations suivantes : v1 = 10−6 m s−1 et v2 = 5.10−4 m s−1;P = 100 mm h−1,ε= 0.072. Conditions initiales uniformes dans la couche de red´epˆot avec md1 = 0.7 et md2= 0.5 pour 0≤z≤1.
5.3.2.2 Transport par charriage Mod´elisation
Pour repr´esenter le transport par charriage sans terme source, on adopte le mod`ele de Lajeunesse et al. (2013). La forme non dimensionnelle (5.24) des ´equations de transport par charriage est utilis´ee avec les mˆemes coefficients que ceux de la section 5.3.1.2. L’objectif est de mettre en ´evidence l’influence des fonctionsgnl+ etgnl− par rapport `a gl.
Effet des non-lin´earit´es
Dans ce syst`eme, on initialise la couche de red´epˆot avec une certaine quantit´e de grains repartie uniform´ement sur une petite zone `a l’entr´ee du domaine. Cette configuration montre bien l’influence des non-lin´earit´es. Les r´esultats (figure 5.12) montrent que, quelle que soit la
fonction d’´equilibre utilis´ee, il se produit un ph´enom`ene de diffusion qui lisse la courbe au cours du temps. De plus, les fonctions non lin´eaires ont pour effet de dissym´etriser la forme des courbes en ralentissant ou acc´el´erant le front de concentration des grains. La r´epartition spatiale des proportions de grains dans la couche de red´epˆot et dans le fluide (figures 5.12a et 5.12b) est acc´el´er´ee avecgnl+ et ralentie avec gnl−. Cela cause une ´evacuation plus rapide des grains `a la sortie du domaine avec gnl+, tandis qu’avec gnl−, les grains sortent plus tardivement (figures 5.12c et 5.12d). L’´evolution temporelle `a la sortie du domaine montre, de plus, que le pic de la proportion de grains, dans le fluide et la couche de red´epˆot, de la fonction lin´eairegl est le plus important suivi du pic des non-lin´earit´es gnl− etgnl+.
En outre, les r´epartitions spatiales de mˆeme que les ´evolutions temporelles montrent que c’est gnl− qui charge le plus le fluide en s´ediments en cr´eant plus d’´erosion dans la couche de red´epˆot, tandis que gnl+ pr´eserve les grains de cette couche et limite leur proportion dans l’´ecoulement. En effet, dans le fluide, avec les param`etres choisis dans cet exemple, gnl+ fait rentrer 1.2 fois moins de grains que gl et 1.4 fois moins que gnl−.
g
nl-gnl+
gl
=10
=400
=1200
(a)
=10
=400
=1200 g
nl-gnl+
gl
(b)
(c) (d)
Figure 5.12 – Variations spatiales (a, b) et temporelles (c, d) des proportions de grains marqu´es dans le fluide et la couche de red´epˆot `a la sortie du domaine pour diff´erentes fonctions d’´equilibres. Condition initiale rectangulaire dans la couche de red´epˆot avec ψ(X, T = 0) = 0.8×11[0,20](X) et α= 0.3.