Prise en compte des parois

Les équations de Reynolds fermées par un modèle au premier ou au second ordre, il reste à imposer des conditions au bord pour les variables du système. Cependant, en pratique, beaucoup de modèles de turbulence ne sont pas assez riches physiquement pour être intégrés jusqu’à la paroi. En effet les hypothèses utilisées pour la formulation des fermetures ne sont souvent plus valable dans cette zone où les phénomènes physiques sont influencés par la présence d’une frontière solide.

Il existe alors deux grandes approches pour gérer ce type de condition aux limites. La première consiste à utiliser une loi de paroi dans la région proche de celle-ci. En effet les expériences d’écoulements turbulents sur des géométries simples, comme un écoulement en canal, montrent que jusqu’à une certaine distance de la paroi la turbulence est en équilibre local, c’est à dire que la production et la dissipation se compensent. Il est alors possible de dériver analytiquement un profil pour la composante axial de la vitesse moyenne U en fonction de la distance à la paroi y. Si l’on adimensionne ces variable par la vitesse de frottement u_τ et la viscosité ν cette loi s’exprime par :

U⁺ = ¹

C_κ ^lny

++C (3.9)

AvecCκ la constante de Kármán et C '5.5 Ce comportement universel est utilisé pour élaborer des lois de paroi. Ces formules analytiques permettent de fixer les conditions au bord, en fonction de la distance à la paroi du premier point de calcul. On note que l’on peut aussi dériver ce type de loi pour le tenseur de Reynolds ou la dissipation [21]. En admettant ce comportement universel de l’écoulement turbulent en proche paroi, on peut utiliser ces lois pour toutes géométries, mais un soin particulier doit être apporté à la construction

du maillage, pour que les premiers points de calcul au bord se situent dans le domaine de validité des lois de parois.

La deuxième approche est de considérer des hypothèses différentes pour l’élaboration de modèles spécifiques, dits bas Reynolds ou de proche paroi. Une revue de modèles au second ordre bas-Reynolds ou de proche paroi est disponible dans Manceau [71]. L’auteur fait remarquer que ces modèles proposent souvent des corrections des modèles haut Reynolds sans remettre en cause leurs hypothèses de bases. Par opposition Manceau [69] propose un modèle du second ordre basé sur les travaux de Durbin [30]. Une équation elliptique sur un coefficientα qui traduit l’influence de la paroi sur l’écoulement est introduite. Ce coefficient permet de passer continûment d’un modèle bas Reynolds en proche paroi à un modèle classique. C’est ce modèle que nous utiliserons pour nos simulations RANS.

Outils développés

Méthode numérique

À l’exception du code Saturne cité précédemment, tous les calculs dans ce travail ont été réalisés avec la bibliothèque_AeroSol [75]. Dans ce chapitre, nous expliciterons la méthode numérique utilisée, qui a servi de base à cette étude et qui nous a permis de réaliser la majorité des calculs présentés dans ce manuscrit.

AeroSol

La bibliothèque_AeroSol est un code en développement d’éléments finis d’ordre élevé à la fois continus et discontinus. Elle fournit une implémentation de la méthode de Galerkin continue et discontinue ainsi que des schémas à distribution de résidu sur maillage hybride, avec des mailles triangulaires et quadrangulaires en deux dimensions et des tétraèdres, hexaèdres, prismes et pyramides en trois dimensions. Les maillages courbes sont également pris en compte. Elle s’utilise pour résoudre des problèmes de mécanique des fluides comme les équations d’Euler ou de Navier-Stokes présentées au chapitre 1. Son développement est orienté par le problème du calcul sur architecture massivement parallèles.

Notre utilisation de la bibliothèque se concentre sur la méthode Galerkin discontinue avec discrétisation temporelle explicite. Les modèles physiques utilisés sont ceux présentés au chapitre 1. Nous présentons ici les détails de la méthode, en commençant par présenter la discrétisation par élément finis de Galerkin discontinu. Nous verrons dans un second temps quel schéma de discrétisation temporel est utilisé. Enfin, nous terminerons par une section sur les conditions aux limites utilisées dans la bibliothèque, notamment lorsqu’il s’agit de calculer un écoulement turbulent.

4.1 La méthode Galerkin discontinue

La méthode de Galerkin discontinue a été introduite par Reed and Hill [104] en 1973 pour la résolution d’une équation de transport de neutrons. Depuis, sa popularité n’a cessé de croître comme en témoigne le nombre de publications à son sujet ces dernières années. Elle présente de nombreux avantages, notamment :

• Elle est adaptée à la montée en ordre. Comme les éléments finis continus, elle per-met de monter en ordre facilement. Par opposition, les méthodes volumes finis qui considèrent une solution constante par élément, se limitent à l’ordre un. Les méthodes MUSCL (Monotonic Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws), ENO (Es-sentially Non-Oscillatory) [44] ou WENO (Weighted Es(Es-sentially Non-Oscillatory) [65] permettent de monter en ordre plus élevé, mais agrandissent le support du calcul proportionnellement à l’ordre. C’est à dire qu’il est nécessaire de connaître l’état des mailles voisines, mais aussi des voisines des voisines pour pouvoir calculer une solution. Cela rend compliqué l’implémentation de ces méthodes sur maillage non-structuré.

• Elle possède un stencil compact et ce quel que soit l’ordre d’approximation. Cela simplifie grandement les problèmes de parallélisation, notamment à l’ordre élevé. Il est aussi possible d’obtenir des schémas d’ordre élevé compacts avec des méthodes différences finies spectrale [60]. Cependant ces méthodes ne sont pas adaptés aux maillages non structurés.

• Elle est adaptée aux maillages non structurés et par extension, aux géométries complexes. Tout comme les méthodes volumes finis, elle permet de travailler avec tout type de maille. Ce qui rend possible l’utilisation de maillages hybrides.

• Elle permet la p-adaptivité, c’est à dire l’augmentation locale de l’ordre d’approxima-tion sur une cellule. Il n’est donc pas nécessaire de modifier le maillage pour augmenter la précision dans une zone d’intérêt.

• Elle est naturellement L² stable pour les problèmes hyperboliques linéaires. En effet, de la même manière que pour les schémas volumes finis, le caractère discontinu permet un mécanisme de décentrement naturel garantissant la stabilité.

Concernant la théorie, plusieurs estimations de l’erreur ont été apportées. Dans le cas hyperbolique, on citera une première estimation par Lesaint and Raviart [61]. Johnson and Pitkäranta [49] ont étendu cette estimation en prouvant une convergence L2 enO(h^p+12)

dans le cas le plus général, confirmé numériquement par Peterson [101]. Richter [106] à aussi montré que, sous certaines conditions sur le maillage, on peut obtenir une convergence

optimale enO(h^p+1). L’application de la méthode à un système hyperbolique non linéaire est présenté section 4.1.1. La discrétisation des opérateurs du second ordre trouve ses origines dans les travaux de Arnold [7] et fera l’objet de la section 4.1.2. Enfin nous terminerons par une présentation de la discrétisation des équations de Navier-Stokes section 4.1.3.

4.1.1 Formulation variationnelle pour un système hyperbolique non